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第5章 二次函数 单元提升卷
一、单选题
1．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
2．二次函数y＝（x-3）（x+5）的图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝3 B．直线x＝-5 C．直线x＝-1 D．直线x＝1
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动的时间t(单位：s)之间的函数关系如下图．所示，有下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球在空中运动的时间为6s；③小球抛出3s时，小球的高度h=40m；④当t=1.5s时，小球的高度h=30m．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
5．二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y＝x2﹣2x+1，则b+c的值为（ ）
A．16 B．6 C．0 D．﹣12
6．如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．或
7．已知二次函数，当，，时，它们对应的函数值分别为，，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ，下列四个结论：①无论 取何值， 恒成立；②当 时， 是等腰直角三角形；③若 ，则 ；④ ， 是抛物线上的两点，若 ，且 ，则 ．正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①② D．②③④
9．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
10．已知抛物线，具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则当的周长最小时的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是 m．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … m -1 -1 n t …
当x= 时，与其对应的函数值 .有下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是 和 ；④ .其中，正确的结论是 .
13． 已知二次函数的图象的顶点在轴下方，则实数的取值范围是 ．
14．如图是二次函数y=-x2+bx+c的部分图象，若 ，则x的取值范围是 .
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是
16．如图所示，抛物线过点，且对称轴为直线.有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤.其中正确的是 .(填序号)
三、综合题
17．在平面直角坐标系是，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-2）、（2，-3）。
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式
（2）点P是这条抛物线上一点，
其横、纵坐标互为相反数，求点P的坐标。
18．疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进A、B两种口罩，B型口罩的每盒进价是A型口罩的两倍少10元.用6000元购进A型口罩的盒数与用10000元购进B型口罩盒数相同.
（1）A、B型口罩每盒进价分别为多少元？
（2）经市场调查表明，B型口罩受欢迎，当每盒B型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B型口罩每盒售价每增加1元，日均销量减少5盒.当B型口罩每盒售价多少元时，销售B型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
19．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值；
（3）在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标．
20．如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；
（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；
（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．
21．已知二次函数 的图象过点A（ 1，0），点B（3，0）和点C.
（1）若点C(0，3)，求二次函数表达式；
（2）若点C(m，n)，证明：当 时，总有am2+bm a+b .
22．已知二次函数y=a（x-1）2+k的图象与y轴交于点C（0，-8），与x轴的一个交点坐标是A（-2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y<0．
23．某商店以16元/支的价格进了一批钢笔，如果以20元/支的价格售出，每月可以卖出200支，经市场调查发现，每支钢笔上涨1元，每月就少卖出10支.
（1）该商店店主希望该笔月销售利润达1350元，则每支钢笔应该上涨多少元？
（2）每支钢笔上涨多少元时，该商店每月销售利润最大？最大利润是多少？
24．二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)
的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=
-8.
（1）求二次函数解析式；
（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.
（3）在(2)的条件下，若自变量x在m ≤x≤m+3时，函数的最小值为-5，则m＝ .
25．如图①，直线AB的解析式为y＝﹣ x+4，抛物线y＝﹣ +bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C（6，0），点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限内时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）如图②，当点P在y轴右侧时，过点A作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，当点H的对应点H′恰好落在直线AB上时，点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的横坐标.
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第5章 二次函数 单元提升卷
一、单选题
1．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为：B．
【分析】观察图象的开口方向向下，可知a﹣1＜0，解不等式即可。
2．二次函数y＝（x-3）（x+5）的图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝3 B．直线x＝-5 C．直线x＝-1 D．直线x＝1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数的坐标交点分别为（3，0）和（-5，0），对称轴x=+=-1，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象性质，对称轴是交点之和的一半.
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动的时间t(单位：s)之间的函数关系如下图．所示，有下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球在空中运动的时间为6s；③小球抛出3s时，小球的高度h=40m；④当t=1.5s时，小球的高度h=30m．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
【答案】C
【解析】【解答】解：①由图象可知：小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
② 由图象可知：小球6s时落地，则小球在空中运动的时间为6s，故②正确；
③由图象可知：小球抛出3s时达到最高点，此时小球的高度h=40m，故③正确；
④设抛物线解析式为h=a(t-3)2+40，
把（0，0）代入得0=a(0-3)2+40，解得a=，
∴h=(t-3)2+40，
当t= 1.5s时， h=(1.5-3)2+40=30，故④正确.
综上可知： 正确结论有 ②③④ .
故答案为：C.
【分析】根据函数图象中得信息直接判断①②③，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出t= 1.5s时h值，据此判断④即可.
