第六章 对概率的进一步认识 3 用频率估计概率（含答案）
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| 名称 | 第六章 对概率的进一步认识 3 用频率估计概率（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 438.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-08 11:20:59 | ||
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文档简介
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第六章 对概率的进一步认识
3 用频率估计概率
轻松过关
1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
B.试验得到的频率与概率不可能相等
C.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
D.频率等于概率
2.小明和同学做“抛掷质地均匀的骰子(标有数字1,2,3,4,5,6)试验”，获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
数字6朝上的频数 20 35 49 60 85
若抛掷骰子的次数为1 200，则“数字6朝上”的频数最接近 ( )
A.180 B.200 C.210 D.240
3.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( )
A.抛一枚硬币，正面朝上的概率
B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
4.小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下列四个方案中，你认为哪个无法成功 ( )
A. P(摸到白球)) P(摸到黑球)
B. P(摸到白球))= ，P(摸到黑球) P(摸到红球)
C. P(摸到白球) ,P(摸到黑球)=P(摸到红球)
D.横到白球、黑球、红球的概率都是
5.在一个不透明的口袋中，放置6个红球、2个白球和n个黄球.这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率。如图，则n的值可能是 ( )
A.12 B.10 C.8 D.16
6.在多次重复抛掷一枚正方体骰子(六个面分别标注数字“1”至“6”)的试验中，随机事件“数字1朝上”发生的频率为 f，每次试验该事件的概率为 P.下列说法错误的是 ( )
A. P 的值为
B.试验次数不同，f的值可能不同
C.试验次数越多，f的值越大
D.当试验次数很大时，f的值趋近于P
7.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为 ，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是 ( )
A.口袋中装入10个小球，其中只有2个红球
B.装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球
C.装入5个红球，13个白球，2个黑球
D.装入 7 个红球,13个白球,2 个黑球,13个黄球
8.如图1，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10 m，宽为7 m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了图2 所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是 m .
9.在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 个.
10.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000
发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204
发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该油菜籽发芽的概率为 (精确到0.1).
11.一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个.若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是 .
12.近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域某湿地的 A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200 只 A 种候鸟中有10 只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A 种候鸟.
13.某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500
落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b
落在“谢谢参与”区域的频率m 0.29 0.3 0.31 a 0.296
(1)完成上述表格:a= ,b= ;
(2)若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 ；(结果都精确到0.1)
(3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为 P ，得到奖品“贴纸”的概率记为P ，得到“谢谢参与”的概率记为 P ，则P ,P ,P 的大小关系是 .(用“＞”连接)
14.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共 20 个，这些球除颜色外其余完全相同.为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到如表的一组统计数据：
摸球的次数 n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到白球的频率mn 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到0.1)；
(2)若先从盒子中取出x(x>1)个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则x= ；
(3)若先从盒子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为 ，求x的值.
15.如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为1 米的圆.
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如表：
掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …
小石子落在圆内(含圆上)的次数m 23 42 102 206 …
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数n 77 158 398 794 …
0.299 0.266 0.256 0.259 …
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则m：n的值越来越接近 ；(结果精确到0.01)
(2)若以小石子所落的有效区域为总数(即m+n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近；(结果精确到0.1)
(3)请你利用(2)中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米 (结果保留π)
快乐拓展
16.(1)一个不透明的盒子中装有若干个除颜色外都相同的红球与黄球.在这个盒子中先放入2个白球，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续摸球，全班一共做了 400 次这样的摸球试验.如果知道摸出白球的频数是 40，你能估计在未放入白球前，盒中原来共有多少个小球吗
(2)提出问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量
活动操作：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中.再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，记录颜色、是否有记号，放回盒中，再继续摸球、记录、放回盒中.
统计结果：摸球试验活动一共做了 50 次，统计结果如表：
球的类别 无记号 有记号
红色 黄色 红色 黄色
摸到的次数 18 28 2 2
由上述的摸球试验推算：
①盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少
②盒中有红球多少个
17.小聪和小亮两位同学做掷骰子(质地均匀的正方体)游戏，他们共做了 100 次试验，结果如表所示：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 15 14 25 20 13 13
(1)上述试验中，“1点朝上”的频率是 ，小亮再掷一次骰子，“1点朝上”的概率是 ；
(2)小聪说:“若投掷1 000次,则出现4点朝上的次数正好是200次.”小聪的说法正确吗 为什么
(3)小聪对小亮说：“将一枚骰子任意投掷一次，朝上的点数不小于4算我赢，反之算你赢.”小亮说：“这游戏不公平.”你认为小亮说得对吗 请说明你的理由.
