专题训练 (四) 勾股定理的证明（含答案）

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专题训练 (四) 勾股定理的证明
1. 可以用如图4-ZT-1所示的方法证明勾股定理，其中剪开前的空白部分由2 个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为 S ；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为 S .请你写出用此方法证明勾股定理的过程.
2.某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图4-ZT-2①,B 是正方形ACDE 的边CD 上一点,连接 AB,得到 Rt△ACB,三边长分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF 的位置，如图②所示.该同学用图①、图②的面积相等证明了勾股定理.请你写出用该方法证明勾股定理的过程.
3. 如图4-ZT-3,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,分别以 Rt△ABC 的三边为边向外作正方形 ABFE、正方形AJKC、正方形 BCIH,过点C作AB 的垂线,交AB 于点D,交 FE于点G,连接 HA,CF.
求证:(1)△ABH≌△FBC;
(2)正方形 BCIH 的面积与四边形 BFGD 的面积相等；
1. 证明：根据题意，得
2. 证明:如图,连接 BF.
∵AC=b,∴正方形 ACDE的面积为b .
又
即
又∵AB=AF,∴△BAF为等腰直角三角形,
∴四边形 ABDF 的面积
∵正方形 ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
3. 证明:(1)∵四边形 ABFE和四边形 BCIH 均是正方形,
∴AB=FB,HB=CB,∠ABF=∠CBH=90°,
∴∠ABF+∠ABC=∠CBH+∠ABC,即∠CBF=∠HBA.
在△ABH和△FBC中
∴△ABH≌△FBC(SAS).
(2)∵四边形 BCIH 是正方形,
易得四边形 BFGD是长方形，. 方形BFGD.
即正方形 BCIH 的面积与四边形BFGD 的面积相等.
(3)同(2)可得，正方形 AJKC的面积与四边形 ADGE的面积相等，即
又