5．二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y＝x2﹣2x+1，则b+c的值为（ ）
A．16 B．6 C．0 D．﹣12
【答案】C
【解析】【解答】解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
把y＝（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣3＝x2﹣6x+6，
所以b＝﹣6，c＝6，
所以b+c＝0
故答案为：C.
【分析】先将y＝x2﹣2x+1化为顶点式，根据平移的规律“左加右减，上加下减”将y＝（x﹣1）2，反方向平移，可得y＝（x﹣3）2﹣3，从而求出b、c的值.
6．如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】【解答】解：解：令x=0，则y=-3，
所以，点C的坐标为（0，-3），
∵点D的坐标为（0，-1），
∴线段CD中点的纵坐标为×（-1-3）=-2，
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为-2，
当y=-2时，
解得：
∵点P在第四象限，
∴点的横坐标为
故答案为：A.
【分析】
根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．
7．已知二次函数，当，，时，它们对应的函数值分别为，，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
8．如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ，下列四个结论：①无论 取何值， 恒成立；②当 时， 是等腰直角三角形；③若 ，则 ；④ ， 是抛物线上的两点，若 ，且 ，则 ．正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①② D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵y=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，
∴C（0，m），D（1，m-1），
∴CD= ＝ ，
故①符合题意；
②当m=0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（0，0）、B（2，0），顶点D（1，-1），
∴AD=BD= ，
∴△ABD是等腰直角三角形，
故②符合题意；
③当a=-2时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），
∵对称轴x=1，
∴另一个交点坐标为（4，0），
∴b=4，
故③不符合题意；
④观察二次函数图象可知：
当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
则1-x1＜x2-1
∴y1＜y2．
故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出CD= ＝ ，再根据函数图象对每个结论一一判断求解即可。
9．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。
10．已知抛物线，具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则当的周长最小时的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离始终相等
∴FP与P点纵坐标相等，即FP=yP
∴的周长=MF+FP+MP=MF+ yP+MP
∵ M、F为定点，P为动点
∴如图，过点M作MA⊥x轴于点A，则MA＋MF为周长的最小值
∴ 此时，P（，）
∴此时，
故答案为：A．
【分析】由抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离始终相等，可得FP=yP，即得的周长=MF+FP+MP=MF+ yP+MP，过点M作MA⊥x轴于点A，则MA＋MF为周长的最小值，求出此时P点坐标，继而求出此时△MPF的面积即可.
二、填空题
11．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是 m．
【答案】11
【解析】【解答】解：根据题意可知 ，
则 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
故铅球推出的距离是11米．
故答案为：11．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … m -1 -1 n t …
当x= 时，与其对应的函数值 .有下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是 和 ；④ .其中，正确的结论是 .
【答案】①③
【解析】【解答】解：①根据题意得：函数图象的对称轴为 ，即 ，
∴ 异号，
∴ ，
∵当
时，
，即
，
∴ ，故①正确；
②∵ ，
∴ ，
当
时，
，
解得：
，
∴二次函数图象开口向上，
∴图象在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，故②错误；
③∵二次函数图象的对称轴为
，
∴点
关于对称轴的对称点为
，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是
和
，故③正确；
④当
时，
，当
时，
，
∴ ，故④错误，
∴正确的结论是①③.
故答案为：①③.
【分析】根据表格可得函数图象过点（0，-1）、（1，-1），求出中点坐标可得对称轴，结合对称轴方程可得ab<0，根据y=-1可得c=-1<0，据此判断①；根据对称轴方程可得b=-a，根据x= 对应的函数值为正可得a的范围，判断出函数图象的开口方向，据此判断②；根据对称性求出点（ ，t）关于对称轴的对称点，据此判断③；根据x=-1、x=2的函数值可得m=a-b-1，n=4a+2b-1，表示出m+n，结合a的范围可判断④.
13． 已知二次函数的图象的顶点在轴下方，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的顶点在轴下方，1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
∴（-4）2-4×1×k＞0，
解得：k＜4，
故答案为：k＜4.
【分析】根据二次函数先求出二次函数的图象开口向上，再判断求解即可。
14．如图是二次函数y=-x2+bx+c的部分图象，若 ，则x的取值范围是 .
【答案】
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-1，0）和（5，0），
∴ 时，x的取值范围为
.
故答案为：
.
【分析】首先根据抛物线的对称性求出图像与x轴的另一个交点的坐标，然后找出图像在x轴上或x轴上方部分所对应的x的范围即可.
