专题训练(十) 与正方形有关的常考模型（含答案）

专题训练(十) 与正方形有关的常考模型
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类型一 正方形中相交垂线段问题(“十字架”模型)
【教材母题】
例1 (教材复习题18T8)如图10-ZT-1,AB-CD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF.要修建两条路 BE 和 AF,这两条路等长吗 它们有什么位置关系 为什么
【方法归纳】
正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图10-ZT-2①中的线段AF与BE，图②中的线段 AF 与EG，图③中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等；若相等，则垂直；若AE=DF，则垂直且相等.
【应用迁移】
如图10-ZT-3,ABCD 是一个正方形草地,现要在内部修建两条路 MN,EF,且 MN⊥EF,这两条路还相等吗 为什么
类型二 正方形中过对角线交点的直角问题
例2 如图10-ZT-4,正方形 ABCD的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,O 又 是 正方形A B C O的一个顶点,OA 交 AB 于点 E,OC 交 BC 于点 F.
(1)求证:△AOE≌△BOF;
(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A B C O绕点O 转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少 为什么
【方法归纳】
如图 10-ZT-5,正方形 AB-CD中，O为两条对角线的交点，点 E,F 分别在 AB,BC 上. 若∠EOF 为直角,OE,OF 分别与DA,AB 的延长线交于点G,H,则 △AOE≌△BOF,△AOG≌△BOH,△OGH 是 等 腰 直 角 三 角 形, 且
【应用迁移】
1. 三个边长均为1的正方形按如图 10-ZT-6 所示的方式重叠在一起，A ，A 是其中两个正方形对角线的交点，则阴影部分的面积是 .
2. 如图10-ZT-7,在正方形 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,过点O作OE⊥OF,分别交AB,BC于点E,F,连接EF.已知AE=4,CF=3.
(1)求证：△OEF是等腰直角三角形；
(2)求 EF 的长;
(3)求四边形OEBF 的面积.
3. 如图10-ZT-8,已知四边形ABCD 是正方形,对角线 AC,BD 相交于点 O. E,F 分别是AD,AB 上的点,且 线段 AF,BF 和EF 之间有怎样的数量关系 请证明.
类型三 半角模型
例3 如图10-ZT-9①,四边形 ABCD 是正方形,点 E,F分别在边 BC,CD 上,且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”.在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一.在图②中,连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮延长CB到点G,使 BG=DF,进而解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程.
【方法归纳】
如图 10-ZT-10.
条件：
①正方形 ABCD;
②∠EAF=45°.
结论：
①EF=BE+DF(△CEF 的周长=正方形ABCD 周长的一半);
②EA平分∠BEF;
③FA平分∠DFE.
【应用迁移】
如图10-ZT-11,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在 BC,CD 上,若 45°,求 AF的长.
类型四 外角平分模型
例 4 如图10-ZT-12①,四边形 ABCD 是正方形,E 是边BC 的中点,∠AEF=90°,且 EF交正方形外角的平分线CF 于点 F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.
(1)探究1：小强看到图①后，很快发现AE=EF，这需要证明AE 和EF 所在的两个三角形全等,但△ABE 和△ECF 显然不全等,考虑到E是边BC的中点，因此可以选取边AB的中点M，连接EM(图②)后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程.
(2)探究2：小强继续探究，如图③，若把条件“E是边 BC 的中点”改为“E 是边 BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF 仍然成立，请你证明这一结论.
(3)探究3：小强进一步还想试试，如图④，若把条件“E 是边 BC 的中点”改为“E 是边 BC 延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF 是否成立呢 若成立，请帮小强写出证明过程；若不成立，请说明理由.
例1 解:BE=AF且BE⊥AF.理由如下:
设 BE与AF 的交点为G.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD,∠BAD=∠D=90°.
又∵DE=CF,∴AE=DF,
∴△ABE≌△DAF(SAS),
∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF+∠BAF=90°,
∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠AGB=90°,即 BE⊥AF.
【应用迁移】
解：相等.理由如下：
如图,过点A作AR∥EF交CD于点R,过点 D作DT∥MN交BC于点T,DT和AR 交于点O.
