2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中的平行四边形存在性问题（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中的平行四边形存在性问题
1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
8．如图，抛物线yx2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且△ABC的面积为6．
（1）求抛物线的对称轴和解析式；
（2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形APQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；
（3）若过定点K（2，1）的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线y＝﹣2x+b与抛物线交于点G，求证：直线MG必过定点．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标．
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
12．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AF⊥AD交对称轴于点F，在直线AF下方对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，过点P作PE⊥DF交于点E，求PQ+PE最大值及此时点P的坐标；
（3）将原抛物线沿着x轴正方向平移，使得新抛物线经过原点，点M是新抛物线上一点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在以B、C、M、N为顶点的四边形是以BC为对角线的菱形，若存在，求所有符合条件的点N的坐标．
14．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连接AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点，AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求 5PF+3PM 的最小值．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
参考答案
1．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，
＝﹣（m）2，
∵﹣1＜0，
∴当m时，PE的最大值，此时P（，）．
（3）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1，3），F4（1，3），
由平移的性质可知D3（4，0），D4（4，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）．
2．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点D（4，6），
∴S△ABD2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABES△ABD＝2或S△ABES△ABD＝4，
∴2×（2m﹣2）＝2或2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴，
∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
3．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入 得；
解得a；
∴抛物线的解析式为：yx2x﹣2．
（2）把y＝0代入yx2x﹣2得，x2x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0）；
当x＝0是，y＝﹣2，
∴点C的坐标（0，﹣2）；
∴BC2；BC的解析式为：yx﹣2；
根据题意，点D的坐标为（m，0），
把x＝m代入yx2x﹣2得，ym2m﹣2．
把x＝m代入yx﹣2，得ym﹣2，
∴P（m，m2m﹣2）；E（m，m﹣2）；
∴DE＝2m，EP＝2mm2；
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴△BDE∽△BOC，
∴BD：BO＝BE：BC，即BE BO＝BC BD，
∴BE（4﹣m），
∵PEBE（4﹣m），
∴2mm2（4﹣m），
解得m或m＝4（舍）；
（3）存在，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．理由如下：
∵C（0，﹣2），F（1，0），
∴直线CF的解析式为：y＝2x﹣2，
当x时，y＝22＝3；
∴M（，3）；
∵点N是x轴上方抛物线上的一点，
∴当y＝3时，x2x﹣2＝3，
解得x＝﹣2或x＝5；
当N（﹣2，3）时，FH＝MN；
∴H的坐标为：（，0）或（，0）；
当N（5，3）时，FH＝MN；
∴H的坐标为：（，0）或（，0）．
综上，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
4．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB，
则OB＝5＝OA＝OC，
则点A、C、B的坐标分别为：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，理由：
△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣5，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3，
则点M（﹣2，﹣3）；
（3）设点P（x，﹣x﹣5），则点Q（x，x2+4x﹣5），
则PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，
∵PQ∥OB，
故当PQ＝OB时，满足题设条件，
即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5，
解得：x，
则点P的坐标为：（，）或（，）．
5．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，
则DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M，
∴MH+DH的最小值为；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，n），
当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，3）；
当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，1）；
当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
