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第2章 圆 单元综合复习演练卷
一、单选题
1．如图所示，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
2．已知的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法判断
3．如图，AB为⊙O的直径，点 C，D，E均在⊙O上，且∠BED=30°，则∠ACD的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．已知扇形弧AB的半径为r1，圆心角为a，弧长为l1，面积为S1，扇形弧CD的半径为r2，圆心角为 ，弧长为l2，面积为S2，则以下结论错误的是（ ）
A．若l1＞l2，则ar1＞ r2 B．若r1＞r2，则
C．若a＞ ，则 D．若S1＞S2，则l1r1＞l2r2
5．如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中A是光盘与桌面的切点，∠BAC＝60°，光盘的直径是80cm，则斜边AB被光盘截得的线段AD长为（ ）
A．20 cm B．40 cm C．80cm D．80 cm
6．如图，AB是⊙O的直径，线段DC是⊙O的弦，连接AC、OD，若于点E，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（ ）
A．62° B．70° C．72° D．74°
8．如图，在圆O内有折线，其中，，，则的长为（ ）
A．16 B．20 C．18 D．22
9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，求∠A的度数为 度．
12．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，，从A到B只有路弧，一部分市民走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路，通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：，取3）
13．如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD= ，则阴影部分的面积为 （结果保留π）
15．如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为 ．
16．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
三、综合题
17．如图，公园有一石拱桥是圆弧形(劣弧)，O为拱桥所在圆弧形的圆心．其跨度米，拱高CD为8米，求圆弧所在的圆的半径．
18．如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若 BF=10，sin∠BDE= ，求DE的长．
19．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径R=5，tanC= ，求EF的长．
20．如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（ 2，4）、（0， 4）、（1， 1）．将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′
（1）①画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；
②画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）
以O为圆心，OA为半径画圆，求扇形OA′A1．
21．如图， 是 的边 的中点，过 延长线上的点 作 的垂线 ， 为垂足， 与 的延长线相交于点 ，点 在 上， ， ∥ .
（1）证明： ；
（2）证明：点 是 的外接圆的圆心；
22．
（1）解方程：
（2）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积．
23．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．
24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求 的值．
25．如图，在⊙O中，将 沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD.
（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC= °；
（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM.猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由.
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第2章 圆 单元综合复习演练卷
一、单选题
1．如图所示，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵弧AB=弧AB，
∴∠AOB=2∠ACB=100°，
∴∠BOP=∠AOB-∠AOP=45°.
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOB的度数，进而根据∠BOP=∠AOB-∠AOP即可算出答案.
2．已知的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法判断
【答案】C
【解析】【解答】解：∵的半径为6cm，点P到圆心O的距离为4，
∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点P在内.
故答案为：C.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断可得答案.
3．如图，AB为⊙O的直径，点 C，D，E均在⊙O上，且∠BED=30°，则∠ACD的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵∠BCD和∠BED所对的弧都是弧BD，
∴∠BCD=∠BED=30°，
∵AB直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-30°=60°.
故答案为：A.
【分析】连接BC，在同圆中同弧所对的圆周角相等，得出∠BCD的度数，结合直角所对的圆周角为90°，得∠ACB得度数，则∠ACD的度数可求.
4．已知扇形弧AB的半径为r1，圆心角为a，弧长为l1，面积为S1，扇形弧CD的半径为r2，圆心角为 ，弧长为l2，面积为S2，则以下结论错误的是（ ）
A．若l1＞l2，则ar1＞ r2 B．若r1＞r2，则
C．若a＞ ，则 D．若S1＞S2，则l1r1＞l2r2
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵l1＞l2，
∴
∴ ar1＞ r2 ，故A不符合题意；
B、
∴
∵ r1＞r2，
不能确定的大小，故B符合题意；
C、
∴
∵α＞β
∴
∴，故C不符合题意；
D、∵
∴，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用弧长公式和扇形的面积公式，根据各选项的条件进行变形，可得答案。
5．如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中A是光盘与桌面的切点，∠BAC＝60°，光盘的直径是80cm，则斜边AB被光盘截得的线段AD长为（ ）
A．20 cm B．40 cm C．80cm D．80 cm
【答案】B
【解析】【解答】连接DO，AO，过O作OE⊥AD交AD于点E，
∵∠BAC＝60°，A是光盘与桌面的切点，
∴∠OAC＝90°，
∴∠OAE＝30°，
∵OA＝OD，
∴E是AD的中点，
在Rt△AEO中，AO＝40cm
∴AE＝AO cos∠OAE=40 =20 cm，
∴AD＝2AE=40 cm，
故答案为：B.
