18.2.3 正方形 同步练习 （含答案）2024-2025学年人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 18.2.3 正方形 同步练习 （含答案）2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-08 19:40:17 | ||
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文档简介
18.2.3 正方形
中小学教育资源及组卷应用平台
A知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 正方形的概念及性质
1.若正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是 ( )
A.8 B.4 C.8 D.16
2. 如图18-2-45,四边形 ABCD 是正方形,延长AB 到点E,使AE=AC,则∠BCE 的度数是 ( )
A.67.5° B.22.5° C.30° D.45°
3. 如图18-2-46,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形ABE,则∠BED 的度数为 ( )
A.15° B.35° C.45° D.55°
4. 如图18-2-47,已知四边形 ABCD 是正方形,G为线段AD 上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE 于点 F.
求证:DF=BE+EF.
知识点 2 正方形的判定
5.下列条件中，能使菱形 ABCD 成为正方形的是 ( )
A. AB=AD B. AB⊥BC
C. AC⊥BD D. AC平分∠BAD
6.如图 18-2-48,在矩形 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,试添加一个条件： ，使得矩形ABCD 成为正方形.
7.如图18-2-49, ABCD 的对角线AC,BD 交于点 O,分别以点 B,C 为圆心, AC, BD长为半径画弧，两弧交于点 P，连接BP,CP.
(1)试判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形
B规律方法综合练 训练思维
8. 如图18-2-50,在四边形 ABCD 中,O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是 ( )
A. AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B. AD∥BC,∠BAD=∠BCD
C. AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D. AO=CO,BO=DO,AB=BC
9.如图 18-2-51,已知正方形 AB-CD的边长为3，P 是对角线 BD 上的一点，PF⊥AD于点 F,PE⊥AB于点 E,连接 PC.当PE:PF=1:2时,PC= ( )
A. B.2 C. D.
10. 如图18-2-52,在正方形 ABCD 中,动点 E在对角线AC 上,AF⊥AC,AF=AE,连接BF,BE,DE.
(1)求证:BF=DE;
(2)当点 E 运动到AC 的中点处时(其他条件不变)，四边形 AFBE 是正方形吗 请说明理由.
拓广探究创新练 提升素养
11. 如图18-2-53,E 是正方形 ABCD 的边 BC上一动点(不与点B，C重合)，CM是正方形ABCD 的外角∠DCN 的平分线,点 F 在射线CM 上.
(1)当∠CEF=∠BAE 时,判断 AE 与 EF是否垂直，并证明你的结论.
(2)若在点 E 的运动过程中，线段CF 与BE始终满足关系式 连接AF，与CD交于点G.
①求证： 的值为常量；
②连接EG，若△CEG的周长为a，求正方形ABCD 的面积.
18.2.3 正方形
1. A 2. B 3. C
4. 证明:∵四边形 ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,∴∠BCE+∠DCF=90°.
∵CE⊥BG,DF⊥CE,∴∠BEC=∠CFD=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,∴∠CBE=∠DCF.
在△BCE和△CDF中
∴△BCE≌△CDF(AAS),∴BE=CF,CE=DF.
∵CE=CF+EF=BE+EF,∴DF=BE+EF.
5. B 6. AB=AD(答案不唯一)
7. 解:(1)四边形 BPCO是平行四边形.
理由：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∵以点 B,C为圆心, 长为半径画弧，两弧交于点 P，
∴OB=CP,BP=OC,
∴四边形 BPCO是平行四边形.
(2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形 BPCO是正方形.
理由:∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.
由(1)知四边形 BPCO是平行四边形，
∴四边形 BPCO是正方形.
8. C 9. C
10. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵AF⊥AC,∴∠EAF=90°,
∴∠EAF=∠BAD,∴∠BAF=∠DAE.
又∵AF=AE,∴△ABF≌△ADE(SAS),∴BF=DE.
(2)当点 E运动到AC的中点处时，四边形 AFBE是正方形.
理由：∵四边形 ABCD是正方形，E为AC的中点，
又∵AF=AE,∴BE=AF.
∵BE⊥AC,AF⊥AC,∴BE∥AF,
∴四边形 AFBE是平行四边形.
又∵∠EAF=90°,AF=AE,∴ AFBE是正方形.
11. 解:(1)AE⊥EF.
证明:∵四边形 ABCD是正方形,∴∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°.
又∵∠CEF=∠BAE,∴∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠AEF=90°,∴AE⊥EF.
(2)①证明:如图①,过点F作FK⊥BN于点 K.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°,AB=BC,∴∠DCN=90°.
∵CM平分∠DCN,∴∠DCM=∠MCN=45°.
∵FK⊥BN,∴∠CFK=45°=∠MCN,∴KC=KF.
又∵
又∵CF= BE,∴BE=KC=KF,
∴BE+EC=KC+EC,即BC=EK,∴EK=AB.
在△ABE和△EKF中
∴△ABE≌△EKF(SAS),∴AE=EF.
由(1)得 即 的值为常量.
②如图②,在CB的延长线上截取BH=DG,连接AH.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=∠D=90°,AB=AD=BC=CD,
∴∠ABH=90°.
在△ABH和△ADG中
∴△ABH≌△ADG(SAS),
∴∠BAH=∠DAG,AH=AG.
由①知△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAG=45°,
即
∴∠EAH=∠EAF.
