18.2.2 菱形 同步练习 （含答案）2024-2025学年人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 18.2.2 菱形 同步练习 （含答案）2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 202.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-08 19:40:56 | ||
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文档简介
18.2.2 第1课时 菱形的性质
中小学教育资源及组卷应用平台
A知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 菱形的定义
1. 如图18-2-22,若要使 ABCD 成为菱形,则需要添加的条件是 ( )
A. AB=CD B. AD=BC
C. AB=BC D. AC=BD
2. 如图 18-2-23,在 ABCD 中,BC>AB,将AB边水平向右平移得到EF，由平行四边形的性质和平移的性质，可得四边形 EFCD 是 ,当EF=CF时,四边形EFCD是菱形，即有 相等的平行四边形叫做菱形.
知识点 2 菱形的性质
3. 如图18-2-24,在菱形 ABCD中,AC,BD 相交于点 O.若∠ADO=30°,OA=2,则菱形ABCD的周长是 ( )
A.12 B.16 C.20 D.24
4.如图18-2-25,在菱形 ABCD中,连接AC,BD.若∠1=20°,则∠2的度数为 ( )
A.20° B.60° C.70° D.80°
5.如图18-2-26,菱形 ABCD 的对角线AC, BD 相 交 于 点 O,∠ADC=60°,AC=10,E是AD 的中点,则OE 的长是 .
6. 如图 18-2-27,在菱形 ABCD 中,AB=1,∠DAB=60°,则AC= .
7.如图 18-2-28,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的顶点 B 在x轴的正半轴上，点 A 的坐标为(1， ),则点 C 的坐标为 .
8. 如图18-2-29,在菱形 ABCD中,点 M,N 分别在边 AB,BC 上,且 ∠ADM=∠CDN.求证:BM=BN.
知识点 3 菱形面积的计算
9. 如图 18-2-30,在菱形 ABCD 中,AB=10,∠D = 150°, 则 菱 形 ABCD 的 面 积 为
10. 如图 18-2-31 所示,四边形 ABCD 是边长为 10 cm 的菱形，其中对角线 BD 的长为16 cm.
(1)对角线 AC的长为 ;
(2)菱形 ABCD 的面积为 .
B规律方法综合练 训练思维
11. 如图 18-2-32,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD交于点O,过点 A 作AE⊥BC,垂足为E.若OB=4,菱形 ABCD 的面积为 24,则AE的长为 ( )
A.2.4 B.4 C.4.8 D.5
12. 如图 18-2-33,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥AB 于点H,连接OH.若∠BCD=50°,则∠DHO的度数为 ( )
A.20° B.25° C.27° D.40°
13. 如图 18-2-34,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点O,BE∥AC,AE∥BD,EO 与AB 交于点 F.
(1)求证:EO=DC;
(2)若菱形 ABCD 的边长为 10,∠EBA=60°,求菱形 ABCD的面积.
拓广探究创新练 提升素养
14. [推理能力]综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含 60°角的菱形进行了探究.
【背景】在菱形 ABCD 中,∠B = 60°,作∠PAQ=∠B,AP,AQ分别交边BC,CD于点P,Q.
【感知】(1)如图18-2-35①,若 P 是边 BC 的中点，小智经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，则这个数量关系为 ；
【探究】(2)如图②,当 P 为边 BC 上任意一点时，(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由；
【应用】(3)若在菱形纸片 ABCD中,∠B=60°,AB=8,在 BC边上取一点 P,连接AP,在菱形内部作∠PAQ=60°,AQ 交CD 于点Q，当AP=7时，请直接写出线段DQ的长.
第2课时 菱形的判定
A知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1. 如图 18-2-36,在△ABC中,D,E,F 分别是边BC,CA,AB 的中点,要使四边形 AFDE为菱形，应添加的条件是 (添加一个条件即可).
2. 如图18-2-37,在 ABCD中,AC平分∠DAB,求证：四边形ABCD 是菱形.
知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3. 在 ABCD中,AC,BD是对角线,补充一个条件使得四边形 ABCD 为菱形，这个条件可以是 ( )
A. AC=BD B. AB=AC
C. AC⊥BD D.∠ABC=90°
4.如图 18-2-38,在 ABCD 中,对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD,BD,BC相交于点 E,O,F,连接 BE,DF.
求证：四边形 EBFD是菱形.