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB∥DC,AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°,AD=DC,
∴四边形AFER，四边形 MNTD是平行四边形，
∴AR=EF,DT=MN.
∵MN⊥EF,AR∥EF,DT∥MN,
∴AR⊥DT,∴∠DOR=90°,
∴∠CDT+∠ARD=90°.
∵∠ADC=90°,∴∠DAR+∠ARD=90°,
∴∠CDT=∠DAR.
在△ADR 和△DCT中
∴△ADR≌△DCT(ASA),∴AR=DT,∴MN=EF.
例2 解:(1)证明:∵四边形 ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠AOB=90°,∠OAB=∠OBC=45°,
∴∠AOE+∠EOB=90°.
∵四边形 是正方形，
∴∠AOE=∠BOF.
在△AOE 和△BOF中 ∴△AOE≌△BOF(ASA).
(2)两个正方形重叠部分的面积等于
理由如下：由(1)知
.
【应用迁移】
2. (1)证明:∵四边形 ABCD为正方形,
∴∠ABO=∠ACF=45°,OB=OC,∠BOC=90°.
∵OE⊥OF,∴∠EOF=90°,
∴∠EOF=∠BOC,∴∠EOB=∠FOC.
在△BEO和△CFO中
∴△BEO≌△CFO,∴OE=OF.
又∵∠EOF=90°,∴△OEF是等腰直角三角形.
(2)EF=5
3. 解: 证明如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA=OB,∠OAE=∠OBF=45°,∠BAD=90°,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°=∠EOF,
∴∠EOA=∠FOB.
在△EOA 和△FOB中
∴△EOA≌△FOB(ASA),∴AE=BF.
在 Rt△EAF中,由勾股定理,得
例3 证明：∵四边形 ABCD为正方形，
∴AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠D=90°,∴∠ABG=90°.
在△ADF和△ABG中
∴△ADF≌△ABG(SAS),∴AF=AG,∠DAF=∠BAG.
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠BAE+∠BAG=45°,
即∠EAG=45°,
∴∠EAF=∠EAG.
在△EAF和△EAG中
∴△EAF≌△EAG(SAS),∴EF=EG.
∵EG=BG+BE,BG=DF,∴EF=BE+DF.
【应用迁移】
解:∵正方形 ABCD的边长为6,
∴AB=BC=CD=AD=6,∠B=∠C=∠D=90°.
在Rt△ABE中,AB=6,AE=3
∴CE=BC-BE=6-3=3.
由例3可知,EF=BE+DF.
设DF=x,则CF=CD-DF=6-x,EF=BE+DF=3+x.
在 Rt△FEC中,由勾股定理,得
即 解得x=2,∴DF=2.
在 Rt△ADF中,由勾股定理,得 2
例4 解:(1)证明:如题图②,取AB的中点M,连接EM.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠B=∠BCD=90°.
∵E,M分别是边BC,AB的中点,
∴AM=EC=BM=BE,
∴∠BME=45°,∴∠AME=135°.
∵CF是正方形外角的平分线,∴∠DCF=45°,
∴∠ECF=135°,∴∠AME=∠ECF.
∵∠B=90°,∠AEF=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF.
在△MAE和△CEF中
∴△MAE≌△CEF,∴AE=EF.
(2)证明:如图①,在AB上取点P,使AP=EC,连接EP.
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠B=∠BCD=90°.
∵AP=EC,∴BP=BE,
∴∠BPE=45°,∴∠APE=135°.
∵CF 是正方形外角的平分线，
∴∠DCF=45°,∴∠ECF=135°,∴∠APE=∠ECF.
∵∠B=90°,∠AEF=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF.
在△PAE和△CEF中
∴△PAE≌△CEF,∴AE=EF.
(3)成立.证明:如图②,延长BA至点H,使AH=EC,连接HE.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠B=∠BCD=90°.
∵AH=EC,∴BH=BE,∴∠H=45°.
∵CF 是正方形外角的平分线，
∴∠ECF=45°,∴∠H=∠ECF.
∵∠B=90°,∠AEF=90°,∠HAE=∠B+∠BEA,∠CEF=∠AEF+∠BEA,
∴∠HAE=∠CEF.
在△HAE和△CEF中
∴△HAE≌△CEF,∴AE=EF.