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第2章 实数 单元综合提优突破卷
一、单选题
1．下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上点 所对应的实数为 ，则下列实数中所对应的点在数轴上位于-1和0之间的是（ ）
A． B． C． D．
4．12的平方根是（ ）
A． B． C． D．
5．比较实数：2、 、 的大小，正确的是（ ）
A． ＜2＜ B．2＜ ＜ C． ＜ ＜2 D．2＜ ＜
6．若实数m= ，则估计m的值所在范围正确的是（ ）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
7．下列实数中的无理数是（ ）
A．π B． C．0.7 D．﹣8
8．如图，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数 ，1，2，3，则表示数 的点应在（ ）
A．点A与点O之间 B．点O与点B之间
C．点B与点C之间 D．点C与点D之间
9．若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是（ ）
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
10．我们规定：a*b= ，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ）
①a+（b*c）=（a+b）*（a+c） ②a*（b+c）=（a+b）*c
③a*（b+c）=（a*b）+（a*c） ④（a*b）+c= +（b*2c）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
二、填空题
11．比较大小： .
12．若 ，则 ．
13．在如图所示的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1和- ，则点C对应的实数是 ．．
14．已知，则的值是 ．
15．化简： = ．
16．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是 。
三、综合题
17．已知一个正方体的体积为．
（1）求正方体的棱长．
（2）若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？
18．已知y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
19．在数轴上， 表示数 的点到原点的距离．如果数轴上两个点 、 分别对应数 、 ，那么 、 两点间的距离为： ，这是绝对值的几何意义．已知如图，点 在数轴上对应的数为－3，点 对应的数为2．
（1）求线段 的长．
（2）若点 在数轴上对应的数为 ，且是方程 的解，在数轴上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 对应的数；若不存在说明理由．
（3）若点 是数轴上在点 左侧的一点，线段 的中点为点 ，点 为线段 的三等分点且靠近于点 ，当点 在点 左侧的数轴上运动时，请直接判断 的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．
20．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．
（1）若|a+c|+|b|=2，求b的值；
（2）用“＞”从大到小把a，b，﹣b，c连接起来．
21．计算：
（1）3 +|2 ﹣3|
（2）34°25′20″×3+35°42′．
22．在一组实数， ， ， ，1+π，﹣ ，﹣π
（1）将它们分类，填在相应的括号内：
有理数{ }；
无理数{ }；
（2）请你选出2个有理数和2个无理数，再用“+，﹣，×，÷”中的3种不同的运算符号将选出的4个数进行运算（可以用括号），使得运算的结果是一个正整数．
23．（1）不使用计算器，估计 的近似值，（精确到0.01）；
（2）已知 的整数部分为a，小数部分为b．求 的值．
24．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．于是小明用（-1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵＜＜，即∵2＜＜3，
∴的整数部分是2，小数部分为（-2）．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）的小数部分为a，的整数部分为b，则a＋b-的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的值．
25．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．(注：结果保留π)
（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数(填“无理”或“有理”)，这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．
①第 次滚动后，A点距离原点最近，第 次滚动后，A点距离原点最远．
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有 ，此时点A所表示的数是 ．
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第2章 实数 单元综合提优突破卷
一、单选题
1．下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A、∵=-2是有理数，∴A不符合题意；
B、∵是无理数，∴B符合题意；
C、∵是有理数，∴C不符合题意；
D、∵是有理数，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用无理数的定义逐项判断即可.
2．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
无意义，故C不符合题意；
符合题意.
故此题选择D.
【分析】依据平方根、立方根意义将各式化简依次判断即可.
3．如图，数轴上点 所对应的实数为 ，则下列实数中所对应的点在数轴上位于-1和0之间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据点N在数轴上的位置，设实数n为 ，则：
A、 ，
处在3和4之间，不符合题意；
B、 ，
处在 和 之间，不符合题意；
C、 ，
处在4和5之间，不符合题意；
D、 ，
处在-1和0之间，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据数轴上点 所对应的实数为 ，对每个选项一一判断求解即可。
4．12的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】利用平方根的定义计算即可得出答案．
【解答】12的平方根是．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根的定义，解题注意：一个非负数（0除外)的平方根有两个，互为相反数，比较简单．
5．比较实数：2、 、 的大小，正确的是（ ）
A． ＜2＜ B．2＜ ＜ C． ＜ ＜2 D．2＜ ＜
【答案】A
【解析】【解答】解：∵2= ＜ ，
∴2＜ ，
∵ ＜ =2，
∴ ＜2，
∴ ＜2＜ ．
故选：A．
【分析】应用放缩法，判断出2、 、 的大小关系即可．
6．若实数m= ，则估计m的值所在范围正确的是（ ）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
【答案】A
【解析】【解答】解：m=3 ﹣2 = ≈1.414，
则1＜m＜2，
故选A．
【分析】原式化简后合并，估算即可．
7．下列实数中的无理数是（ ）
A．π B． C．0.7 D．﹣8
【答案】A
【解析】【解答】解：π是无理数．
故选：A．
【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
8．如图，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数 ，1，2，3，则表示数 的点应在（ ）
A．点A与点O之间 B．点O与点B之间
C．点B与点C之间 D．点C与点D之间
【答案】B
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，即-4＜ ＜-3，
∴0＜ ＜1，
∴表示数 的点应在点O与点B之间.