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是
【答案】4
16．如图所示，抛物线过点，且对称轴为直线.有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤.其中正确的是 .(填序号)
【答案】②④⑤
【解析】【解答】解：由图象可得抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴直线为x=1，
∴，即b=-2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线过点（-1，0），且抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
当x=3时，y=9a+3b+c=0，
又∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正确；
∵对称轴直线为x=1，抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远的点对应的函数值就越大，
∵|4-1|＜|-3-1|，
∴y2＞y1，故③错误；
当x=时，y=，
∵x=-1时，y=a-b+c=0，
∴无论a、b、c取何值，抛物线一定经过点 ，故④正确；
当x=m时，y=am2+bm+c，当x=1时，y=a+b+c，
∵当x=1时，函数值y最小，
∴am2+bm+c≥a+b+c，
又∵b=-2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确.
故答案为：②④⑤.
【分析】由拋物线开口向上，可得到a＞0 ；由对称轴直线为x=1，可得到b=-2a＜0 ；由拋物线与y轴的交点在x轴的下方，可得到c＜0 据此可判断①；由抛物线的对称性可得抛物线经过点（3，0），则y=9a+3b+c=0，结合a＞0，可判断②；对称轴直线为x=1，抛物线的开口向上，可得抛物线上的点离对称轴的距离越远的点对应的函数值就越大，据此可判断③；将当x=时代入抛物线的解析式得y=，结合x=-1时，y=a-b+c=0，即可判断④；由当x=1时，函数值y最小，并结合b=-2a，可判断⑤.
三、综合题
17．在平面直角坐标系是，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-2）、（2，-3）。
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式
（2）点P是这条抛物线上一点，
其横、纵坐标互为相反数，求点P的坐标。
【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，-2)、(2，-3)，
∴ 解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为 ．
（2）解：设点P的坐标为（m，-m）．
∵点P是抛物线上一点，∴ ．
解得 ．
∴点P的坐标为 ．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；
（2） 设点P的坐标为（m，-m） ，把P点坐标代入二次函数解析式，即可得到答案.
18．疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进A、B两种口罩，B型口罩的每盒进价是A型口罩的两倍少10元.用6000元购进A型口罩的盒数与用10000元购进B型口罩盒数相同.
（1）A、B型口罩每盒进价分别为多少元？
（2）经市场调查表明，B型口罩受欢迎，当每盒B型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B型口罩每盒售价每增加1元，日均销量减少5盒.当B型口罩每盒售价多少元时，销售B型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
【答案】（1）解：设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，
根据题意得：
解得x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
2x-10=60-10=50，
答：A型口罩每盒进价是30元，则B型口罩每盒进价为50元；
（2）解：设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，
根据题意得：w=(m-50)[100-5(m-60)]=-5m2+650m-20000=-5(m-65)2+1125，
，
时w取得最大值，最大值为1125元，
答：当B型口罩每盒售价为65元时，销售B型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为1125元.
【解析】【分析】（1）设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，由题意可得用6000元购进A型口罩的盒数为，用10000元购进B型口罩盒数为，然后根据盒数相同列出方程，求解即可；
（2）设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，由题意可得日减少量为5(m-60)，实际销售量为100-5(m-60)，然后根据利润=(售价-进价)×销售量可得W与m的关系式，接下来根据二次函数的性质进行解答.
19．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值；
（3）在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标．
【答案】（1）解：抛物线经过点，
解得
抛物线的解析式为：
（2）解：抛物线的解析式为：
令，则
设直线的解析式为
则
解得
直线BC的解析式为：
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为，
则Q点坐标为，
则
∴PQ的最大值是．
（3）解：∵ COF与 CDF共高，面积比转化为底边比，
OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2
过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，
根据平行线分线段成比例，
OF：FD=OC：CE=3：2
∵OC=3，
∴OE=5，
∴E（0，5）
∴直线EG解析式为：y= -x+5
联立方程，得：
解得：，
则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；
【解析】【分析】（1）将点A、B代入，再利用加减消元法求出a、b的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为，则Q点坐标为，再利用两点之间的距离公式列出代数式，再求解即可；
（3）过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，根据平行线分线段成比例可得OF：FD=OC：CE=3：2，再求出直线EG解析式为：y= -x+5，最后联立方程组求解即可。
20．如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；
（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；
（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=（x-2）2-5，
∴点D的坐标为（2，-5）
（2）解：∵当y=4时，x2-4x-1=4，
解得x=-1或x=5，
∴M坐标为（-1，4），点N坐标为（5，4），
∴MN=6．P的半径为3，点P的坐标为（2，4），
连接PE，则PE⊥DE，
∵PD=9，PE=3，
根据勾股定理得DE=6
（3）解：能够相切．
理由：设⊙P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2+r，-r），
代入抛物线解析式得：（2+r）2-4（2+r）-1=r，
解得r= 或r= （舍去），
把（2+r，-r）代入抛物线得：（2+r）2-4（2+r）-1=-r，
解得：r= ，或r= （舍去）．
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点坐标；
（2）将y=4代入抛物线的解析式即可求出对应的自变量的值，从而M，N两点的坐标，进而求出MN的长度，P点的坐标， 连接PE，根据切线的性质得出PE⊥DE， 然后根据勾股定理即可即可算出DE的长度；
（2） 能够相切． 理由如下： 设⊙P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2+r，-r）， 将该点的坐标代入抛物线的解析式即可求出r的值。
21．已知二次函数 的图象过点A（ 1，0），点B（3，0）和点C.