知识点 3 四条边相等的四边形是菱形
5. 如 图 18-2-39, 在 △ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC 翻折,得到的△DBC与原△ABC 拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形 ABDC是菱形的依据是
A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
6.如图18-2-40,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,点 E在 DA 的延长线上,连接 BE,过点 C 作 CF∥BE 交 AD的延长线于点 F，连接 BF，CE.求证：四边形BECF 是菱形.
B.规律方法综合练 训练思维
7.张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对 4个零件进行检测.根据零件的检测结果，图18-2-41中有可能不合格的零件是 ( )
8. 如图 18-2-42,Rt△AOD位于平面直角坐标系中， 点 D 在 y轴的负半轴上，点A 的坐标为 若C 是平面内任意一点，在x轴正半轴上存在点 B，使以A，C，B，O为顶点的四边形是菱形，则满足条件的点C的坐标为 .
9.如图 18-2-43,在 中，E是对角线 AC 上一点,连接 BE,DE,且 求证：四边形ABCD是菱形.
拓广探究创新练 提升素养
10.如图 18-2-44,在 中,AE,CF 分别是 的平分线,且点 E,F分别在边 BC,AD上,
(1)求证:四边形 AECF 是菱形;
(2)若 的面积等于 求平行线AB 与DC 间的距离.
18.2.2 第1课时 菱形的性质
1. C 2. 平行四边形 一组邻边
3. B 4. C 5. 5 6. 7. (3,
8. 证明:∵四边形 ABCD为菱形,
∴AD=CD=AB=BC,∠A=∠C.
在△AMD和△CND中
∴△AMD≌△CND(ASA),∴AM=CN,
∴AB-AM=BC-CN,即 BM=BN.
9. 50 10. (1)12 cm (2)96 cm 11. C 12. B
13. (1)证明:∵BE∥AC,AE∥BD,
∴四边形 AEBO是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,AB=DC,即∠AOB=90°,
∴四边形 AEBO是矩形,
∴EO=AB,∴EO=DC.
14. 解:(1)AP=AQ
(2)当P为边 BC 上任意一点时，(1)中的结论仍然成立.
理由：如图，连接AC.
∵四边形 ABCD是菱形,且∠B=60°,
∴AB=AD=BC=CD,∠D=∠B=60°,
∴△ABC和△ADC都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACQ=60°,
∴∠B=∠ACQ,∠BAP+∠PAC=60°.
∵∠PAQ=60°,∴∠PAC+∠CAQ=60°,
∴∠BAP=∠CAQ.
在△BAP和△CAQ中
∴△BAP≌△CAQ(ASA),∴AP=AQ.
(3)线段 DQ的长为5 或3.
第2课时 菱形的判定
1. AF=AE(答案不唯一)
2.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.
∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,
∴∠ACB=∠CAB,∴AB=BC,
∴□ABCD是菱形.
3. C
4.证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO.
∵EF是BD 的垂直平分线,∴BO=DO.
在△DEO和△BFO中
∴△DEO≌△BFO(ASA),∴OE=OF,
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
又∵EF⊥BD,∴四边形 EBFD是菱形.
5. B
6. 证明:∵AB=AC,AD是BC 边上的中线,
∴DB=DC,AD垂直平分BC,
∴EB=EC,FB=FC.
∵CF∥BE,∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.
又∵DB=DC,∴△EBD≌△FCD(AAS),
∴EB=FC,∴EB=FB=FC=EC,
∴四边形 BECF 是菱形.
7. C 8. (1, )或( 或
9. 证明:连接BD交AC 于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.
又∵BE=DE,∴EO⊥BD,即AC⊥BD,
∴□ABCD是菱形.
10. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC.
∵AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD的平分线,
∴∠DAE=∠BCF.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BCF=∠AEB,∴AE∥CF,
∴四边形 AECF是平行四边形.
又∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形.
(2)连接AC,如图.
由(1) 知∠DAE= ∠AEB,∠BAE =∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=EB.
又∵∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形,
∴∠BAE=∠AEB=60°,AB=BE=AE.
∵△ABE的面积等于4
∴AB=4,即AB=AE=BE=4.
由(1)知四边形AECF 是菱形,∴CE=AE=4,
∴∠EAC=∠ECA,BC=BE+CE=8.
∵∠AEB 是△AEC的一个外角,
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°,
∴∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,即 AC⊥AB.