【分析】 连接DO，AO，过O作OE⊥AD交AD于点E，由切线的性质可得∠OAC＝90°，于是用三角形内角和定理可求得∠OAE=30°，由垂径定理可得E是AD的中点，在Rt△AEO中，根据cos∠OAE=可求得AE的值，则AD=2AE可求解。
6．如图，AB是⊙O的直径，线段DC是⊙O的弦，连接AC、OD，若于点E，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OC
AB是⊙O的直径
，
∵OE=OE
，
为等边三角形
故答案为：B.
【分析】连接OC，则OA=OC=OD，根据等腰三角形的性质可得AE=CE，∠AOE=60°，证明△OEA≌
△OEC，得到S△OEA=S△OEC，∠AOE=∠COE=60°，推出△OCD为等边三角形，得到CD=OD=3，然后根据S阴影=S扇形COD结合扇形的面积公式进行计算.
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（ ）
A．62° B．70° C．72° D．74°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC.
∵∠DAB＝60°，∠DAC＝∠E＝42°，
∴∠CAB＝60°﹣42°＝18°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣18°＝72°，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAC＝∠E＝42°，然后根据角的和差算出∠CAB的度数，根据直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB=90°，最后根据三角形的内角和算出答案.
8．如图，在圆O内有折线，其中，，，则的长为（ ）
A．16 B．20 C．18 D．22
【答案】B
【解析】【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于点E.
，
，
为等边三角形，
，
，
又，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】延长AO交BC于D，作OE⊥BC于点E，易得△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质得BD=AD=AB=12，则OD=4，进而根据余弦三角函数的定义得=2，进而根据线段的和差算出BE，最后根据垂径定理算出BC的长.
9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，
∴BE=BC=5，
∴AE= ，
∴DE=AD﹣AE=5﹣4=1，
∴CE= ，
∵BC=BE，BF⊥CE，
∴点F是CE的中点，
∴CF= ，
∴BF= ，
∴tan∠FBC= ，
即tan∠FBC的值为 ．
故答案为：D．
【分析】首先根据以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，判断出BE=BC=5，然后根据勾股定理计算AE、DE、CE，根据垂径定理BC=BE，BF⊥CE，判断出F是CE的中点，求出CF、BF的值各是多少，最后根据正切值是对边比邻边求出tan∠FBC。
10．如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
二、填空题
11．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，求∠A的度数为 度．
【答案】60
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠C=120°，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=60°，
故答案为：60
【分析】根据圆内接四边形的性质结合题意得到∠A+∠C=180°，进而即可求解。
12．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，，从A到B只有路弧，一部分市民走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路，通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：，取3）
【答案】12
13．如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是 ．
【答案】8cm
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，
在Rt△BOC中，∵∠BCO=90°，OB=5，OC=3，
∴BC= =4（cm），
∴AB=2BC=8cm．
故答案为：8cm．
【分析】本题考查切线的性质、垂径定理．勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于基础题中考常考题型．根据切线的性质以及垂径定理，在Rt△BOC中利用勾股定理求出BC，即可得出AB的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD= ，则阴影部分的面积为 （结果保留π）
【答案】
【解析】【解答】连接OD．
∵CD⊥AB，∴CE=DE= CD= ，故S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴OC=2，故S扇形OBD= ，即阴影部分的面积为 .
【分析】因为所求阴影部分的面积不规则，需将不规则图形转化为规则图形求解。由题意可连接OD，易证得△OCE△ODE，那么这两个三角形的面积相等，所以阴影部分的面积即为扇形OBD的面积，根据已知条件求解即可。
15．如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：6．
【分析】连接，，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
16．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
【答案】；4
三、综合题
17．如图，公园有一石拱桥是圆弧形(劣弧)，O为拱桥所在圆弧形的圆心．其跨度米，拱高CD为8米，求圆弧所在的圆的半径．
【答案】米
18．如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若 BF=10，sin∠BDE= ，求DE的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线
（2）解：如图，连接DF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠FDB=90°，
∴∠F+∠OBD=90°，
∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠F=∠BDE，
在Rt△BDF中， =sinF=sin∠BDE= ，
∴BD=10× =2 ，
∴在Rt△BDE中，sin∠BDE= = ，
∴BE=2 × =2，
∴在Rt△BDE中，DE= = =4．
【解析】【分析】（1）先连接OD，根据∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，进而得出直线DE是⊙O的切线；（2）先连接DF，根据题意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根据 =sinF=sin∠BDE= ，可得BD=2 ，在Rt△BDE中，根据sin∠BDE= = ，可得BE=2，最后依据勾股定理即可得到DE的长．
19．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径R=5，tanC= ，求EF的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠90°，∴BD⊥AC．
∵AB=BC，∴AD=DC．∵OA=OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线
（2）解：过D作DH⊥BC于H，∵⊙O的半径R=5，tanC= ，∴BC=10，设BD=k，CD=2k，∴BC= k=10，∴k=2 ，∴BD=2 ，CD=4 ，∴DH= =4，∴OH= =3，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2=OH OE，∴OE= ，∴BE= ，∵DE⊥AB，∴BF∥OD，∴△BFE∽△ODE，∴ ，即 ，∴BF=2，∴EF= = ．
【解析】【分析】（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=∠90°，即BD⊥AC．根据等腰三角形三线合一可得AD=DC．而OA=OB，所以OD是三角形ABC的中位线，由三角形中位线定理可得OD∥BC，而DE⊥BC，所以DE⊥OD，根据圆的切线的判定可得直线DE是⊙O的切线；
（2）过D作DH⊥BC于H，已知tanC==，所以可设BD=k，CD=2k，而BC=2OB=10，由勾股定理可求得BC=k=10，解得k=2，则BD=2，CD=4，易得△BDC∽△BHD，所以可得比例式，DH==4，在直角三角形ODH中，由勾股定理可得OH==3，
易证得△ODH∽△ODE，可得比例式，则可得OE=，所以BE=OE-OB=-5=，因为DE⊥AB，所以BF∥OD，所以△BFE∽△ODE，可得比例式，则可得BF=2，在直角三角形BEF中，由勾股定理可得EF==.