6．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHBPH×OB（﹣x2+2x+x﹣3）（x）2，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t13，t23，
∵，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3，t4，
∵，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，）；
即点N的坐标为：（4，）或（4，）或（﹣2，3）或（﹣2，3）．
7．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝3，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设点P的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），点Q（x，0），
当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣m2+2m+3，
解得：m＝0（舍去）或2，
则点P（2，3）；
当BQ为对角线时，同理可得：0＝﹣m2+2m+3+3，
解得：m＝1±，
则点P的坐标为：（2，3），（1，3）或（1，3）；
（3）是定值，理由：
直线GH过点（1，3），故设直线GH的表达式为：y＝k（x﹣1）+3，
设点G、H的坐标分别为：（m，﹣m2+2m+3），点N（n，﹣n2+2n+3），
联立y＝k（x﹣1）+3和y＝﹣x2+2x+3并整理得：x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
则m+n＝2﹣k，mn＝﹣k，
由点G、D的坐标得，直线GD的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，
令y＝0，则x＝1，即点M（1，0），
则EM＝1﹣1，
同理可得，EN，
则EM EN16．
8．【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b，
∴抛物线的解析式为yx2x+4，
∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（，2），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4），
②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4），
③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（，2），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4），
综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；
（3）存在，理由如下：
∵tan∠ACO1，
∴∠ACO＜45°，
∴E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上，
当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作EM⊥AC，如图：
根据点A（﹣3，0）和点C（0，4）可得直线AC的解析式为y，设直线AC与对称轴交于点H，
∴点H（﹣1，），HC，
∵EH∥y轴，
∴∠EHM＝∠HCO，
∴tan∠EHM＝tan∠HCO，
∴EMHM，
∵∠ACE＝45°，
∴EM＝CM，
∴HC＝HM+CM，即HMHM，
解得HM，
∴EM，
在Rt△EMH中，EH，
解得EH，
∴E的纵坐标为，
∴点E的坐标为（﹣1，）．
9．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），
∴﹣9＝a 3×（﹣6），
∴a，
∴y（x+3）（x﹣6）；
（2）如图1，
抛物线的对称轴为：直线x，由对称性可得Q1（3，﹣9），
∵CQ1＝OA＝3，OA∥CQ1，
∴四边形ACQ1O是平行四边形，
∴Q1满足条件，
当y＝9时，
9，
∴x，
∴Q2（，9），Q3（，9），
综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）设△PED的面积为S，
由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC3，
∵sin∠PBD，
∴，
∴PD，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴，
∴，
∴PE，
∴SPE PD（m+3）（6﹣m），
∴当m时，S最大，
∴当m时，△PDE的面积最大值为：．
10．【解答】（1）解：把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+c得：
a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
令y＝0得0＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵a≠0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，AB＝4，
∵△ABC的面积为6，
∴4×yC＝6，
∴yC＝3，
∴C（0，3）；
把C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：设点E（0，t），
∵AP是平行四边形的边，
∴当点A向右平移2个单位向上平移4个单位得到P，同样点E向右平移2个单位向上平移4个单位得到Q，
即Q（2，t+4），
∴﹣22+2×2+3＝t+4，
解得t＝﹣1，
∴Q（2，3），
∴平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+3＝﹣x2+4x﹣1；
（3）证明：设M（p，﹣p2+2p+3），N（q，﹣q2+2q+3），
设直线MN解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线MN解析式为y＝（﹣p﹣q+2）x+pq+3，
∵直线MN过定点K（2，1），
∴2（﹣p﹣q+2）+pq+3＝1，
∴pq＝2p+2q﹣6，
∵直线y＝﹣2x+b过N（q，﹣q2+2q+3），
∴﹣q2+2q+3＝﹣2q+b，
∴b＝﹣q2+4q+3，
∴y＝﹣2x﹣q2+4q+3，
由﹣2x﹣q2+4q+3＝﹣x2+2x+3得：
x＝q或x＝﹣q+4，
∴G（﹣q+4，﹣q2+6q﹣5），
设直线MG解析式为y＝k'x+b'，把M（p，﹣p2+2p+3），G（﹣q+4，﹣q2+6q﹣5）代入得：
，
解得：，
∴直线MG解析式为y＝（﹣p+q﹣2）x﹣pq+4p+3，
∵pq＝2p+2q﹣6，
∴直线MG解析式为y＝（﹣p+q﹣2）x+2p﹣2q+9，
当x＝2时，y＝2（﹣p+q﹣2）+2p﹣2q+9＝5，
∴直线MG必过定点（2，5）．
11．【解答】解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2，