在 Rt△ABC中,由勾股定理,得 即平行线 AB与DC间的距离是4
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A知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 菱形的定义
1. 如图18-2-22,若要使 ABCD 成为菱形,则需要添加的条件是 ( )
A. AB=CD B. AD=BC
C. AB=BC D. AC=BD
2. 如图 18-2-23,在 ABCD 中,BC>AB,将AB边水平向右平移得到EF，由平行四边形的性质和平移的性质，可得四边形 EFCD 是 ,当EF=CF时,四边形EFCD是菱形，即有 相等的平行四边形叫做菱形.
知识点 2 菱形的性质
3. 如图18-2-24,在菱形 ABCD中,AC,BD 相交于点 O.若∠ADO=30°,OA=2,则菱形ABCD的周长是 ( )
A.12 B.16 C.20 D.24
4.如图18-2-25,在菱形 ABCD中,连接AC,BD.若∠1=20°,则∠2的度数为 ( )
A.20° B.60° C.70° D.80°
5.如图18-2-26,菱形 ABCD 的对角线AC, BD 相 交 于 点 O,∠ADC=60°,AC=10,E是AD 的中点,则OE 的长是 .
6. 如图 18-2-27,在菱形 ABCD 中,AB=1,∠DAB=60°,则AC= .
7.如图 18-2-28,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的顶点 B 在x轴的正半轴上，点 A 的坐标为(1， ),则点 C 的坐标为 .
8. 如图18-2-29,在菱形 ABCD中,点 M,N 分别在边 AB,BC 上,且 ∠ADM=∠CDN.求证:BM=BN.
知识点 3 菱形面积的计算
9. 如图 18-2-30,在菱形 ABCD 中,AB=10,∠D = 150°, 则 菱 形 ABCD 的 面 积 为
10. 如图 18-2-31 所示,四边形 ABCD 是边长为 10 cm 的菱形，其中对角线 BD 的长为16 cm.
(1)对角线 AC的长为 ;
(2)菱形 ABCD 的面积为 .
B规律方法综合练 训练思维
11. 如图 18-2-32,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD交于点O,过点 A 作AE⊥BC,垂足为E.若OB=4,菱形 ABCD 的面积为 24,则AE的长为 ( )
A.2.4 B.4 C.4.8 D.5
12. 如图 18-2-33,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥AB 于点H,连接OH.若∠BCD=50°,则∠DHO的度数为 ( )
A.20° B.25° C.27° D.40°
13. 如图 18-2-34,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点O,BE∥AC,AE∥BD,EO 与AB 交于点 F.
(1)求证:EO=DC;
(2)若菱形 ABCD 的边长为 10,∠EBA=60°,求菱形 ABCD的面积.
拓广探究创新练 提升素养
14. [推理能力]综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含 60°角的菱形进行了探究.
【背景】在菱形 ABCD 中,∠B = 60°,作∠PAQ=∠B,AP,AQ分别交边BC,CD于点P,Q.
【感知】(1)如图18-2-35①,若 P 是边 BC 的中点，小智经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，则这个数量关系为 ；
【探究】(2)如图②,当 P 为边 BC 上任意一点时，(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由；
【应用】(3)若在菱形纸片 ABCD中,∠B=60°,AB=8,在 BC边上取一点 P,连接AP,在菱形内部作∠PAQ=60°,AQ 交CD 于点Q，当AP=7时，请直接写出线段DQ的长.
第2课时 菱形的判定
A知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1. 如图 18-2-36,在△ABC中,D,E,F 分别是边BC,CA,AB 的中点,要使四边形 AFDE为菱形，应添加的条件是 (添加一个条件即可).
2. 如图18-2-37,在 ABCD中,AC平分∠DAB,求证：四边形ABCD 是菱形.
知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3. 在 ABCD中,AC,BD是对角线,补充一个条件使得四边形 ABCD 为菱形，这个条件可以是 ( )
A. AC=BD B. AB=AC
C. AC⊥BD D.∠ABC=90°
4.如图 18-2-38,在 ABCD 中,对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD,BD,BC相交于点 E,O,F,连接 BE,DF.
求证：四边形 EBFD是菱形.
