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第1章 二次函数 单元综合测试提升卷
一、单选题
1．将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后图像经过（ ）
A． B． C． D．
2．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知一次函数 与 ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．二次函数图象经过点，点，点，点是其图象上的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．将抛物线 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点 、点在该函数图象上，则；⑤若关于的方程有两个实数根，，且满足，则，．其中正确结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
10．函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有4个实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
11．小强推铅球时，铅球的高度y（m）与水平行进的距离x（m）之间的关系为y（x﹣4）2+3，则小强推铅球的成绩是 m．
12．已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2，n)和(4，n)两点，则抛物线的对称轴是 ，n的值为
13．抛物线y=﹣x2+bx+c的最高点为（﹣1，﹣3），则b+c= ．
14．如图，抛物线交x轴分别于点，，交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①；②；③当是等边三角形时，；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中，正确结论的序号为 ．
15．如图，若抛物线 与直线 交于 ， 两点，则不等式 的解集是 .
16．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面到点所在水平地面的距离是 ．
三、综合题
17．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于时，船只过桥洞会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度．
18．已知二次函数 ．
（1）在坐标系中作出该函数的图象；
（2）结合图象，
①直接写出面数图象与 轴的交点坐标．
②直接写出不等式 的解集．
19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，建立直角坐标系，抛物线可用y＝﹣ x2+bx+c表示．
（1）求抛物线的函数关系式和拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载集装箱后高为6m，宽为4m，若隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
20．柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg.
（1）求平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）今年柑橘“红美人”的市场价为40元/kg，并且每亩的种植成本为3万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
21．某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数 ，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
22．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出____个水杯，月销售利润是____元．
（2）若每个水杯售价上涨元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
（4）在涨价的前提下，利润是否存在最大值？若能，求出最大值及售价；若不能，请说明理由．
23．已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与 轴的交点坐标．
24．如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与y轴交于点C，且过点 ．点P、Q是抛物线 上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求 面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当 与 相似时，求点Q的坐标．
25．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
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第1章 二次函数 单元综合测试提升卷
一、单选题
1．将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后图像经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ，
故答案为：A.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵与轴的正半轴相交，
∴，
∴一次函数的图象经过第一二四象限，
∵当时，，
∴，
∴反比例函数的图象在二四象限，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象开口方向向下得a＜0，结合对称轴的位置得b＜0，根据与轴的正半轴相交得，然后确定一次函数图象所在的象限，再由x=1时y＜0，可得，从而确定反比例函数在二、四象限，继而得解.
4．已知一次函数 与 ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由一次函数图象可得：a＞0，c＜0，由二次函数图象可得a＜0，c＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由一次函数图象可得：a＞0，c＞0，由二次函数图象可得a＞0，c＜0，矛盾，故本选项不符合题意；
C、由一次函数图象可得：a＜0，c＞0，由二次函数图象可得a＞0，c＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由一次函数图象可得：a＜0，c＞0，由二次函数图象可得a＜0，c＞0，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：根据一次函数的图象，分a＞0，c＜0；a＞0，c＞0；a＜0，c＞0，观察二次函数的图象，可得出正确结论的选项。
5．二次函数图象经过点，点，点，点是其图象上的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】因为抛物线 向右平移1个单位，得：y=(x 2 1) +1，
再向上平移3个单位得：y=(x 2 1) +1+3，即：y=(x 3) +4
故答案为：C
【分析】根据二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得出平移后的抛物线的表达式。
7．将抛物线 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线 向右平移1个单位，得：
即：
再把 向下平移2个单位后，得：
即：
故答案为：B
【分析】根据平移的性质求抛物线的解析式即可。
8．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点 、点在该函数图象上，则；⑤若关于的方程有两个实数根，，且满足，则，．其中正确结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
9．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】【解答】解：∵与x轴的一个交点为，
∴存在实数根，
∴，
解得，
当k≤-5时，画出图像如图所示：
∴当x=-2时，，
解得，
当k≥1时，画出图像如图所示：
当x=-2时，，
解得，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到存在实数根，进而运用一元二次方程的判别式即可得到，再分类讨论结合题意即可求解。
10．函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有4个实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
二、填空题
11．小强推铅球时，铅球的高度y（m）与水平行进的距离x（m）之间的关系为y（x﹣4）2+3，则小强推铅球的成绩是 m．
【答案】10
【解析】【解答】解：铅球落地时，高度y＝0，
令函数式中y＝0，即，
解得：x1＝10，x2＝ 2（舍去），
即小强推铅球的成绩是10m，
故答案为：10．
【分析】将y=0代入求出x的值，即可得到答案。
12．已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2，n)和(4，n)两点，则抛物线的对称轴是 ，n的值为
【答案】直线x=1；-4
【解析】【解答】解：∵点(-2，n)和(4，n)在抛物线上，
∴点 (-2，n)和(4，n)关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
根据抛物线的对称轴公式可得，
解得：b=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+4，
将点（-2，n）代入y=-x2+2x+4，可得：n=-（-2）2+2×（-2）+4=-4，
故答案为：直线x=1；-4.