在△AEH 和△AEG中
∵△CEG的周长为a,
∴EG+CG+EC=DG+BE+CG+EC=CD+BC=2BC=a,
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A知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 正方形的概念及性质
1.若正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是 ( )
A.8 B.4 C.8 D.16
2. 如图18-2-45,四边形 ABCD 是正方形,延长AB 到点E,使AE=AC,则∠BCE 的度数是 ( )
A.67.5° B.22.5° C.30° D.45°
3. 如图18-2-46,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形ABE,则∠BED 的度数为 ( )
A.15° B.35° C.45° D.55°
4. 如图18-2-47,已知四边形 ABCD 是正方形,G为线段AD 上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE 于点 F.
求证:DF=BE+EF.
知识点 2 正方形的判定
5.下列条件中，能使菱形 ABCD 成为正方形的是 ( )
A. AB=AD B. AB⊥BC
C. AC⊥BD D. AC平分∠BAD
6.如图 18-2-48,在矩形 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,试添加一个条件： ，使得矩形ABCD 成为正方形.
7.如图18-2-49, ABCD 的对角线AC,BD 交于点 O,分别以点 B,C 为圆心, AC, BD长为半径画弧，两弧交于点 P，连接BP,CP.
(1)试判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形
B规律方法综合练 训练思维
8. 如图18-2-50,在四边形 ABCD 中,O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是 ( )
A. AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B. AD∥BC,∠BAD=∠BCD
C. AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D. AO=CO,BO=DO,AB=BC
9.如图 18-2-51,已知正方形 AB-CD的边长为3，P 是对角线 BD 上的一点，PF⊥AD于点 F,PE⊥AB于点 E,连接 PC.当PE:PF=1:2时,PC= ( )
A. B.2 C. D.
10. 如图18-2-52,在正方形 ABCD 中,动点 E在对角线AC 上,AF⊥AC,AF=AE,连接BF,BE,DE.
(1)求证:BF=DE;
(2)当点 E 运动到AC 的中点处时(其他条件不变)，四边形 AFBE 是正方形吗 请说明理由.
拓广探究创新练 提升素养
11. 如图18-2-53,E 是正方形 ABCD 的边 BC上一动点(不与点B，C重合)，CM是正方形ABCD 的外角∠DCN 的平分线,点 F 在射线CM 上.
(1)当∠CEF=∠BAE 时,判断 AE 与 EF是否垂直，并证明你的结论.
(2)若在点 E 的运动过程中，线段CF 与BE始终满足关系式 连接AF，与CD交于点G.
①求证： 的值为常量；
②连接EG，若△CEG的周长为a，求正方形ABCD 的面积.
18.2.3 正方形
1. A 2. B 3. C
4. 证明:∵四边形 ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,∴∠BCE+∠DCF=90°.
∵CE⊥BG,DF⊥CE,∴∠BEC=∠CFD=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,∴∠CBE=∠DCF.
在△BCE和△CDF中
∴△BCE≌△CDF(AAS),∴BE=CF,CE=DF.
∵CE=CF+EF=BE+EF,∴DF=BE+EF.
5. B 6. AB=AD(答案不唯一)
7. 解:(1)四边形 BPCO是平行四边形.
理由：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∵以点 B,C为圆心, 长为半径画弧，两弧交于点 P，
∴OB=CP,BP=OC,
∴四边形 BPCO是平行四边形.
(2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形 BPCO是正方形.
理由:∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.
由(1)知四边形 BPCO是平行四边形，
∴四边形 BPCO是正方形.
8. C 9. C
10. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵AF⊥AC,∴∠EAF=90°,
∴∠EAF=∠BAD,∴∠BAF=∠DAE.
又∵AF=AE,∴△ABF≌△ADE(SAS),∴BF=DE.
(2)当点 E运动到AC的中点处时，四边形 AFBE是正方形.
理由：∵四边形 ABCD是正方形，E为AC的中点，
又∵AF=AE,∴BE=AF.
∵BE⊥AC,AF⊥AC,∴BE∥AF,
∴四边形 AFBE是平行四边形.
又∵∠EAF=90°,AF=AE,∴ AFBE是正方形.
11. 解:(1)AE⊥EF.
证明:∵四边形 ABCD是正方形,∴∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°.
又∵∠CEF=∠BAE,∴∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠AEF=90°,∴AE⊥EF.
(2)①证明:如图①,过点F作FK⊥BN于点 K.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°,AB=BC,∴∠DCN=90°.
∵CM平分∠DCN,∴∠DCM=∠MCN=45°.
∵FK⊥BN,∴∠CFK=45°=∠MCN,∴KC=KF.
又∵
又∵CF= BE,∴BE=KC=KF,
∴BE+EC=KC+EC,即BC=EK,∴EK=AB.
在△ABE和△EKF中
∴△ABE≌△EKF(SAS),∴AE=EF.
由(1)得 即 的值为常量.
②如图②,在CB的延长线上截取BH=DG,连接AH.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=∠D=90°,AB=AD=BC=CD,
∴∠ABH=90°.
在△ABH和△ADG中
∴△ABH≌△ADG(SAS),
∴∠BAH=∠DAG,AH=AG.
由①知△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAG=45°,
即
∴∠EAH=∠EAF.
在△AEH 和△AEG中
∵△CEG的周长为a,
∴EG+CG+EC=DG+BE+CG+EC=CD+BC=2BC=a,