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第2章 四边形 单元同步练习卷
一、单选题
1．下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分AFC的面积是（ ）
A．8 B．10 C．20 D．32
4．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点，那么图中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
6．能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．6
8．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点作交于点，过点作于点．若，则为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题
11．在矩形中，，，点E为上一点，且，连接，将沿翻折，得到．当射线经过线段的三等分点时，的长为 ．
12．如图，在 ABCD中，E是边BC上一点，且AB=BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F=62°，则∠D= °.
13．如图，点，，在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为，，为线段的中点，则的长为
14．如图，在 中， ， ． ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的动点，且 ．连接 ， ，则图中阴影部分的面积和为 ．
15．如图是“赵爽弦图”，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么等于 ．
16．从A，B两题中任选一题作答：
A.如图，在ΔABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交与点M，N，作直线MN交AB于点E，交BC于点F，连接AF。若AF＝6，FC＝4，连接点E和AC的中点G，则EG的长为 .
B.如图，在ΔABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，点D是边BC的中点，点E在边AC上运动，当DE平分ΔABC的周长时，DE的长为 .
三、综合题
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.
18．
（1）如图①，点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，点 N 是 CD 延长线上一点， 且BM=DN，则线段 AM 与 AN 的关系．
（2）如图②，在正方形 ABCD 中，点 E、F分别在边 BC、CD上，且∠EAF=45°，判断 BE，DF，EF 三条线段的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BD=5，EF=3，求四边形BEFD的周长．
19．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=CF，连接DE，BF.
（1）求证：四边形FBED是平行四边形；
（2）已知AO=6，∠ADB=30°，求AD的长.
20．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm； 过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
（1）求证：四边形OBEC为矩形；
（2）求矩形OBEC的面积.
21．已知如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=AB，点D在AC上，DF⊥AC交BC于F，点E是AF的中点。
（1）写出线段ED与线段EB的关系并证明；
（2）如图2，将△CDF绕点C逆时针旋转α（0°<α<90°)，其它条件不变，线段ED与线段EB的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△CDF绕点C逆时针旋转一周，如果BC=6，CF=3 ，直接写出线段BE的范围．
22．如图，矩形ABCD，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长.
23．如图，矩形 中， 于 ， 平分 与 交于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
24．下面是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
如图，在正方形 中， ，求证： ．
（1）请根据上述内容，结合图①，写出完整的证明过程．
（2）如图②，在四边形 中， 交 于点F，交 于点 ，点G是线段 上的一个动点，连结 ．当四边形 的面积是4时，线段 的长度为 ．
25．如图1，有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.
（1）求证：四边形CMPN是菱形；
（2）当P，A重合时，如图2，求MN的长；
（3）设△PQM的面积为S，求S的取值范围.
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第2章 四边形 单元同步练习卷
一、单选题
1．下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分AFC的面积是（ ）
A．8 B．10 C．20 D．32
【答案】B
【解析】【解答】解：依题意，∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵△ACD′由△ACD翻折而成，
∴∠ACD＝∠ACD′，
∴∠ACD′＝∠CAB，
∴AF＝CF，
∵BF＝AB-AF＝8-AF，
∴CF2＝BF2+BC2
∴AF2＝（8-AF）2+42
∴AF＝5，则BF＝8-AF=8-5=3
∴S△AFC＝S△ABC-S△BFC＝10．
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质得出AF＝CF，进而勾股定理求得AF，根据S△AFC＝S△ABC-S△BFC即可求解．
4．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点，那么图中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
【答案】B
6．能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】【解答】解：如图示，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有B符合条件．
故答案为：B.
【分析】平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
7．如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．6
【答案】C
8．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
9．如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
10．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点作交于点，过点作于点．若，则为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
二、填空题
11．在矩形中，，，点E为上一点，且，连接，将沿翻折，得到．当射线经过线段的三等分点时，的长为 ．
【答案】或
12．如图，在 ABCD中，E是边BC上一点，且AB=BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F=62°，则∠D= °.
【答案】56
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，AB∥CD，∴∠BAE=∠F=62°.
∵AB=BE，∴∠AEB=∠BAE=62°，∴∠B=180°﹣2×62°=56°，∴∠D=56°.
