专题训练(六) 构造三角形中位线的技巧 同步练习 （含答案）2024-2025学年人教版八年级数学下册

专题训练(六) 构造三角形中位线的技巧
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类型一 取中点构造中位线
1. 如图6-ZT-1,在四边形 ABCD中,AB与CD 不平行,M,N分别是 AD,BC的中点.若AB=12,CD=8,则 MN长度的取值范围是 .
2. 如图 6-ZT-2, ABCD 的对角线AC 与 BD相交于点O,且AC⊥BD,AC=8,BD=12,E是CD 的中点,F 是OA 的中点,连接 EF,则线段 EF 的长为 .
类型二 利用角平分线+垂直，延长一边构造中位线
3. 如图 6-ZT-3,在△ABC中,AE 平分∠BAC,D 是BC 的中点,BE⊥AE于点E.若AB=5,AC=3,则 DE的长为
A.1 B. C.2 D.
4. 如图 6-ZT-4 所示,在△ABC 中,AE 平分∠BAC,BE⊥AE于点 E,F是BC 的中点.
求证：
类型三 作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线
5. 如图 6-ZT-5, 在 △ABC中,∠A=90°,AC>AB>4,点 D,E 分别在边AB,AC上,BD=4,CE=3,取DE,BC的中点M,N,连接MN,则线段 MN的长为 ( )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
类型四 连接第三边构造中位线
6. 如图6-ZT-6,B 为AC 上一点,分别以 AB,BC 为边在AC 同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE,P,M,N分别为AC,AD,CE的中点.
(1)求证:PM=PN;
(2)求∠MPN的度数.
1. 24. 证明：延长AC交BE 的延长线于点 P.
∵AE⊥BP,∴∠AEB=∠AEP=90°.
∵AE平分∠BAP,∴∠BAE=∠PAE.
又∵AE=AE,∴△ABE≌△APE,
∴AB=AP,BE=PE.
又∵F是BC的中点,∴EF是△BCP的中位线,
5. A
6. 解:(1)证明:如图,连接DC,AE.
∵P,M,N分别为AC,AD,CE的中点,
∴PM,PN分别是△ACD 和△ACE的中位线,
∵△ABD和△BCE都是等边三角形,
∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠ABE=∠DBC,∴△ABE≌△DBC,
∴AE=DC,∴PM=PN.
(2)如图,设 PM交AE 于点F,PN交DC 于点G,AE交DC 于点H.
由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC,∴∠AHD=∠ABD=60°,∴∠FHG=120°.
∵PM,PN分别是△ACD和△ACE的中位线,
∴PM∥DC,PN∥AE,∴四边形 PFHG为平行四边形,
∴∠MPN=∠FHG=120°.