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第7章 锐角函数 单元培优模拟测试卷
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D
2．若tan（a+10°）= ，则锐角a的度数是 （ ）
A．20° B．30° C．35° D．50°
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
4．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（ ）
A．5cm B．5 cm C．5 cm D．6cm
5．四边形具有不稳定性．对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角大小，且其各边长度不变，得到四边形．连接，若，，则线段的长为（ ）
A． B．8 C． D．10
6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（ ）
A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75
7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )
A．15 B．12 C．9 D．6
8．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处， ．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角 为 （点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比） ，那么建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据 ， ， ）
A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
9．在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（ ）
A． B．5.5 C． D．3
10．如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（ ）
A．4 B． C． D．8
二、填空题
11．小芳在楼下点D处看到楼上点E处的小红的仰角是34度，那么点E处的小红看点D处的小芳的俯角等于 度．
12．如图，在 中， ， ， ，点 是 边上的动点（不与点 重合），过 作 ，垂足为 ，点 是 的中点，连接 ，设 ， 的面积为 ，则 与 之间的函数关系式为 ．
13．已知一个菱形的边长是，一个内角为，则这个菱形的面积是 ．
14．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）．
15． 。
16．如图，，，，，，，，求 ．
三、综合题
17．如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端到底盘的距离的长；
（2）求的长．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（m，4）．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数的图象向下平移6个单位得到直线l，设直线l与x轴的交点为B，求∠ABO的正弦值．
19．如图，某同学假期出去旅游，想要已学过的知识测量一座古塔的高度，他在离古塔米的处用测角仪测得塔顶的仰角为．若测角仪高米，则古塔的高为多少米？
20．如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点，，，，，在同一平面内，，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若小明步行速度为，登山缆车的速度为，求小明从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）．
（参考数据：，，）
21．如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．
22．如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度为.
（1）求新坡面的坡角及的长；
（2）原坡面底部的正前方米外（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由.（参考数据：）
23． 如图，已知点是线段上一点，以为直径作，点为的中点，过点作的切线，为切点，连结交于点.
（1）证明：；
（2）若，，求的长.
24．如图，在中，，O为上一点，经过点A的分别交，于点E，F，与相切于点D，连接，相交于点G.
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，求的长.
25．如图，点F是正方形ABCD边AB上一点，过F作FG∥BC，交CD于G，连接FC，H是FC的中点，过H作EH⊥FC交BD于点E．
（1）连接EF，EA，求证：EF＝AE．
（2）若 ，
①若CD＝2， ，求HE的长；
②连接CE，求tan∠DCE的值．（用含k的代数式表示）
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第7章 锐角函数 单元培优模拟测试卷
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D
【答案】A
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴sinA= = 。
故答案为：A。
【分析】首先根据勾股定理算出AC的长，进而根据正弦函数的定义，由sinA= 算出答案。
2．若tan（a+10°）= ，则锐角a的度数是 （ ）
A．20° B．30° C．35° D．50°
【答案】D
【解析】【解答】∵ ，tan（a+10°）= ，
∴a+10°＝60°，
即a＝50°.
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出a+10°＝60°，再求解即可。
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
【答案】C
【解析】【解答】解：tanA===，
解得AC=6，
所以△ABC的面积=AC BC=×6×8=24．
故选C．
【分析】根据∠A的正切值等于对边比邻边列式求出AC，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
4．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（ ）
A．5cm B．5 cm C．5 cm D．6cm
【答案】B
【解析】【解答】连接EC，
∵∠E与∠B是 对的圆周角，
∴∠E=∠B，
∵∠B=∠EAC，
∴∠E=∠EAC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠EAC=45°，
∵AE=10cm，
∴AC=AE sin45°=10× =5 （cm）.
∴AC的长为5 cm.
故答案为：B.
【分析】连接EC，由同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠B，利用等量代换及直径所对的圆周角是直角可判断△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三边的关系即可求出答案.