20．如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（ 2，4）、（0， 4）、（1， 1）．将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′
（1）①画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；
②画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）
以O为圆心，OA为半径画圆，求扇形OA′A1．
【答案】（1）解：
（2）解：由勾股定理得，A'O2=20
∴扇形的面积==5π
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质得到图形三个顶点的坐标，画出图形即可；
②根据中心对称的性质作出图形即可；
（2）由扇形面积的计算公式计算得到答案即可。
21．如图， 是 的边 的中点，过 延长线上的点 作 的垂线 ， 为垂足， 与 的延长线相交于点 ，点 在 上， ， ∥ .
（1）证明： ；
（2）证明：点 是 的外接圆的圆心；
【答案】（1）证明：∵D是△ABC的边BC的中点
∴BD=CD，
∵BC∥EF，AD⊥EF
∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，
∴AB=AC
（2）证明：连接BO，
由（1）知AD垂直平分BC
∴OB=OC
∵OA=OC
∴AO=BO=CO
∴点O是△ABC的外接圆的圆心.
【解析】【分析】（1）利用线段的中点可得BD=CD，由BC∥EF，AD⊥EF，可得AD⊥BC，利用线段垂直平分线的性质即可求出结论.
（2）连接BO， 利用线段垂直平分线的性质可得OB=OC，从而可得AO=BO=CO，继而可得点O是△ABC的外接圆的圆心.
22．
（1）解方程：
（2）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积．
【答案】（1）解：，，
配方，得，
∴，
∴，
（2）解：∵扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，
∴这块田的面积（平方步）．
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）根据 扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步， 求解即可。
23．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OA．
∵AE是⊙O切线，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥CD
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF=AE=4cm．
又∵OF⊥CD，
∴DF= CD=3cm．
在Rt△ODF中，OD= =5cm，
即⊙O的半径为5cm
【解析】【分析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF= CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求 的值．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE= =2 AE，
在Rt△BEC中， = = ．
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理、勾股定理得出BE=2 AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中可求 的值．
25．如图，在⊙O中，将 沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD.
（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC= °；
（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM.猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）30
（2）解：∠ABM=2∠ABC，理由如下：
作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，
由对称可得∠DBC=∠D'BC，DC=D'C，
连接CO，D'O，AC，
∴∠AOC=2∠ABC，∠D'OC=2∠D'BC，
∴∠AOC=∠D'OC，
∴AC=D'C，
∵DC=D'C，
∴AC=DC，
∴∠CAD=∠CDA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ABC=90°，
设∠ABC=α，则∠CAD=∠CDA=90°﹣α，
∴∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=2α，
即∠ACD=2∠ABC，
∵∠ABM=∠ACD，
∴∠ABM=2∠ABC
【解析】【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC=∠CBD，
∵点D恰好与点O重合，
∴∠COD=60°，
∴∠ABC=∠OBC= ；
故答案为：30；
【分析】（1）由折叠可得∠OBC=∠CBD，由点D恰好与点O重合，可得∠COD=60°，从而可得∠ABC=∠OBC= .
（2）作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，由对称可得∠DBC=∠D'BC，DC=D'C，连接CO，D'O，AC， 根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC，∠D'OC=2∠D'BC，即得∠AOC=∠D'OC，从而可得AC=D'C=DC， 即得∠CAD=∠CDA.根据圆周角定理可得∠ACB=90°即得∠CAD+∠ABC=90°.设∠ABC=α，则∠CAD=∠CDA=90°﹣α， 从而可得∠ACD=2∠ABC，由∠ABM=∠ACD， 即可求出结论.
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