（1）若点C(0，3)，求二次函数表达式；
（2）若点C(m，n)，证明：当 时，总有am2+bm a+b .
【答案】（1）解：设y=a（x+1）（x-3），代入点C (0，3)
解得a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）
（2）解：方法一：∵图像过A（-1，0），点B（3，0），∴对称轴为直线x=1
a>0，当x=1时，图像有最小值，此时最小值为y=a+b+c
∴当x=m时，存在am2+bm+c≥a+b+c.
∴am2+bm≥a+b
方法二：∵图像过A（-1，0），点B（3，0），∴ ，则b=-2a.
am2+bm- a-b= am2-2am-a+2a= am2-2am+a=a（m2-2m+1）=a(m-1)2≥0
∴am2+bm≥a+b.
【解析】【分析】（1）由题意可知点A和点B是抛物线与x轴的交点坐标，因此设y=a（x+1）（x-3），再将点C的坐标代入，可求出a的值，然后可得到函数解析式.
（2）方法一：利用点A，B的坐标可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质可知当x=1时，图像有最小值，此时最小值为y=a+b+c；再将x=m代入，可证得结论；方法二：利用二次函数的对称轴，可得到b=-2a，再求出am2+bm- a-b=a(m-1)2≥0 ，即可证得结论.
22．已知二次函数y=a（x-1）2+k的图象与y轴交于点C（0，-8），与x轴的一个交点坐标是A（-2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y<0．
【答案】（1）解：∵y=a（x-1）1+k的图象与y轴交于点C（0，-8），
与x轴的一个交点坐标是A（-2，0）．
∴
解得
∴该函数的解析式为y=（x-1）2-9
（2）解：令y=0，则（x-1）2-9=0，解得：x1=-2，x2=4，
∴点B的坐标为（4，0）．
∴当-2【解析】【分析】（1）把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，得出方程组，解方程组求出a，k的值，即可得出答案；
（2）令y=0，得出方程（x-1）2-9=0，解方程求出x的值，从而得出点B的坐标，结合图象得出当-223．某商店以16元/支的价格进了一批钢笔，如果以20元/支的价格售出，每月可以卖出200支，经市场调查发现，每支钢笔上涨1元，每月就少卖出10支.
（1）该商店店主希望该笔月销售利润达1350元，则每支钢笔应该上涨多少元？
（2）每支钢笔上涨多少元时，该商店每月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每支钢笔应该上涨x元钱，
则（20+x-16）（200-10x）=1350，
解得：x1=5，x2=11，
∴每支钢笔应该上涨5元或11元钱，月销售利润达1350元
（2）解：设利润是y元
则y=（20+x-16）（200-10x）
=-10x2+160x+800=-10（x-8）2+1440，
∴当x=8时，y有最大值为1440
【解析】【分析】（1） 设每支钢笔应该上涨x元钱，则每支钢笔的利润为 （20+x-16） 元，每月销售的数量为 （200-10x） 支，根据单支的利润乘以销售的数量等于总利润1350元，即可列出方程，求解即可；
（2） 设利润是y元 ，根据单支的利润乘以销售的数量等于总利润建立出y与x之间的函数关系式，将所得的函数解析式配成顶点式，即可得出答案。
24．二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)
的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=
-8.
（1）求二次函数解析式；
（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.
（3）在(2)的条件下，若自变量x在m ≤x≤m+3时，函数的最小值为-5，则m＝ .
