第十七章勾股定理单元测试卷 （含答案）2024-2025学年人教版八年级数学下册
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| 名称 | 第十七章勾股定理单元测试卷 （含答案）2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 161.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-08 19:50:49 | ||
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文档简介
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第十七章勾股定理单元测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 有下列各组数:①3,4,5;②6 ,8 ,10 ;③0.5,1.2,1.3;④1, , .其中勾股数有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4 组
2. 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=3,BC=4,则点C到直线AB 的距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.2.4
3.如图17-Z-1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点 A，B，C均在网格的格点上，则△ABC的三条边中边长是无理数的有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
4. 如图17-Z-2,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,1),以点 A 为圆心,AB为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点 C表示的实数介于 ( )
A.1 和2之间 B.2 和3 之间
C.3和4之间 D.4 和5之间
5.如图17-Z-3所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1.设直角三角形较长的直角边长为b，较短的直角边长为a，则a+b的值是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
6. 如图17-Z-4,正方形a,b,c在直线l的同侧,若a,c的面积分别为4 和16,则b的面积为 ( )
A.4 B.20 C.12 D.22
7. 若实数m，n满足 且m,n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为 ( )
A.3或4 B.5或 C.5 D.
8. 如图17-Z-5,两个大小、形状均相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A与点A'重合,点 C'落在边 AB上,连接 B'C.若 AC=BC=3,则B'C 的长为 ( )
B.6
9. 如图17-Z-6,在 Rt△ABC中, 将 折叠，使点A与BC的中点D 重合，折痕为MN，则线段 BN的长为 ( )
D.5
10.要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B两个居民区到它的距离之和最小 小聪根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图17-Z-7所示的平面直角坐标系，并测得点 A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(6，5)，则A，B两个居民区到奶站的距离之和的最小值是 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是 ，逆命题是 (填“真命题”或“假命题”).
12. 在如图17-Z-8所示的正方形网格中,点 A,B,C都在格点上,则∠BAC的度数为 .
13.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明朝数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几 ”(注：1步=5尺)译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺(水平距离)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，如果秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长.”根据题意求出绳索的长为 尺.
14. 如图17-Z-9,在 Rt△ABC中,AC=BC=2,点 D在AB 的延长线上,且CD=AB,则 BD的长是 .
15.有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图17-Z-10所示的图形.如果照此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .
16. 如图17-Z-11,长方体的长 宽AB=10cm,高 点M在CH 上,且 如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 A 爬到点M，那么它爬行的最短路程是 .
三、解答题(共52分)
17. (6分)如图17-Z-12，军舰甲在A 处停留，此时在A处的南偏西 方向，距离A处600公里的B处有一艘军舰乙正由南向北航行.若军舰甲的雷达可测距离为450公里，军舰乙的航行方向不变，则在军舰乙航行的过程中，军舰甲的雷达能否测到军舰乙 请通过计算说明理由.
18. (6分)如图 17-Z-13,在 中， P 是 BC 边的中点，连接AP.求证:
19. (6分)如图17-Z-14,学校高17m的教学楼AB上有一块高5m 的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训宣传牌AC进行维护.一辆高2m 的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯(云梯最长25 m)刚好接触到AC的底部点 A 处.当工程车向教学楼方向行驶多少米时，长25 m的云梯刚好接触到 AC的顶部点C处
20. (8分)如图17-Z-15,在四边形ABCD中,已知 四边形ABCD的周长为32,连接 BD.
(1)试判断 的形状；
(2)求 BC的长.
21. (8分)如图17-Z-16,A城气象台测得台风中心在A 城正西方向240km的O处，台风以 30 km/h 的速度向南偏东 方向移动，距台风中心150 km的范围内会受到台风的影响.
(1)A城是否会受到这次台风的影响 为什么
(2)若A 城会受到台风的影响，则受台风影响的时间有多长
22.(8分)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”.
(1)如图17-Z-17①,在 中， 求证： 是“奇妙三角形”；
(2)如图②,在 中， 若 是“奇妙三角形”,求 BC的长.
23. (10分)综合探究:
“在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为 , , ,求△ABC的面积.”
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长均为1)，再在网格中画出格点三角形 ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图17-Z-18①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法.
(1)直接写出图①中△ABC的面积是 ；
(2)若△MNP 的三边长分别为 n>0，且m≠n)，试运用构图法在图②中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积;
(3)拓展应用：求代数式 的最小值.