故答案为：B.
【分析】被开方数大，算术平方根就越大，据此可得3＜ ＜4，根据不等式的性质得出-4＜ ＜-3，不等式的两边同时加4，得出0＜ ＜1，据此判断即可.
9．若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是（ ）
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，所以
的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y= ，故答案为：B.
【分析】由3=＜＜4=，得到2＜6-＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-，再由平方差公式求出代数式的值.
10．我们规定：a*b= ，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ）
①a+（b*c）=（a+b）*（a+c） ②a*（b+c）=（a+b）*c
③a*（b+c）=（a*b）+（a*c） ④（a*b）+c= +（b*2c）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵a+（b*c）=a+ ，（a+b）*（a+c）= =a+ ，
∴选项①符合题意；
∵a*（b+c）= ，（a+b）*c= ，
∴选项②符合题意；
∵a*（b+c）= ，（a*b）+（a*c）= + =a+ ，
∴选项③不符合题意；
∵（a*b）+c= +c， +（b*2c）= + = +c，
∴选项④符合题意，
∴等式中对于任意实数a、b、c都成立的是：①②④．
故选：B．
【分析】根据*的含义，以及实数的运算方法，判断出对于任意实数a、b、c都成立的是哪个等式即可．
二、填空题
11．比较大小： .
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
【分析】把最简二次根式化成的形式，由12＜13，得出，即可求解.
12．若 ，则 ．
【答案】 或1
【解析】【解答】解：∵ ，
∴2x-1=0或2x-1=1，
解得： 或 1．
故答案为 或1．
【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可．
13．在如图所示的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1和- ，则点C对应的实数是 ．．
【答案】
【解析】【解答】解：∵A、B两点对应的实数分别是1和- ，
∴
设点C表示的数为x
∵点B与点C到点A的距离相等，
∴BC=AB
∵点C在点B的右边，
∴
解之：
故答案为：.
【分析】利用两点之间的距离，由点A，B表示的数可得到AB的值，再根据点B与点C到点A的距离相等，点C在点B的右边，可得到BC=AB，由此可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可的点C对应的实数。
14．已知，则的值是 ．
【答案】
15．化简： = ．
【答案】
【解析】要先判断出 ＜0，再根据绝对值的定义即可求解．此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．
16．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是 。
【答案】a+2 +1
【解析】【解答】解：∵a是一个完全平方数， ∴a的算术平方根是
∴比a的算术平方根大1的数是 +1
∴这个完全平方数为：（ +1）2=a+2 +1
故答案为：a+2 +1
【分析】可利用完全平方数的意义，表示为 .下一个完全平方数为=a+2+1.
三、综合题
17．已知一个正方体的体积为．
（1）求正方体的棱长．
（2）若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？
【答案】（1）
（2）棱长变为原来的2倍
18．已知y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
【答案】（1）解：由于y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，
所以有y=23=8，2x-y= =4，
解得x=6．
（2）解：当x=6，y=8，x2+y2=100，
∴x2+y2的平方根为士 =±10.
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的性质，正数的算术平方根是正数，可得到2x-y=4；利用y的立方根是2，可求出y的值，然后解方程求出x的值.
（2）将x，y代入代入代数式可求出x2+y2的值，再利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可求出出x2+y2的平方根.