5．四边形具有不稳定性．对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角大小，且其各边长度不变，得到四边形．连接，若，，则线段的长为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（ ）
A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75
【答案】D
【解析】【解答】
如图；过点E作EM⊥GH于点M，
∵水渠的横断面是等腰梯形，
∴GM= ×（GH-EF）= ×（2.1-1.2）=0.45，
∵斜坡AD的坡度为1：0.6，
∴EM：GM=1：0.6，
∴EM：0.45=1：0.6，
∴EM=0.75，
故选：D.
【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．
7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )
A．15 B．12 C．9 D．6
【答案】A
【解析】【分析】根据sinB等于∠B的对边与斜边之比可得AB的值．
【解答】∵sinB＝，AC=9，
∴=，
解得AB=15．
故选A．
【点评】考查锐角三角函数的定义；用到的知识点为：一个角的正弦值，等于这个角的对边与斜边之比．
8．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处， ．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角 为 （点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比） ，那么建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据 ， ， ）
A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
【答案】B
【解析】【解答】解：过点E作 与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比） ， 米，
∴设 ，则 ．
在 中，
∵ ，即 ，解得 ，
∴ 米， 米，
∴ 米， 米．
∵ ， ， ，
∴四边形EGBM是矩形，
∴ 米， 米．
在 中，
∵ ，
∴ 米，
∴ 米．
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出四边形EGBM是矩形，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
9．在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（ ）
A． B．5.5 C． D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过T作EF垂直矩形的宽，过P作HJ垂直于矩形的长，
设正方形的边长为x，由EF和DT所成的角为θ，则PJ和PC所成的角为θ，在
EF=ET+OT+AH+AM=2xsinθ+xcosθ+xcosθ+xcosθ=19， 即2xsinθ+3xcosθ=19
JH=PJ+PH=2xcosθ+xcosθ=15，即3xcosθ=15，
∴xsinθ=2， xcosθ=5，
两边平方相加得：x2=29，
∴x=， 即正方形的边长为.
故答案为：A.
【分析】过T作EF垂直矩形的宽，过P作HJ垂直于矩形的长，设正方形的边长为x，由EF和DT所成的角为θ，得出PJ和PC所成的角为θ，利用θ的正弦值和余弦值表示出矩形的长和宽，两式联立求解即可.
10．如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：∵等边三角形AOB的边长为5，边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，
∴B（5，0），
∴OB＝5，
作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，
∴CE∥DF，
∴∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∴△COE∽△DBF，
∴ ，
设C（a，b），
∴OE＝a，CE＝b，
∵OC＝2BD，
∴ ，
∴BF＝ a，DF＝ b，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣ b，
∴D（5﹣ b， b），
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，
∴k＝ab＝（5﹣ b） b，解得a＝2，
∴OE＝2，
在Rt△COE中，∠AOB＝60°，
∴CE＝OE tan60°＝2 ，
∴C（2，2 ），
∴k＝2×2 ＝4 。
故答案为：A。
【分析】根据等边三角形的性质得出OB＝5，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，很容易判断出△COE∽△DBF，根据相似三角形对应边成比例得出，设C（a，b），故OE＝a，CE＝b，根据比例式用含a，b的式子表示出BF，CF，进而表示出OF，表示出带你D的坐标，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积等于常数k，列出方程求解算出a的值，进而在Rt△COE中，根据正切函数的定义，由CE＝OE tan60°表示出CE，求出点C的坐标，从而即可求出k的值。
二、填空题
11．小芳在楼下点D处看到楼上点E处的小红的仰角是34度，那么点E处的小红看点D处的小芳的俯角等于 度．
【答案】34
12．如图，在 中， ， ， ，点 是 边上的动点（不与点 重合），过 作 ，垂足为 ，点 是 的中点，连接 ，设 ， 的面积为 ，则 与 之间的函数关系式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵DE⊥BC，垂足为E，
∴tan∠C= = ，CD=x，
∴DE= ，CE= ，
则BE=10－ ，
∴S= S△BED= （10－ ）
化简得： ．
故答案为： s ．
【分析】根据锐角三角函数的定义，可得出，因此设CD=x，可表示出DE、CE的长，就可求出BE的长，再利用三角形的面积公式，可得出s与x的函数解析式。
13．已知一个菱形的边长是，一个内角为，则这个菱形的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，过A作AM⊥BC于点M，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2.