故答案为：56.
【分析】根据平行四边形性质得∠D=∠B，AB∥CD，推出∠BAE=∠F=62°，根据等腰三角形性质得∠AEB=∠BAE=62°，根据三角形内角和定理可得∠B的度数，进而根据平行四边形的对角相等即可得出答案.
13．如图，点，，在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为，，为线段的中点，则的长为
【答案】
14．如图，在 中， ， ． ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的动点，且 ．连接 ， ，则图中阴影部分的面积和为 ．
【答案】30
【解析】【解答】连接MN，
∵ M、N分别是AB、AC的中点，
∴ MN为三角形ABC的中位线，
∵BC=10，
∴ ，
过点A作AF垂直于BC与点F，
∵AB=AC=13，
∴点F为BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的高为12，
∵MN=DE=5，
∴ ，
故答案为：30．
【分析】连接MN，根据中位线的定理，可得出MN=DE=5；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5，这三个三角形的高之和是从A点到BC的垂线段的长，利用勾股定理可求出高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
15．如图是“赵爽弦图”，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么等于 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵、、和是四个全等的直角三角形，
∴BH=AE=DF=CG，.
∵四边都是正方形，
∴GH=GF=FE=HE，
∴AH=BG=CF=DE.
∵，，
∴，
∴HE=EF=AE-AH=BH-AH=8-6=2.
故答案为：2.
【分析】根据三角形全等的性质推出BH=AE=DF=CG，利用正方形的性质证明GH=GF=FE=HE，从而推出BH=AE，根据直角三角形勾股定理即可求出BH长度，从而求出EF长度.
16．从A，B两题中任选一题作答：
A.如图，在ΔABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交与点M，N，作直线MN交AB于点E，交BC于点F，连接AF。若AF＝6，FC＝4，连接点E和AC的中点G，则EG的长为 .
B.如图，在ΔABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，点D是边BC的中点，点E在边AC上运动，当DE平分ΔABC的周长时，DE的长为 .
【答案】5；
【解析】【解答】A.由尺规作图可得直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴BF=AF=6，E为AB中点，
∵点G为AC中点，
∴EG为ΔABC的中位线，
∴EG∥BC且EG ＝ BC，
∵BF+FC=10，
∴EG=5；
B.如图所示，延长CA到点B′，使AB’等于AB，连接BB′，过点A作AF⊥BB′，垂足为F.
∵ED平分ΔABC的周长，∴AB+AE+BD=EC+DC.
∵BD=DC，∴AB+AE=EC.
∵AB=AB′，∴EB′=EC，
∴DE为ΔCBB′的中位线.
∵∠BAC=60°，
∴ΔBAB′为顶角是120°的等腰三角形 ，
∴∠B=∠B′=30°，
∴AF=1，
∴BF= ，
∴BB′=2 ，
∴ED= .
故答案为：A. 5；B .
【分析】A.由作法知MN是线段AB的垂直平分线，所以BF=AF=6，然后根据EG是三角形ABC的中位线求解即可；
B. 延长CA到点B′，使AB’等于AB，连接BB′，过点A作AF⊥BB′，垂足为F.由ED平分ΔABC的周长，可知EB′=EC，从而DE为ΔCBB′的中位线，由等腰三角形的性质求出∠B=∠B′=30°，从而BF= ，进而可求出DE的长.
三、综合题
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形AEBO为矩形
（2）解：∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝ AC＝8，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝ .
【解析】【分析】（1）因为两组对边分别平行，所以，四边形AEBO是平行四边形.因为四边形ABCD是菱形，所以对角线AC⊥BD，即∠AOB=90°，所以四边形AEBO的为矩.
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以OA=AC=8，因为OE=10，∠OAE=90°，在△AOE中，由勾股定理可得，AE=6，所以OB=AE=6，所以BD=2OB=12，所以，菱形ABCD的面积＝对角线乘积的一半.