19．在数轴上， 表示数 的点到原点的距离．如果数轴上两个点 、 分别对应数 、 ，那么 、 两点间的距离为： ，这是绝对值的几何意义．已知如图，点 在数轴上对应的数为－3，点 对应的数为2．
（1）求线段 的长．
（2）若点 在数轴上对应的数为 ，且是方程 的解，在数轴上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 对应的数；若不存在说明理由．
（3）若点 是数轴上在点 左侧的一点，线段 的中点为点 ，点 为线段 的三等分点且靠近于点 ，当点 在点 左侧的数轴上运动时，请直接判断 的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．
【答案】（1）解： 点 在数轴上对应的数为 ，点 对应的数为2，
．
（2）解：存在．
设 点对应的数为 ，解方程 ，得 ，
点 对应的数为 ，
，
，即， ，
①当 时，有 ，解得 ；
②当 时，有 ，此方程无解；
③当 时，有 ，解得 ；
综上， 点的对应数为 或6．
（3）解：设点 对应的数为 ，则 ， ，
若点 是数轴上在点 左侧的一点，线段 的中点为点 ，点 为线段 的三等分点且靠近于点 ，
，则点 对应的数为 ； ，则 点对应的数为 ；
，则 ．
随着点 的移动， 的值不变．
【解析】【分析】根据A和B点所表示的数求出AB的长，再根据题意求出x的值，求出线段的长度进行作答即可。
20．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．
（1）若|a+c|+|b|=2，求b的值；
（2）用“＞”从大到小把a，b，﹣b，c连接起来．
【答案】（1）∵|a|=|c|，且a，c分别在原点的两旁，
∴a，c互为相反数，即a+c=0．
∵|a+c|+|b|=2，
∴|b|=2，
∴b=±2．
∵b在原点左侧，
∴b=﹣2．
（2）将﹣b标记在数轴上，如图所示．
∴a＞﹣b＞b＞c．
【解析】【分析】（1）由a、c之间的位置关系结合|a|=|c|可得出a+c=0，由b在数轴上的位置结合|a+c|+|b|=2可得出b的值；（2）将﹣b标记在数轴上，结合数轴即可得出a＞﹣b＞b＞c．
21．计算：
（1）3 +|2 ﹣3|
（2）34°25′20″×3+35°42′．
【答案】（1）解：原式=3 +3﹣2 =3+
（2）解：原式=102°75′60″+35°42′=103°16′+35°42′=138°58′
【解析】【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式利用度分秒运算法则计算即可得到结果．
22．在一组实数， ， ， ，1+π，﹣ ，﹣π
（1）将它们分类，填在相应的括号内：
有理数{ }；
无理数{ }；
（2）请你选出2个有理数和2个无理数，再用“+，﹣，×，÷”中的3种不同的运算符号将选出的4个数进行运算（可以用括号），使得运算的结果是一个正整数．
【答案】（1） ， ，﹣ …； ，1+π，﹣π…
（2）解：答案不唯一：两个有理数是： ，﹣ ；两个无理数是：1+π，﹣π．
[1+π+（﹣π）]×[ ﹣（﹣ ）]
=1×3=3
【解析】【解答】（1）解：因为 ，所以有理数有： ， ，﹣ ；无理数有： ，1+π，﹣π．
故：有理数{ ， ，﹣ …}；
无理数{ ，1+π，﹣π…}
【分析】（1）数的分类重实质不重形式，所以需先化简再分类；（2）本题目答案不唯一，由于要求运算的结果是一个正整数，所以无理数只能取1+π、﹣π．注意题目要求．
23．（1）不使用计算器，估计 的近似值，（精确到0.01）；
（2）已知 的整数部分为a，小数部分为b．求 的值．
【答案】（1）解： ，
设 ，则 ，即 ，
，解得 ，
；
（2）解：由 ，得
，
．
【解析】【分析】（1）先确定是一个数，个位数为2，再确定十分位、百分位，最后确定千分位是否≥5，即可得解；
（2）先由的大小估算出+1的范围，即可求解a、b的值，再代入计算可求解。
24．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．于是小明用（-1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵＜＜，即∵2＜＜3，
∴的整数部分是2，小数部分为（-2）．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）的小数部分为a，的整数部分为b，则a＋b-的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的值．
【答案】（1）；4
（2）解：∵，，
∴的小数部分，的整数部分b=3，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵， 其中x是整数，且，
∴x=11，，
∴.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为；
故答案为：4；；
【分析】（1）利用算术平方根的定义估算无理数的大小求解即可；
（2）先估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（3）先估算的大小，再结合题意求出x、y的值，最后代入计算求解即可。
25．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．(注：结果保留π)
（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数(填“无理”或“有理”)，这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．
①第 次滚动后，A点距离原点最近，第 次滚动后，A点距离原点最远．
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有 ，此时点A所表示的数是 ．
【答案】（1）无理；π
（2）4π或-4π
（3）4；3；26π；-6π
【解析】【解答】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是π；
故答案为：无理，π；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是4π或-4π；
故答案为：4π或-4π；（3）①∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3，
∴第4次滚动后，A点距离原点最近，第3次滚动后，A点距离原点最远，
故答案为：4，3；
②∵|+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|=13，
∴13×2π×1=26π，
∴A点运动的路程共有26π；
∵（+2）+（-1）+（+3）+（-4）+（-3）=-3，
（-3）×2π=-6π，
∴此时点A所表示的数是：-6π，
故答案为：26π，-6π．
【分析】（1）先根据圆的周长公式计算出半圆弧AB的长度，即为点C到原点O的距离，再利用圆片在数轴上的滚动方向，即可解答；
（2）先根据圆的周长公式和滚动周数求出点D到原点O的距离，再利用圆片在数轴上的滚动方向，即可解答；
（3）利用滚动方向和滚动周数结合数轴得出答案。
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