知识点 3 四条边相等的四边形是菱形
5. 如 图 18-2-39, 在 △ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC 翻折,得到的△DBC与原△ABC 拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形 ABDC是菱形的依据是
A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
6.如图18-2-40,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,点 E在 DA 的延长线上,连接 BE,过点 C 作 CF∥BE 交 AD的延长线于点 F，连接 BF，CE.求证：四边形BECF 是菱形.
B.规律方法综合练 训练思维
7.张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对 4个零件进行检测.根据零件的检测结果，图18-2-41中有可能不合格的零件是 ( )
8. 如图 18-2-42,Rt△AOD位于平面直角坐标系中， 点 D 在 y轴的负半轴上，点A 的坐标为 若C 是平面内任意一点，在x轴正半轴上存在点 B，使以A，C，B，O为顶点的四边形是菱形，则满足条件的点C的坐标为 .
9.如图 18-2-43,在 中，E是对角线 AC 上一点,连接 BE,DE,且 求证：四边形ABCD是菱形.
拓广探究创新练 提升素养
10.如图 18-2-44,在 中,AE,CF 分别是 的平分线,且点 E,F分别在边 BC,AD上,
(1)求证:四边形 AECF 是菱形;
(2)若 的面积等于 求平行线AB 与DC 间的距离.
18.2.2 第1课时 菱形的性质
1. C 2. 平行四边形 一组邻边
3. B 4. C 5. 5 6. 7. (3,
8. 证明:∵四边形 ABCD为菱形,
∴AD=CD=AB=BC,∠A=∠C.
在△AMD和△CND中
∴△AMD≌△CND(ASA),∴AM=CN,
∴AB-AM=BC-CN,即 BM=BN.
9. 50 10. (1)12 cm (2)96 cm 11. C 12. B
13. (1)证明:∵BE∥AC,AE∥BD,
∴四边形 AEBO是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,AB=DC,即∠AOB=90°,
∴四边形 AEBO是矩形,
∴EO=AB,∴EO=DC.
14. 解:(1)AP=AQ
(2)当P为边 BC 上任意一点时，(1)中的结论仍然成立.
理由：如图，连接AC.
∵四边形 ABCD是菱形,且∠B=60°,
∴AB=AD=BC=CD,∠D=∠B=60°,
∴△ABC和△ADC都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACQ=60°,
∴∠B=∠ACQ,∠BAP+∠PAC=60°.
∵∠PAQ=60°,∴∠PAC+∠CAQ=60°,
∴∠BAP=∠CAQ.
在△BAP和△CAQ中
∴△BAP≌△CAQ(ASA),∴AP=AQ.
(3)线段 DQ的长为5 或3.
第2课时 菱形的判定
1. AF=AE(答案不唯一)
2.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.
∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,
∴∠ACB=∠CAB,∴AB=BC,
∴□ABCD是菱形.
3. C
4.证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO.
∵EF是BD 的垂直平分线,∴BO=DO.
在△DEO和△BFO中
∴△DEO≌△BFO(ASA),∴OE=OF,
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
又∵EF⊥BD,∴四边形 EBFD是菱形.
5. B
6. 证明:∵AB=AC,AD是BC 边上的中线,
∴DB=DC,AD垂直平分BC,
∴EB=EC,FB=FC.
∵CF∥BE,∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.
又∵DB=DC,∴△EBD≌△FCD(AAS),
∴EB=FC,∴EB=FB=FC=EC,
∴四边形 BECF 是菱形.
7. C 8. (1, )或( 或
9. 证明:连接BD交AC 于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.
又∵BE=DE,∴EO⊥BD,即AC⊥BD,
∴□ABCD是菱形.
10. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC.
∵AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD的平分线,
∴∠DAE=∠BCF.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BCF=∠AEB,∴AE∥CF,
∴四边形 AECF是平行四边形.
又∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形.
(2)连接AC,如图.
由(1) 知∠DAE= ∠AEB,∠BAE =∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=EB.
又∵∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形,
∴∠BAE=∠AEB=60°,AB=BE=AE.
∵△ABE的面积等于4
∴AB=4,即AB=AE=BE=4.
由(1)知四边形AECF 是菱形,∴CE=AE=4,
∴∠EAC=∠ECA,BC=BE+CE=8.
∵∠AEB 是△AEC的一个外角,
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°,
∴∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,即 AC⊥AB.
在 Rt△ABC中,由勾股定理,得 即平行线 AB与DC间的距离是4