参考答案
1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. C 7. C
8.42 9.5 10.0.8 11.15 12.800
13.解:(1)a=122÷400=0.305;b=500×0.296=148,故答案为:0.305;148;
(2)若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3,故答案为:0.3,0.3;
故答案为：
14.解：(1)当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.3,故答案为:0.3;
(2)由(1),得摸出白球的概率是0.3,∴盒子里白球数量为20×0.3=6(个),
∴黑球数量为20-6=14(个),∴从盒子中取出x个黑球，再从盒子中随机摸出1个球，“摸出白球”为必然事件，则x=14,故答案为:14;
(3)由(2),得白球数量为6个,则 解得x=1,
答：x的值为1.
15.解:(1)0.26;
(2)206÷1000≈0.2;
∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在0.2附近，
故答案为:0.2;
(3)设封闭图形的面积为a，由题意，得
根据题意，得
答：估计整个封闭图形的面积是5π平方米.
16.解：(1)设盒子中在未放入白球前共有x个球，
由题意，得 解得x=18,
即盒中原来共有18个小球；
(2)由题意，得①盒中红球占总球数的百分比是
盒中黄球占总球数的百分比是
②设盒中有x个球，解得x=100.
100×40%=40个,即盒中有40个红球.
17.解:(1)“1点朝上”的频率为15÷100=0.15;“1点朝上”的概率为.
故答案为:0.15,
(2)小聪的判断依据是 (次)，依据是错误的；因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近；
所以小聪的判断是错误的；
(3)小亮说的不对，理由：
任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中大于或等于4一共有3种，
∴P(朝上的点数大于或等于 P(朝上的点数小于 .
∴小亮说的不对，因为小聪和小亮获胜的概率都是 ，所以游戏公平.
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第六章 对概率的进一步认识
3 用频率估计概率
轻松过关
1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
B.试验得到的频率与概率不可能相等
C.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
D.频率等于概率
2.小明和同学做“抛掷质地均匀的骰子(标有数字1,2,3,4,5,6)试验”，获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
数字6朝上的频数 20 35 49 60 85
若抛掷骰子的次数为1 200，则“数字6朝上”的频数最接近 ( )
A.180 B.200 C.210 D.240
3.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( )
A.抛一枚硬币，正面朝上的概率
B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
4.小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下列四个方案中，你认为哪个无法成功 ( )
A. P(摸到白球)) P(摸到黑球)
B. P(摸到白球))= ，P(摸到黑球) P(摸到红球)
C. P(摸到白球) ,P(摸到黑球)=P(摸到红球)
D.横到白球、黑球、红球的概率都是
5.在一个不透明的口袋中，放置6个红球、2个白球和n个黄球.这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率。如图，则n的值可能是 ( )
A.12 B.10 C.8 D.16
6.在多次重复抛掷一枚正方体骰子(六个面分别标注数字“1”至“6”)的试验中，随机事件“数字1朝上”发生的频率为 f，每次试验该事件的概率为 P.下列说法错误的是 ( )
A. P 的值为
B.试验次数不同，f的值可能不同
C.试验次数越多，f的值越大
D.当试验次数很大时，f的值趋近于P
7.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为 ，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是 ( )
A.口袋中装入10个小球，其中只有2个红球
B.装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球
C.装入5个红球，13个白球，2个黑球
D.装入 7 个红球,13个白球,2 个黑球,13个黄球
8.如图1，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10 m，宽为7 m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了图2 所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是 m .
9.在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 个.
10.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000
发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204
发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该油菜籽发芽的概率为 (精确到0.1).
11.一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个.若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是 .
12.近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域某湿地的 A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200 只 A 种候鸟中有10 只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A 种候鸟.