18．
（1）如图①，点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，点 N 是 CD 延长线上一点， 且BM=DN，则线段 AM 与 AN 的关系．
（2）如图②，在正方形 ABCD 中，点 E、F分别在边 BC、CD上，且∠EAF=45°，判断 BE，DF，EF 三条线段的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BD=5，EF=3，求四边形BEFD的周长．
【答案】（1）解：结论：AM=AN，AM⊥AN．
理由：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADN=∠BAD=90°，
∵BM=DN，
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，
∴∠AMN=∠BAD=90°，
∴AM⊥AN，
（2）解：如图②中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．
∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°．
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE和△FAG中，
，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．
（3）解：如图③中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．
∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠ABE=∠ADG，
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∵∠BAE+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE和△FAG中，
，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．
∴四边形BEFD的周长为EF+（BE+DF）+DB=3+3+5=11．
【解析】【分析】（1）利用正方形条件证明△ABM≌△ADN，即可推出结论，（2）过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G，证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF，得EF=FG即可解题，（3）过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF，得EF=FG即可解题.
19．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=CF，连接DE，BF.
（1）求证：四边形FBED是平行四边形；
（2）已知AO=6，∠ADB=30°，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形FBED是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=DO=6，
∴BD=12，
∵∠ADB=30°，∠BAD=90°，
∴AB=BD=6，AD==6.
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由AE=CF，可得BE=DF，则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形FBED是平行四边形；
（2）根据矩形的性质求出BD长，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出AB长，再根据勾股定理求AD长即可.
20．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm； 过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
（1）求证：四边形OBEC为矩形；
（2）求矩形OBEC的面积.
【答案】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°
∴平行四边形OBEC是矩形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=3cm.
在Rt△OCD中，OC= =4
∴S矩形OBEC=OC·OB=4×3=12(cm2)
【解析】【分析】（1）首先利用两组对边分别平行的四边形就是平行四边形得出 四边形OBEC是平行四边形 ，再根据菱形的对角线互相垂直得出 ∠BOC=90° ，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论；
（2）首先根据菱形的对角线互相垂直平分再结合勾股定理算出OC，进而利用矩形的面积公式即可直接求解.
21．已知如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=AB，点D在AC上，DF⊥AC交BC于F，点E是AF的中点。
（1）写出线段ED与线段EB的关系并证明；
（2）如图2，将△CDF绕点C逆时针旋转α（0°<α<90°)，其它条件不变，线段ED与线段EB的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△CDF绕点C逆时针旋转一周，如果BC=6，CF=3 ，直接写出线段BE的范围．
【答案】（1）解：结论：ED=EB，DE⊥BE。
证明： 因为∠ADF=∠ABC=90°，AE=EF，
所以DE=AE=EF=EB，
所以∠EDA=∠EAD，∠EBA∠EAB，
又因为∠DEF∠EDA∠DAE＝2∠EAD，∠BEF∠EAB∠EBA＝2∠EAB，BCBA，∠ABC90°，
所以 ∠BAC=45°，∠DEB=∠DEF∠BEF=2（∠EAD+∠EAB）90°，
所以ED=EB，DE⊥BE。
（2）解：结论不变。理由：如图2中，延长AB到M使得BMAB，延长FD到N，使得DNDF，连接CN、CM、ＦＭ、ＡＮ，延长MF交AN于H，交AC于O。因为BCAM，所以BM，同法CF=CN；因为∠ACM∠FCN90°，所以∠NCA∠FCM，所以，所以AN=FM，∠CAN=∠CMF，又因为AE=EF，AB=BM，所以BE=MF，EB∥FM，同法ED=AN，ED∥AN，所以EBED，又因为∠CMF∠COM90°，∠COM∠AOH，所以∠CAN∠AOH=90°，所以∠AHO=90°，所以AN⊥MH，ED⊥EB.
（3）解：如图，
当点F落在AC上时，BE的长最小，最小值；当点F落在AC的延长线上时，BE的长最大，最大值.
【解析】【分析】（1）结论：ＥＤ EB，ED EB，理由直角三角形斜边中线定理即可证明
（2）如图2中，延长延长AB到M使得BM AB，延长FD到N，使得DN DF，连接CN、CM、FM、AN，延长MF交AN于H，交AC于O。想出证明三角形全等即，推出ANFM，再利用三角形中位线定理即可求解。
（3）根据线段间的数量关系、勾股定理、旋转图形的性质以及讨论点F落在AC上、AC的延长线上分别取得最小值、最大值，即可直接求出BE的范围。
22．如图，矩形ABCD，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
∵∠BOE＝∠DOF
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
∵O为BD中点，∴BE=DE
设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6－x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴x2＝42＋(6－x)2，
解得：x＝ ，
∴菱形的边长为 .