∵∠ABC=60°，
∴AM=AB·sin60°=，
∴菱形的面积为2×=cm2.
故答案为：.
【分析】连接AC，过A作AM⊥BC于点M，由菱形的性质可得AB=BC=2，根据三角函数的概念可得AM，然后由菱形的面积公式进行计算.
14．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）．
【答案】
15． 。
【答案】
【解析】【解答】
【分析】原式利用特殊角三角函数值即可得到结果.
16．如图，，，，，，，，求 ．
【答案】
三、综合题
17．如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端到底盘的距离的长；
（2）求的长．
【答案】（1）米
（2）米
18．在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（m，4）．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数的图象向下平移6个单位得到直线l，设直线l与x轴的交点为B，求∠ABO的正弦值．
【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过A（m，4），
∴4= ，解得m=2．
∴点A的坐标为（2，4）．
设正比例函数的解析式为y=kx，
∵正比例函数的图象经过点A（2，4），
∴可得 4=2k，解得k=2．
∴正比例函数的解析式是y=2x
（2）解：∵正比例函数向下平移6个单位得到直线l，
∴直线l的表达式为y=2x﹣6
∵直l与x轴的交点为B，
∴点B的坐标是（3，0）
∴由勾股定理可知：AB= ．
∴sin∠ABO= =
【解析】【分析】（1）由于点A经过（m，4）所以可求出m=2，再将A（2，4）代入反比例函数中即可求出k的值．（2）先求平移后的直线l的解析式，然后求出B的坐标，利用勾股定理可求出AB的长度，利用正弦的定义即可求出∠ABO的正弦值．
19．如图，某同学假期出去旅游，想要已学过的知识测量一座古塔的高度，他在离古塔米的处用测角仪测得塔顶的仰角为．若测角仪高米，则古塔的高为多少米？
【答案】古塔的高为 米．
20．如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点，，，，，在同一平面内，，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若小明步行速度为，登山缆车的速度为，求小明从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）．
（参考数据：，，）
【答案】（1）登山缆车上升的高度
（2）从山底A处到达山顶处大约需要
21．如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．
【答案】（1）解：如图，连接OC、BC∵⊙O的半径为3，PB=2∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5∵PC=4∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线
（2）解：∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠OCB=90°∵OC⊥PC∴∠BCP+∠OCB=90°
∴∠BCP=∠ACO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠BCP
在△PBC和△PCA中：
∠BCP=∠A，∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴
∴tan∠CAB=
【解析】【分析】（1）连接OC、BC，根据勾股定理的逆定理判断出△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，从而得出结论PC是⊙O的切线；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据同角的余角相等得出∠BCP=∠ACO，根据等边对等角得出∠A=∠ACO，故∠A=∠BCP然后判断出△PBC∽△PCA，根据相似三角形对应边成比例得出，再根据正切函数的定义即可得出答案。
22．如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度为.
（1）求新坡面的坡角及的长；
（2）原坡面底部的正前方米外（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由.（参考数据：）
【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为，
∵新坡面的坡度为
∴
∴，即新坡面的坡角为，
∴米
（2）解：新的设计方案能通过，理由如下：
∵坡面的坡度为，
∴
∵
∴
∴
∴
∴新的设计方案能通过.
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥BG，垂足为H，根据坡面AC的坡度可得∠CAH的度数，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行求解；
（2）根据坡面BC的坡度可得BH=CH=4，根据改造后的新坡面AC的坡度可得AH=CH=，则AB=AH-BH=-4，然后根据AE=EB-AB求出AE的值，再与7进行比较即可判断.