【分析】利用抛物线的对称轴公式可得，求出b的值，从而可得抛物线解析式，再将点（-2，n）代入解析式求出n的值即可.
13．抛物线y=﹣x2+bx+c的最高点为（﹣1，﹣3），则b+c= ．
【答案】0
【解析】【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c的最高点为（﹣1，﹣3），
∴ ，解得 ，
∴b+c=0．
故答案为：0．
【分析】根据抛物线y=﹣x2+bx+c的最高点为（﹣1，﹣3）可知x=﹣ =﹣1，当x=﹣1时，y=﹣3，分别求出b、c的值，进而可得出结论．
14．如图，抛物线交x轴分别于点，，交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①；②；③当是等边三角形时，；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中，正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
15．如图，若抛物线 与直线 交于 ， 两点，则不等式 的解集是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设 ， ，
∵
∴ ，
∴
即二次函数值小于一次函数值，
∵抛物线与直线交点为 ， ，
∴由图象可得，x的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】观察图象当 时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当 或 时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x的取值范围，即为不等式的解集.
16．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面到点所在水平地面的距离是 ．
【答案】；
【解析】【解答】解：依题意建立如图平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交x轴于F点，过B作于M点，
根据题意得：，BM=12，
设抛物线的解析式为：
把A、B、C点坐标代入得：
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
设直线BF的解析式为：
把B、M点坐标代入得：
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴C到点BE的距离为：
故图2中液面到点所在水平地面的距离是
故答案为：，
【分析】先利用待定系数法求出二次函数和直线BF的解析式，再联立方程组求出点E的坐标，再利用两点之间的距离公式求出BE的长，再利用勾股定理的逆定理证出再求出C到点BE的距离为即可.
三、综合题
17．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于时，船只过桥洞会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度．
【答案】（1）；
（2）此时水面的宽度为．
18．已知二次函数 ．
（1）在坐标系中作出该函数的图象；
（2）结合图象，
①直接写出面数图象与 轴的交点坐标．
②直接写出不等式 的解集．
【答案】（1）解：列表如下：
=
描点、连线：
（2）解：由函数图象知，
①该二次函数图象与 轴的交点坐标为 ， ；
②不等式 的解集是 或 ．
【解析】【分析】（1）根据二次函数的解析式，作出函数图象即可；
（2）①结合图象，直接写出抛物线与x轴的交点坐标；
②根据题意，写出抛物线的函数值小于0时x的取值范围即可。
19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，建立直角坐标系，抛物线可用y＝﹣ x2+bx+c表示．
（1）求抛物线的函数关系式和拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载集装箱后高为6m，宽为4m，若隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
【答案】（1）解：根据题意将点B（0，4）、C（12，4）代入解析式得：
，
解得： ，
∴y＝﹣ x2+2x+4＝﹣ （x﹣6）2+10，
∴拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）解：∵隧道内设双向行车道，故每条车到宽6 m，货运汽车宽为4m，
x＝6﹣4＝2，代入解析式得y＝﹣ （2﹣6）2+10＝﹣ ×16+10＝ ＞6，
∴如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能安全通过；
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 y＝﹣ （2﹣6）2+10＝﹣ ×16+10＝ ＞6， 再求解即可。
20．柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg.