【答案】（1）解：∵二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，
∴x1+ x2=-(k-5)=5-k，x1x2=-(k+4)
∵(x1+1)(x2+1)= -8
∴x1x2+（x1+ x2）+1=-8
∴-(k+4)+ 5-k+1=-8
解得：k=5
∴y=x2-9，此时b2-4ac=36＞0，故符合题意；
（2）解：平移后的二次函数解析式为y=（x-2）2-9，大致画出图象如下，过点P作PD⊥y轴于D
∴顶点P的坐标为（2，-9）
∴PD=2
将x=0代入y=（x-2）2-9中，得y=-5
∴点C的坐标为（0，-5）
∴OC=5
∴△POC的面积= OC·PD=5；
（3）-3或4
【解析】【解答】解：（3）二次函数y=（x-2）2-9的图象的对称轴为直线x=2
当m+3＜2，即m＜-1时，
∵在对称轴左侧，y随x的增大而减小
∴当x=m+3时，y取最小值，由函数的最小值为-5
∴（m+3-2）2-9=-5
解得：m=-3或m=1（不符合前提条件，舍去）；
当m≤2≤m+3，即-1≤m≤2时，
此时当x=2时，y取最小值，最小值为-9，（不符合题意，舍去）
当m＞2时，
∵在对称轴右侧，y随x的增大而增大
∴当x=m时，y取最小值，由函数的最小值为-5
∴（m-2）2-9=-5
解得：m=4或m=0（不符合前提条件，舍去）；
综上：m=-3或4
故答案为：-3或4.
【分析】（1）根据根与系数的关系可得x1+ x2=5-k，x1x2=-(k+4)，将其代入已知等式中即可求出k的值，从而求出结论；
（2）求出平移后的二次函数解析式，并画出图象，过点P作PD⊥y轴于D，然后求出点P和点C的坐标，即可求出结论；
（3）先求出抛物线的对称轴，然后根据x的取值范围与对称轴的位置分类讨论，根据二次函数的图象及性质分别求解即可.
25．如图①，直线AB的解析式为y＝﹣ x+4，抛物线y＝﹣ +bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C（6，0），点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限内时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）如图②，当点P在y轴右侧时，过点A作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，当点H的对应点H′恰好落在直线AB上时，点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的横坐标.
【答案】（1）解：当x＝0时，y＝﹣ x+4＝4，则A（0，4），
∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C（6，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+4；
（2）解：连接OP，
设P（m，﹣ m2+ m+4），
当y＝0时，﹣ x+4＝0，解得x＝3，
则B（3，0），
∵S△ABP＝S△AOP+S△POB﹣S△AOB＝ ×4 m+ ×3 （﹣ m2+ m+4）﹣ ×3×4
＝﹣ m2+4m，
＝﹣ （m﹣4）2+8，
当m＝4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为（4，4）；
（3）解：在Rt△OAB中，AB＝ ＝ ＝5，
当点 落在x轴上，如图2，
∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点 恰好落在直线AB上，同时 恰好落在x轴上
∴ ＝PH＝4﹣（﹣ m2+ m+4）＝ m2﹣ m， ＝AH＝m， ＝∠PHA＝90°，
∵ ＝∠ABO，
∴ ∽△BAO，
∴ ：OA＝ ：OB，即（ m2﹣ m）：4＝ ：3，
∴ ＝ m2﹣m，
∵ ，
∴m+ m2﹣m＝5，
解得m1＝2 ，m2＝﹣2 （舍去），
此时P点横坐标为2 ；
当点P′落在y轴上，如图3，
同理可得 ＝PH＝ m2﹣ m， ＝AH＝m， ＝∠PHA＝90°，
∵ ＝∠BAO，
∴ ∽△AOB，
∴ ：OB＝AH′：AO，即（ m2﹣ m）：3＝m：4，
整理得4m2﹣25m＝0，
解得m1＝ ，m2＝0（舍去），
此时P点横坐标为 ；
综上所述，P点横坐标为2 或 .
【解析】【分析】（1）先利用直线进行确定则A（0，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接OP，设P（m，﹣ m2+ m+4），解方程﹣ x+4＝0得B（3，0），根据三角形面积公式，利用面积的和差得到S△ABP＝S△AOP+S△POB﹣S△AOB＝ ×4 m+ ×3 （﹣ m2+ m+4）﹣ ×3×4，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先利用勾股定理计算出AB＝5，讨论：当点P′落在x轴上，如图2，根据旋转的性质得＝4﹣（﹣ m2+ m+4）＝ m2﹣ m，AH′＝AH＝m，∠P′H′A＝∠PHA＝90°，再证明△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′＝ m2﹣m，然后利用AH′+BH′＝AB得到m+ m2﹣m＝5，解方程求出m即可得到P点横坐标；当点P′落在y轴上，如图3，同理可得P′H′＝PH＝ m2﹣ m，AH′＝AH＝m，∠P′H′A＝∠PHA＝90°，通过证明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（ m2﹣ m）：3＝m：4，然后解关于m的方程即可得到对应P点横坐标.
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