23． 如图，已知点是线段上一点，以为直径作，点为的中点，过点作的切线，为切点，连结交于点.
（1）证明：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：连接，，如图，
为的切线，
，
.
点为的中点，
，
，
.
，
，
.
，
，
；
（2）解：，
.
，
.
设，则，
，
，
.
.
，
，
解得：不合题意，舍去或.
.
【解析】【分析】（1）连接OE、OD，由切线的性质可得AE⊥OE，根据等腰三角形的性质可得∠OEF=∠D，根据等角的余角相等可得∠AEF=∠OFD，由对顶角的性质可得∠AFE=∠OFD，则∠AEF=∠AFE，据此证明；
（2）根据三角函数的概念可设OF=x，则OD=5x，OE=OC=OD=5x，CF=4x，AE=8+4x，OA=8+5x，由勾股定理可得x的值，进而可得BC.
24．如图，在中，，O为上一点，经过点A的分别交，于点E，F，与相切于点D，连接，相交于点G.
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，求的长.
【答案】（1）证明：如图1，连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°＝∠C，
∴ODAC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：如图2，连接DF，EF.
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C.
∴EFBC，
∴∠B＝∠AEF.
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB·AF；
（3）解：设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R.
∵BE＝8，
∴OB＝BE＋OE＝8＋R.
在Rt△BDO中，，
∴，
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE＋2OE＝18，
由（2）知∠AEF＝∠B，∠AFE＝90°，
∴.
在Rt△AFE中，，
∴，
由（2）知AD2＝AB·AF，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OD，利用切线的性质，可证得∠ODB＝90°＝∠C，可推出OD∥AC，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠OAD＝∠CAD，然后利用角平分线的定义可证得结论；
（2）连接DF，EF，利用圆周角定理可证得∠AFE＝90°＝∠C，可推出EF∥BC，利用平行线的性质及圆周角定理可推出∠B=∠ADF；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△ADF，利用相似三角形的对应边成比例，可证得结论；
（3）设⊙O的半径为R，可表示出OB的长；在Rt△BDO中，利用解直角三角形可得到关于R的方程，解方程求出R的值，可得到AE，AB的长；再根据∠AEF＝∠B及解直角三角形求出AF的长；然后根据 AD2＝AB·AF，代入计算求出AD的长.
25．如图，点F是正方形ABCD边AB上一点，过F作FG∥BC，交CD于G，连接FC，H是FC的中点，过H作EH⊥FC交BD于点E．
（1）连接EF，EA，求证：EF＝AE．
（2）若 ，
①若CD＝2， ，求HE的长；
②连接CE，求tan∠DCE的值．（用含k的代数式表示）
【答案】（1）证明：如图，连接EF，EA，EC，
∵ EH⊥FC，H是FC的中点，
∴EF=EC，
∵AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE，
∴AE=EC，
∴EF＝AE；
（2）解：如图，
①∵CD=2，，
∴BF=，AF=，
∴FC=，
过点E作EM⊥AB于点M，
∵EF=AE，
∴EM垂直平分FA，
∴FM=AM=，
∴BM=ME=，
∴EF=，
∵H是FC的中点，
∴FH=，
∴HE=；
②设AB=2a，
∵，
∴BF=2ak，
∴FM=MA=a-ka，BM=a+ak=ME，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DCE=∠DAE=∠FEM，
∴tan∠DCE=tan∠FEM=.
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出EF=EC，再根据SAS证出△ADE≌△CDE，得出AE=EC，即可得出EF＝AE；
（2）①过点E作EM⊥AB于点M，根据题意先求出FC，EF，FH的长，再根据勾股定理即可得出EH的长；
②设AB=2a，根据题意得出BF=2ak，FM=MA=a-ka，BM=a+ak=ME，再根据△ADE≌△CDE，得出∠DCE=∠DAE=∠FEM，即可得出tan∠DCE=tan∠FEM=.
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