（1）求平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）今年柑橘“红美人”的市场价为40元/kg，并且每亩的种植成本为3万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
【答案】（1）解：由题意可得，
y＝20﹣0.1（x﹣100）＝﹣0.1x+30，
即平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式是y＝﹣0.1x+30
（2）解：设每亩的利润为w元，
w＝40x（﹣0.1x+30）﹣30000＝﹣4x2+1200x﹣30000＝﹣4（x﹣150）2+60000，
∴当x＝150时，w取得最大值，此时w＝60000，
答：每亩种植150株红美人可使利润最大，最大值为60000元
【解析】【分析】（1）由每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg，当每亩种植的株数为x(x＞100）株的时候，单株产量可以减少 0.1（x﹣100） kg，从而即可y与x的函数关系式；
（2）根据种植的株数乘以每株的产量得出总产量为x（ ﹣0.1x+30 ）kg,根据单价乘以数量等于总价得出这些 柑橘的总售价为 40x（﹣0.1x+30） 元，根据总售价减去总成本等于总利润从而即可建立出w与x的函数关系式，根据所得函数的性质即可解决问题。
21．某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数 ，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【答案】（1）解：由题意可得，当x=50时，y=30；当x=70时，y=10，
代入 中得：
，解得： ，
∴k=-1，b=80；
（2）解：由（1）可知，y=-x+80，
∴ ，
∵y=-x+80≥0，
∴
∵-1＜0，
∴当x=60时，w有最大值，此时w=400，
即最大利润为400元．
【解析】【分析】（1）将“当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件”代入一次函数 ，即可解答；（2）根据利润=销售量×（销售单价-进价），得到 ，再根据二次函数的性质得到利润最大为400元即可．
22．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出____个水杯，月销售利润是____元．
（2）若每个水杯售价上涨元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
（4）在涨价的前提下，利润是否存在最大值？若能，求出最大值及售价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）550，8250；
（2）
（3）售价为50元
（4）存在，利润最大值为12250元，售价为65元
23．已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与 轴的交点坐标．
【答案】（1）解： 抛物线 经过点 ， ，
．
解得： ．
．
（2）解：令 ，
．
解得： ， ．
抛物线与 轴的交点坐标是 ， ．
【解析】【分析】（1）将点（1，-4），（0，-3）代入抛物线即可得到关于b、c的二元一次方程组，求解即可；
（2）将y=0代入抛物线求解即可。
24．如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与y轴交于点C，且过点 ．点P、Q是抛物线 上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求 面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当 与 相似时，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：函数的表达式为： ，将点D坐标代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： …①
（2）解：设直线PD与y轴交于点G，设点 ，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式： 并解得：
直线PD的表达式为： ，则 ，
，
∵ ，故 有最大值，当 时，其最大值为
（3）解：∵ ，∴ ，
∵ ，故 与 相似时，分为两种情况：
①当 时，
， ， ，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得： ，
则 ，则 ，
则直线OQ的表达式为： …②，
联立①②并解得： (舍去负值)，
故点
② 时，
，
则直线OQ的表达式为： …③，
联立①③并解得： ，
故点 ；
综上，点 或
【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2） ，即可求解；（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
25．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C
∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
∵点D为抛物线的顶点，且﹣4
∴点D的坐标为D（1，﹣4）
∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）
∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3
∴当m＝＝2时，NF取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，
此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）
在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，
∴sin∠OCK＝，直线KC的解析式为：，且点F（2，﹣2），
∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：
∴点J（，）
∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且
∴；
（2）存在，Q的坐标（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，点P（0，），
∵把点P向上平移个单位得到点Q
∴点Q（0，﹣2）
∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G
①如图2
G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'
则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，
∵sin∠OAQ＝＝＝
∴，解得：|IO|＝
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝
∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；
②如图3，
当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）
③如图4
当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）
④如图5
当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）
综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣).
【分析】（1）易得A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），利用待定系数法求出直线BD的解析式，设N（m，m2-2m-3），则F（m，2m-6），表示出NF，根据二次函数的性质可得NF的最大值以及对应的点N、F、H的坐标，在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，根据三角函数的概念可得sin∠OCK＝，求出直线KC、KJ的解析式，得到点J的坐标，易知FP+PC的最小值即为FJ的长，据此求解；
（2）由（1）知P（0，），则Q（0，-2），取AQ的中点G，连接OG，则OG=GQ=AQ=，此时∠AQO=∠GOQ，①G点落在y轴的负半轴，则G（0，-），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'，则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，根据三角函数的概念可得IQ，利用勾股定理求出OI，据此可得点Q'的坐标；②当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'的坐标；③当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'的坐标； ④当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'的坐标.
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