13.某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500
落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b
落在“谢谢参与”区域的频率m 0.29 0.3 0.31 a 0.296
(1)完成上述表格:a= ,b= ;
(2)若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 ；(结果都精确到0.1)
(3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为 P ，得到奖品“贴纸”的概率记为P ，得到“谢谢参与”的概率记为 P ，则P ,P ,P 的大小关系是 .(用“＞”连接)
14.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共 20 个，这些球除颜色外其余完全相同.为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到如表的一组统计数据：
摸球的次数 n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到白球的频率mn 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到0.1)；
(2)若先从盒子中取出x(x>1)个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则x= ；
(3)若先从盒子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为 ，求x的值.
15.如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为1 米的圆.
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如表：
掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …
小石子落在圆内(含圆上)的次数m 23 42 102 206 …
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数n 77 158 398 794 …
0.299 0.266 0.256 0.259 …
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则m：n的值越来越接近 ；(结果精确到0.01)
(2)若以小石子所落的有效区域为总数(即m+n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近；(结果精确到0.1)
(3)请你利用(2)中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米 (结果保留π)
快乐拓展
16.(1)一个不透明的盒子中装有若干个除颜色外都相同的红球与黄球.在这个盒子中先放入2个白球，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续摸球，全班一共做了 400 次这样的摸球试验.如果知道摸出白球的频数是 40，你能估计在未放入白球前，盒中原来共有多少个小球吗
(2)提出问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量
活动操作：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中.再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，记录颜色、是否有记号，放回盒中，再继续摸球、记录、放回盒中.
统计结果：摸球试验活动一共做了 50 次，统计结果如表：
球的类别 无记号 有记号
红色 黄色 红色 黄色
摸到的次数 18 28 2 2
由上述的摸球试验推算：
①盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少
②盒中有红球多少个
17.小聪和小亮两位同学做掷骰子(质地均匀的正方体)游戏，他们共做了 100 次试验，结果如表所示：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 15 14 25 20 13 13
(1)上述试验中，“1点朝上”的频率是 ，小亮再掷一次骰子，“1点朝上”的概率是 ；
(2)小聪说:“若投掷1 000次,则出现4点朝上的次数正好是200次.”小聪的说法正确吗 为什么
(3)小聪对小亮说：“将一枚骰子任意投掷一次，朝上的点数不小于4算我赢，反之算你赢.”小亮说：“这游戏不公平.”你认为小亮说得对吗 请说明你的理由.
参考答案
1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. C 7. C
8.42 9.5 10.0.8 11.15 12.800
13.解:(1)a=122÷400=0.305;b=500×0.296=148,故答案为:0.305;148;
(2)若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3,故答案为:0.3,0.3;
故答案为：
14.解：(1)当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.3,故答案为:0.3;
(2)由(1),得摸出白球的概率是0.3,∴盒子里白球数量为20×0.3=6(个),
∴黑球数量为20-6=14(个),∴从盒子中取出x个黑球，再从盒子中随机摸出1个球，“摸出白球”为必然事件，则x=14,故答案为:14;
(3)由(2),得白球数量为6个,则 解得x=1,
答：x的值为1.
15.解:(1)0.26;
(2)206÷1000≈0.2;
∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在0.2附近，
故答案为:0.2;
(3)设封闭图形的面积为a，由题意，得
根据题意，得
答：估计整个封闭图形的面积是5π平方米.
16.解：(1)设盒子中在未放入白球前共有x个球，
由题意，得 解得x=18,
即盒中原来共有18个小球；
(2)由题意，得①盒中红球占总球数的百分比是
盒中黄球占总球数的百分比是
②设盒中有x个球，解得x=100.
100×40%=40个,即盒中有40个红球.
17.解:(1)“1点朝上”的频率为15÷100=0.15;“1点朝上”的概率为.
故答案为:0.15,
(2)小聪的判断依据是 (次)，依据是错误的；因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近；
所以小聪的判断是错误的；
(3)小亮说的不对，理由：
任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中大于或等于4一共有3种，
∴P(朝上的点数大于或等于 P(朝上的点数小于 .
∴小亮说的不对，因为小聪和小亮获胜的概率都是 ，所以游戏公平.
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