1. A 2. D 3. C 4. B 5. A
6. B 7. B 8. A 9. C 10. C
11.三边分别相等的三角形全等 真命题
12. 90° 13. 14.5
15. 2025 16. 15 cm
17.解：军舰甲的雷达能测到军舰乙.
理由：过点 A作军舰乙航行方向的垂线，垂足为C，如图.
由题意,得∠B=∠A=45°,所以AC=BC.
在 Rt△ABC中,由勾股定理,得 即 解得 (公里)<450公里,所以军舰甲的雷达能测到军舰乙.
18. 证明:因为AB=AC,P是BC边的中点,
所以AP⊥BC,BP=CP,所以∠APB=90°.
在 Rt△APB中,由勾股定理,得
因为 BP=CP,所以 BP·CP=BP ,
所以
19. 5m
20. (1)△ABD是等边三角形 (2)BC=10
21.解：(1)A城会受到这次台风的影响.
理由:如图,过点 A作AH⊥OB于点 H.
由题意,得∠AOB=30°.
在Rt△AOH中,因为OA=240 km,∠AOH=30°,所以
因为120<150，所以A城会受到这次台风的影响.
(2)如图,设AR=AT=150 km.
又因为AH⊥OB,
所以 所以RT=180km,
所以A 城受台风影响的时间为180÷30=6(h).
22. (1)证明:过点 A作AD⊥BC于点D,如图.
因为AB=AC,AD⊥BC,
所以
在Rt△ABD中，由勾股定理，得 所以AD=BC,所以△ABC是“奇妙三角形”.
(2)3或4
23. 解:(1)3.5
(2)如图，由勾 股定 理，知 则△MNP 即为所求.
△MNP 的面积为 3m×2n=12mn-2mn-2mn-3mn=5mn.
可看作两直角边长分别为x和1的Rt△ACP的斜边长， 可看作两直角边长分别是4-x和2的Rt△BDP的斜边长，构造图形如下：
依题意,得AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,PD=4-x,
求代数式 的最小值，就是求AP+BP的最小值,当点A,B,P共线时,AP+BP的值最小，最小值为AB的长.
过点B作BE⊥AC,交AC的延长线于点E,则CE=DB=2,BE=CD=4,
所以AE=AC+CE=1+2=3,
所以在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得
所以代数式 的最小值是5.
第十七章勾股定理单元测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 有下列各组数:①3,4,5;②6 ,8 ,10 ;③0.5,1.2,1.3;④1, , .其中勾股数有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4 组
2. 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=3,BC=4,则点C到直线AB 的距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.2.4
3.如图17-Z-1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点 A，B，C均在网格的格点上，则△ABC的三条边中边长是无理数的有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
4. 如图17-Z-2,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,1),以点 A 为圆心,AB为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点 C表示的实数介于 ( )
A.1 和2之间 B.2 和3 之间
C.3和4之间 D.4 和5之间
5.如图17-Z-3所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1.设直角三角形较长的直角边长为b，较短的直角边长为a，则a+b的值是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
6. 如图17-Z-4,正方形a,b,c在直线l的同侧,若a,c的面积分别为4 和16,则b的面积为 ( )
A.4 B.20 C.12 D.22
7. 若实数m，n满足 且m,n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为 ( )
A.3或4 B.5或 C.5 D.
8. 如图17-Z-5,两个大小、形状均相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A与点A'重合,点 C'落在边 AB上,连接 B'C.若 AC=BC=3,则B'C 的长为 ( )
B.6
9. 如图17-Z-6,在 Rt△ABC中, 将 折叠，使点A与BC的中点D 重合，折痕为MN，则线段 BN的长为 ( )
D.5
10.要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B两个居民区到它的距离之和最小 小聪根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图17-Z-7所示的平面直角坐标系，并测得点 A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(6，5)，则A，B两个居民区到奶站的距离之和的最小值是 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是 ，逆命题是 (填“真命题”或“假命题”).
12. 在如图17-Z-8所示的正方形网格中,点 A,B,C都在格点上,则∠BAC的度数为 .
13.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明朝数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几 ”(注：1步=5尺)译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺(水平距离)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，如果秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长.”根据题意求出绳索的长为 尺.
14. 如图17-Z-9,在 Rt△ABC中,AC=BC=2,点 D在AB 的延长线上,且CD=AB,则 BD的长是 .
15.有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图17-Z-10所示的图形.如果照此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .
