专题训练(五) 利用勾股定理求最短路径的长（含答案）
文档属性
| 名称 | 专题训练(五) 利用勾股定理求最短路径的长（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 148.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-08 19:01:41 | ||
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文档简介
专题训练(五) 利用勾股定理求最短路径的长
中小学教育资源及组卷应用平台
类型一 平面上的最短路径
图例 基本策略
模型一 确定动点 P所在的直线； 利用对称性，将同侧的两点A，B转化为异侧的两点 A'，B，则最短路径即为线段A'B； 常构造直角三角形(Rt△CBA'), 利用勾股定理求解
模型二 利用“垂线段最短”确定最短路径； 构造直角三角形，利用勾股定理求解
1. 如图5-ZT-1,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点 D 在AB 边上运动,则CD的最小值为 .
2. 如图5-ZT-2,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=4,E为AB 边上一点,AE=3,D为BC 边的中点，连接AD，F为线段AD 上的动点,连接 FE,FB,则 FE+FB 的最小值为
3. 如图 5-ZT-3,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD 平分∠BAC 交 BC 于点D.若 P,Q 分别是 AD 和AC 上的动点,求PC+PQ的最小值.
类型二 立体图形上的最短路径
图例 基本策略
圆柱 将立体图形展开成平面图形；利用“两点之间，线段最短”确定 最短路径； 构造直角三角形，利用勾 股 定 理求解. 注意：长方体不同的展开方法构造的直角三角形的边长不同，因此要先 分 类 讨论，再计算比较
长方体
阶梯
4.小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图5-ZT-4所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点 A攀爬到点 B的最短路径长为 ( )
A.16米 B.8
米 米
5. 如图5-ZT-5,一个圆桶的底面直径为16 cm,高为18cm，一只小虫从下底点A 处沿圆桶外侧面爬到上底与点 A 相对的点 B 处，则小虫所爬的最短路径长约是(π取3) ( )
A.60cm B.40 cm C.30cm D.20cm
6. 如图5-ZT-6，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点.已知蚂蚁从点 A 出发，沿前表面和右表面爬到点 B，则它爬行的最短路径长为
7. 如图5-ZT-7所示,底面周长为24,高为5 的圆柱表面上有一只蚂蚁(A处)和一滴蜂蜜(B处).蚂蚁从A 处出发沿着圆柱表面爬行，可通过A→C→B或A→D→B 两种不同路径到B 处吃蜂蜜，那么蚂蚁爬行的最短路径长是
8. 如图5-ZT-8,圆柱形玻璃容器高21 cm,底面周长为 48 cm，在容器外侧距下底 1 cm 的点A处有一只蚂蚁，在容器外侧距上底 2cm 且与蚂蚁相对的点 B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短路径长为 cm.
9. 图5-ZT-9中的台阶每一层高20cm,宽40 cm,长50cm，一只蚂蚁从点 A 沿着台阶表面爬到点 B，则它爬行的最短路径长是 .
10.如图5-ZT-10,圆柱形玻璃杯的杯高为 9 cm，底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底 4 cm的点 A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点 B 处，则蚂蚁从外壁 B处到内壁A 处爬行的最短路径长为 cm.(杯壁厚度不计)
11. 如图5-ZT-11,在长方体的顶点 G 处有一滴糖浆，棱AE上的点 P 处的蚂蚁想沿长方体表面爬到G 处去吃糖浆.已知长方体的长AB= 5cm ,宽 AD=4 cm,高 AE=4 cm,AP=1cm，那么蚂蚁爬行的最短路径长是 cm.(结果保留根号)
类型三 数形结合求最短路径的长
12. (1)如图5-ZT-12,C为线段BD 上一动点,AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,CD=x.
①用含x 的代数式表示AC+CE的长；
②求AC+CE的最小值.
(2)若 求 y 的最小值.
2. 5 4. B 5. C 6.
8. 30 9. 130cm 10. 10 11.
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类型一 平面上的最短路径
图例 基本策略
模型一 确定动点 P所在的直线； 利用对称性，将同侧的两点A，B转化为异侧的两点 A'，B，则最短路径即为线段A'B； 常构造直角三角形(Rt△CBA'), 利用勾股定理求解
模型二 利用“垂线段最短”确定最短路径； 构造直角三角形，利用勾股定理求解
1. 如图5-ZT-1,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点 D 在AB 边上运动,则CD的最小值为 .
2. 如图5-ZT-2,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=4,E为AB 边上一点,AE=3,D为BC 边的中点，连接AD，F为线段AD 上的动点,连接 FE,FB,则 FE+FB 的最小值为
3. 如图 5-ZT-3,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD 平分∠BAC 交 BC 于点D.若 P,Q 分别是 AD 和AC 上的动点,求PC+PQ的最小值.
类型二 立体图形上的最短路径
图例 基本策略
圆柱 将立体图形展开成平面图形；利用“两点之间，线段最短”确定 最短路径； 构造直角三角形，利用勾 股 定 理求解. 注意：长方体不同的展开方法构造的直角三角形的边长不同，因此要先 分 类 讨论，再计算比较
长方体
阶梯
4.小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图5-ZT-4所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点 A攀爬到点 B的最短路径长为 ( )
A.16米 B.8
米 米
5. 如图5-ZT-5,一个圆桶的底面直径为16 cm,高为18cm，一只小虫从下底点A 处沿圆桶外侧面爬到上底与点 A 相对的点 B 处，则小虫所爬的最短路径长约是(π取3) ( )
A.60cm B.40 cm C.30cm D.20cm
6. 如图5-ZT-6，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点.已知蚂蚁从点 A 出发，沿前表面和右表面爬到点 B，则它爬行的最短路径长为
7. 如图5-ZT-7所示,底面周长为24,高为5 的圆柱表面上有一只蚂蚁(A处)和一滴蜂蜜(B处).蚂蚁从A 处出发沿着圆柱表面爬行，可通过A→C→B或A→D→B 两种不同路径到B 处吃蜂蜜，那么蚂蚁爬行的最短路径长是
8. 如图5-ZT-8,圆柱形玻璃容器高21 cm,底面周长为 48 cm，在容器外侧距下底 1 cm 的点A处有一只蚂蚁，在容器外侧距上底 2cm 且与蚂蚁相对的点 B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短路径长为 cm.
9. 图5-ZT-9中的台阶每一层高20cm,宽40 cm,长50cm，一只蚂蚁从点 A 沿着台阶表面爬到点 B，则它爬行的最短路径长是 .
10.如图5-ZT-10,圆柱形玻璃杯的杯高为 9 cm，底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底 4 cm的点 A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点 B 处，则蚂蚁从外壁 B处到内壁A 处爬行的最短路径长为 cm.(杯壁厚度不计)
11. 如图5-ZT-11,在长方体的顶点 G 处有一滴糖浆，棱AE上的点 P 处的蚂蚁想沿长方体表面爬到G 处去吃糖浆.已知长方体的长AB= 5cm ,宽 AD=4 cm,高 AE=4 cm,AP=1cm，那么蚂蚁爬行的最短路径长是 cm.(结果保留根号)
类型三 数形结合求最短路径的长
12. (1)如图5-ZT-12,C为线段BD 上一动点,AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,CD=x.
①用含x 的代数式表示AC+CE的长；
②求AC+CE的最小值.
(2)若 求 y 的最小值.
2. 5 4. B 5. C 6.
8. 30 9. 130cm 10. 10 11.