∴A（4，0），B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入，得，
解得，
∴抛物线得解析式为；
（2）由（1）得：OA＝4，OB＝2，
如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为G，
∵BE∥x轴，
∴∠BAC＝∠ABE，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝2∠ABE，
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE，
∴∠DBE＝∠ABE，
∴∠DBE＝∠BAC，
设D点的坐标为 ，则，
∵，
∴，，
∴，
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时，，
∴点D的坐标为（2，3）；
（3）如图，
∵EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴EF＝OB，
设 ，
，
解得 ，
∴E点的坐标为（2，1）或或．
12．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
将B、C点代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2+x+4；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+4，
∴4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过E点作EG∥y轴交BC于点G，
设E（t，t2+t+4），则G（t，﹣t+4），
∴EGt2+2t，
∴S△BCE（t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）；
（3）存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵yx2+x+4（x﹣1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设Q（1，m），P（n，n2+n+4），B（0，4），C（4，0），
①当PQ为平行四边形的对角线时，1+n＝4，
解得n＝3，
∴P（3，）；
②当PB为平行四边形的对角线时，n＝4+1＝5，
∴P（5，）；
③当PC为平行四边形的对角线时，4+n＝1，
解得n＝﹣3，
∴P（﹣3，）；
综上所述：P点坐标为（3，）或（5，）或（﹣3，）．
13．【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（，0）、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，
∴设抛物线的顶点式为y（x）2+h，
将A（，0）代入得（）2+h＝0，
∴h＝﹣2，
∴y（x）2﹣2x2﹣x；
（2）∵y（x）2﹣2x2﹣x，
∴D（，﹣2），
∵A（，0），AF⊥AD，
∴∠ADF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴F（，2），
设直线AF的解析式为y＝kx+a，
∴，解得，
∴直线AF的解析式为y＝x，
设P（p，p2﹣p），则E（，p2﹣p），Q（p，p），
∴PQ＝p（p2﹣p）p2+2p，
PE＝p，
∴PQ+PEp2+2pp
p2+3p
（p﹣3）2+6，
∴当p＝3时，PQ+PE最大值为6，此时点P的坐标为（3，0）；
（3）由题意得，将原抛物线沿着x轴正方向平移个单位，新抛物线经过原点，
∴新抛物线的解析式为y（x）2﹣2x2﹣2x，
作BC的垂直平分线交y轴于H，垂足为G，
∵抛物线yx2﹣x与x轴交于点A（，0）、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，
∴B（3，0）、C（0，），
∴OC，BC，
∵GH垂直平分BC，
∴CG，G（，），
∵cos∠OCB，
∴CH，
∴OH＝CH﹣OC，
∴H（0，），
设直线GH的解析式为y＝px，
∴p，
∴p＝﹣2，
∴直线GH的解析式为y＝﹣2x，
联立yx2﹣2x得，
解得或，
∴M（3，6）或（﹣3，6），
∵以B、C、M、N为顶点的四边形是以BC为对角线的菱形，
∴点N的坐标为（33，﹣6）或（33，6）．
14．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入y＝kx+b，
得，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F1（﹣2，﹣5），
当m＝4时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F2（4，﹣5）
综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
（3）由题意，M（1，﹣1），F2（4，﹣5），F1（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2．则MH＝4，HF2＝3，MF2＝5，
在Rt△MHF2中，sin∠HMF2，则在Rt△MPN中，sin∠PMN，
∴PNPM，
∵PF1＝PF2，
∴PFPM＝PF2+PN＝F1N为最小值，
∵6×45×F1N，
∴F1N，
∴PFPM的最小值为．
∴5PF+3PM的最小值为24．
15．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，
∵点B（3，0）在二次函数图象上，
∴9+3b﹣3＝0，
∴b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由：如图1，
连接PP'交y轴于E，
∵四边形POP'C为菱形，
∴PP'⊥OC，OE＝CEOC，
∵点C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OE，
∴E（0，），
∴点P的纵坐标为，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴x2﹣2x﹣3，
∴x或x，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴0＜x＜3，
∴点P（，）；
（3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，则PF∥OC，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），
∴F（m，0），
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFBOA OC（OC+PF） OFPF BF
1×3（3﹣m2+2m+3） m（﹣m2+2m+3） （3﹣m）
（m）2，
∴当m时，四边形ABPC的面积最大，最大值为，此时，P（，），
即点P运动到点（，）时，四边形ABPC的面积最大，其最大值为．
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