16. 如图17-Z-11,长方体的长 宽AB=10cm,高 点M在CH 上,且 如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 A 爬到点M，那么它爬行的最短路程是 .
三、解答题(共52分)
17. (6分)如图17-Z-12，军舰甲在A 处停留，此时在A处的南偏西 方向，距离A处600公里的B处有一艘军舰乙正由南向北航行.若军舰甲的雷达可测距离为450公里，军舰乙的航行方向不变，则在军舰乙航行的过程中，军舰甲的雷达能否测到军舰乙 请通过计算说明理由.
18. (6分)如图 17-Z-13,在 中， P 是 BC 边的中点，连接AP.求证:
19. (6分)如图17-Z-14,学校高17m的教学楼AB上有一块高5m 的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训宣传牌AC进行维护.一辆高2m 的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯(云梯最长25 m)刚好接触到AC的底部点 A 处.当工程车向教学楼方向行驶多少米时，长25 m的云梯刚好接触到 AC的顶部点C处
20. (8分)如图17-Z-15,在四边形ABCD中,已知 四边形ABCD的周长为32,连接 BD.
(1)试判断 的形状；
(2)求 BC的长.
21. (8分)如图17-Z-16,A城气象台测得台风中心在A 城正西方向240km的O处，台风以 30 km/h 的速度向南偏东 方向移动，距台风中心150 km的范围内会受到台风的影响.
(1)A城是否会受到这次台风的影响 为什么
(2)若A 城会受到台风的影响，则受台风影响的时间有多长
22.(8分)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”.
(1)如图17-Z-17①,在 中， 求证： 是“奇妙三角形”；
(2)如图②,在 中， 若 是“奇妙三角形”,求 BC的长.
23. (10分)综合探究:
“在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为 , , ,求△ABC的面积.”
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长均为1)，再在网格中画出格点三角形 ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图17-Z-18①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法.
(1)直接写出图①中△ABC的面积是 ；
(2)若△MNP 的三边长分别为 n>0，且m≠n)，试运用构图法在图②中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积;
(3)拓展应用：求代数式 的最小值.
1. A 2. D 3. C 4. B 5. A
6. B 7. B 8. A 9. C 10. C
11.三边分别相等的三角形全等 真命题
12. 90° 13. 14.5
15. 2025 16. 15 cm
17.解：军舰甲的雷达能测到军舰乙.
理由：过点 A作军舰乙航行方向的垂线，垂足为C，如图.
由题意,得∠B=∠A=45°,所以AC=BC.
在 Rt△ABC中,由勾股定理,得 即 解得 (公里)<450公里,所以军舰甲的雷达能测到军舰乙.
18. 证明:因为AB=AC,P是BC边的中点,
所以AP⊥BC,BP=CP,所以∠APB=90°.
在 Rt△APB中,由勾股定理,得
因为 BP=CP,所以 BP·CP=BP ,
所以
19. 5m
20. (1)△ABD是等边三角形 (2)BC=10
21.解：(1)A城会受到这次台风的影响.
理由:如图,过点 A作AH⊥OB于点 H.
由题意,得∠AOB=30°.
在Rt△AOH中,因为OA=240 km,∠AOH=30°,所以
因为120<150，所以A城会受到这次台风的影响.
(2)如图,设AR=AT=150 km.
又因为AH⊥OB,
所以 所以RT=180km,
所以A 城受台风影响的时间为180÷30=6(h).
22. (1)证明:过点 A作AD⊥BC于点D,如图.
因为AB=AC,AD⊥BC,
所以
在Rt△ABD中，由勾股定理，得 所以AD=BC,所以△ABC是“奇妙三角形”.
(2)3或4
23. 解:(1)3.5
(2)如图，由勾 股定 理，知 则△MNP 即为所求.
△MNP 的面积为 3m×2n=12mn-2mn-2mn-3mn=5mn.
可看作两直角边长分别为x和1的Rt△ACP的斜边长， 可看作两直角边长分别是4-x和2的Rt△BDP的斜边长，构造图形如下：
依题意,得AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,PD=4-x,
求代数式 的最小值，就是求AP+BP的最小值,当点A,B,P共线时,AP+BP的值最小，最小值为AB的长.
过点B作BE⊥AC,交AC的延长线于点E,则CE=DB=2,BE=CD=4,
所以AE=AC+CE=1+2=3,
所以在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得
所以代数式 的最小值是5.