专题训练(八) 中点四边形（含答案）

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专题训练(八) 中点四边形
类型一 中点四边形形状探究
1. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图8-ZT-1①,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：中点四边形 EFGH 是平行四边形；
(2)连接AC,BD,若中点四边形 EFGH 是菱形，则AC 与BD 的数量关系是 .
类型二 中点四边形的应用
2. 如图 8-ZT-2,D 是△ABC 内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点,则四边形 EFGH的周长是( )
A.7 B.9 C.11 D.13
3. 如图 8-ZT-3,在四边形ABCD 中, E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,则 的值为( )
A.9 B.18 C.36 D.48
4. (1)如图8-ZT-4,P是四边形ABCD 内一点,且满 足 E,F,G,H 分别为边AB,BC,CD,DA 的中点，猜想中点四边形 EFGH 的形状，并证明你的猜想；
(2)若改变(1)中的条件,使∠APB=∠CPD= 其他条件不变，直接写出中点四边形. GH 的形状.
1. 解:(1)证明:连接BD.
∵E,H分别为边AB,DA的中点,
∴EH 是△ABD的中位线,
∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG是△BCD的中位线,
∴中点四边形 EFGH是平行四边形.
(2)AC=BD
2. C 3. C
4. 解:(1)猜想:四边形 EFGH 是菱形.
证明:如图,连接AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,
即∠BPD=∠APC.
在△APC和△BPD中
∴△APC≌△BPD(SAS),∴AC=BD.
∵E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF,HG,FG分别为△ABC,△ACD,△BCD的中位线,
∴EF=HG,EF∥HG,∴四边形 EFGH是平行四边形.
∵AC=BD,∴EF=FG,∴四边形 EFGH 是菱形.
(2)四边形 EFGH 是正方形.