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DF的长即可求得菱形的边长.
23．如图，矩形 中， 于 ， 平分 与 交于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，
∴∠CDB+∠DBC=90°.
∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB=90°.
∴∠ECB=∠CDB.
∵∠CFB=∠CDB+∠DCF，∠BCF=∠ECB+∠ECF，∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠BCF
∴BF=BC
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=4（cm），BC=AD=3（cm）.
在Rt△BCD中，由勾股定理得 .
又∵BD·CE=BC·DC，
∴
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出 ∠BCD=90°， 根据直角三角形两锐角互余得出 ∠CDB+∠DBC=90° ，∠DBC+∠ECB=90° ，根据同角的余角相等得出 ∠ECB=∠CDB ，根据角平分线的定义得出 ∠DCF=∠ECF， 进而根据角的和差、三角形外角的性质及等式的性质得出 ∠CFB=∠BCF ，根据等角对等边得出BF=BC；
（2）根据矩形的对边相等得出 DC=AB=4（cm），BC=AD=3（cm）， 在Rt△BCD中，由勾股定理算出BD的长，根据三角形的面积法得出 BD·CE=BC·DC 根据等积式即可算出CE的长，在△BCE中，根据勾股定理即可算出BE的长，进而根据线段的和差算出EF的长，最后在△CEF中，根据勾股定理算出CF的长。
24．下面是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
如图，在正方形 中， ，求证： ．
（1）请根据上述内容，结合图①，写出完整的证明过程．
（2）如图②，在四边形 中， 交 于点F，交 于点 ，点G是线段 上的一个动点，连结 ．当四边形 的面积是4时，线段 的长度为 ．
【答案】（1）解：∵四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）
【解析】【解答】（1）
（2） ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
四边形 的面积是4，且 ，
，
即 ，
解得 ，
同（1）的方法可证： ，
．
【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义可证出 ，可得 ；
（2）由勾股定理求出DE=，由可求出，根据四边形GECD的面积=，求出，可证△ABC≌△ECD，可得，利用AG=AC-GF-CF即可求出结论.
25．如图1，有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.
（1）求证：四边形CMPN是菱形；
（2）当P，A重合时，如图2，求MN的长；
（3）设△PQM的面积为S，求S的取值范围.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC.
由折叠的性质可知∠MNC＝∠PNM，NC＝NP，
∴∠PMN＝∠PNM.
∴PM＝PN.
∵NC＝NP，
∴PM＝CN.
∵MP∥CN，
∴四边形CMPN是平行四边形.
∵NC＝NP，
∴四边形CMPN是菱形
（2）解：当点P与点A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8－x.
在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，
即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3.
∴CN＝8－3＝5.
∵四边形CMPN是菱形，AC＝ ，
∴MN＝ .
（3）解：∵四边形CMPN是菱形，
∴S＝
∵S菱形CMPN＝CN·AB，
∴当点M与点D重合时，如图，此时CN最短，菱形CMPN的面积最小，
∵ ，四边形CMPN是菱形，
∴四边形CMPN是正方形，
则S最小＝ ；
当点P与点A重合时，CN最长，菱形CMPN的面积最大，
则S最大＝ ×5×4＝5.
∴S的取值范围是 .
【解析】【分析】（1）首先利用矩形的性质得出PM∥CN，然后根据平行线的性质和折叠的性质得出PM＝CN，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CMPN是平行四边形，再根据NC＝NP即可证明结论；（2）设BN＝x，则AN＝NC＝8－x，首先利用勾股定理求出x的值，进而求出NC的长度，然后利用勾股定理求出AC的长度，最后利用菱形的面积公式求解即可；（3）根据菱形的对称性可知S＝ ，只要找到菱形CMPN的面积的最大值和最小值即可，又因为S菱形CMPN＝CN·AB，所以只需找到CN的最大值和最小值即可，当点M与点D重合时，此时CN最短，当点P与点A重合时，CN最长，代入计算即可得出答案.
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