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第6章 实数 单元精选真题测评卷
一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是 （ ）
A．π B．3.14 C． D．
2．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，-a， 的大小关系正确的是（ ）
A．| b | ＞a＞-a＞b B．| b | ＞b＞a＞-a
C．a＞ | b | ＞b＞-a D．a＞ | b | ＞-a＞b
3．若 ，且a，b是两个连续整数，则 的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4． 的整数部分是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|
7．下列实数中最小的是（ ）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣ D．﹣2
8．估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
9．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．小美同学在校园“文化艺术节”活动中创作了一幅手工作品，这幅作品的形状为正方形，面积为60 dm2，则这幅手工作品的边长在 ( )
A．5d m和6 dm之间 B．6 dm和7 dm之间
C．7 dm和8 dm之间 D．8 dm和9 dm之间
二、填空题
11．如图，已知．则点A所表示的数是 ．
12．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．规定：甲只能向右移动，每次移动1个单位长度，乙只能向左移动，每次移动2个单位长度．
（1）若甲移动了次，乙没有移动，用含的代数式表示甲最后停留的位置对应的数为 ；
（2）若甲、乙一共移动了6次，且两人相距2个单位长度，则甲移动的次数为 ．
13．一个正数的平方根是与，则的值是 .
14．若=0，则x+y=
15．化简：
= ；
| ﹣2|= ．
16．设实数x，y，z适合9x3=8y3=7z3， ，则 =
=
三、综合题
17．交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，求肇事汽车的车速是多少
18．求下列各式中的实数x．
（1）（x+1）2﹣9=0；
（2）（x+10）3=﹣27．
19．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.
（1）求出这个魔方的棱长.
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长.
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 .
20．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 ．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是 的小数部分，又例如：∵22＜（ ）2＜32，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣2）．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值．
（3）已知x是3+ 的整数部分，y是其小数部分，直接写出x﹣y的值．
22．把下列各数的序号分别填在相应的横线上：
①|-5|，②，③-25%，④-0.76，⑤0，⑥，⑦，⑧-（-3），⑨，⑩1.232232223…（每两个“3”之间依次多一个“2”）
（1）正整数： ．
（2）负分数： ．
（3）无理数： ．
23．已知一个正数x的两个平方根分别是和.
（1）求a和x的值．
（2）求的立方根．
24．通过《实数》一章的学习，我们知道 是一个无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为 的整数部分为1，所以 减去其整数部分，差就是 的小数部分，所以用 来表示 的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题：
（1） 的整数部分为 ，小数部分为 ．
（2）已知 的整数部分 ， 的整数部分为 ，求 的立方根．
25．如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点 与数轴上的原点重合.（所有结果均保留 ）
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点 到达点 ，设点 表示的数为 .
①求 的值；
②求 的算术平方根.
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3.
①第几次滚动后，点 距离原点最近？第几次滚动后，点 距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点 运动的路程共有多少？此时点 所表示的数是多少？
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第6章 实数 单元精选真题测评卷
一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是 （ ）
A．π B．3.14 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：．π是无理数，它是无限不循环小数，故该选项符合题意；
.3.14是有理数，故该选项不符合题意；
．有理数 ，故该选项不符合题意；
．有理数，故该选项不符合题意；
故选：A．
【分析】
明确无理数和有理数的定义。无理数是不能表示为两个整数之比的实数即即无限不循环小数 ，而有理数则可以表示为两个整数之比即为整数和分数 。接着，需要逐一判断每个选项是否为无理数。
2．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，-a， 的大小关系正确的是（ ）
A．| b | ＞a＞-a＞b B．| b | ＞b＞a＞-a
C．a＞ | b | ＞b＞-a D．a＞ | b | ＞-a＞b
【答案】A
【解析】【解答】由图可知：b01a，
∴| b | ＞a＞-a＞b
故答案为：A
【分析】根据数轴上数的特征：数轴左边的数永远比右边的数要小，从而可得出答案.
3．若 ，且a，b是两个连续整数，则 的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且a，b是两个连续整数，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】根据得到，即可得到a、b的值，再代入计算即可。
4． 的整数部分是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
，
，
的整数部分是5．
故答案为：B．
【分析】估算的大小，再利用不等式的性质求出的范围即可。
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：.
故答案为：B
【分析】根据算术平方根的性质进行化简即可。
6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∴ ，故D符合题意；
∴ ，故A不符合题意；
∴ ，故B不符合题意；
∴ ，故C不符合题意；
故答案为：D
【分析】结合数轴，利用特殊值法逐项判断即可。
7．下列实数中最小的是（ ）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣ D．﹣2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵-π＜-3＜＜-2
∴最小的数是-π.
故答案为：A.
【分析】利用实数的大小比较方法，可得到最小的数的选项.
8．估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】C
【解析】【分析】应先化简求值，再进行估算即可解决问题．
【解答】
的数值在1-2之间，所以的数值在3-4之间．
故选C．
【点评】此题主要考查了根式的计算和估算无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
9．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
10．小美同学在校园“文化艺术节”活动中创作了一幅手工作品，这幅作品的形状为正方形，面积为60 dm2，则这幅手工作品的边长在 ( )
A．5d m和6 dm之间 B．6 dm和7 dm之间
C．7 dm和8 dm之间 D．8 dm和9 dm之间
【答案】C
【解析】【解答】解：
根据正方形面积公式求出边长：
已知正方形面积公式为（S表示面积，a表示边长），
因为这幅手工作品的面积，所以边长，
估算的范围：
计算一些整数的平方：，，，，，
可以看到49 < 60 < 64，根据算术平方根的性质，当m < n时（m、n为非负数），，所以，即，
这表明这幅手工作品的边长在7dm和8dm之间。
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查正方形面积公式以及无理数大小的估算，解题的关键在于根据正方形面积公式求出边长，再通过与整数平方数比较大小来确定边长的范围。
二、填空题
11．如图，已知．则点A所表示的数是 ．
【答案】
12．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．规定：甲只能向右移动，每次移动1个单位长度，乙只能向左移动，每次移动2个单位长度．
（1）若甲移动了次，乙没有移动，用含的代数式表示甲最后停留的位置对应的数为 ；
（2）若甲、乙一共移动了6次，且两人相距2个单位长度，则甲移动的次数为 ．
【答案】（1）
（2）1或5
【解析】【解答】
（1）∵ 甲在-4位置处，每次向右移动1个单位长度
∴ 当甲移动x次，则甲停留的位置对应的数为-4+x
（2）设甲移动x次，则乙移动6-x次，
若甲乙两人未相遇，两人相距2个单位长度，则有5-2(6-x)-（-4+x）=2
解得x=5
若甲乙两人相遇后又分开，两人相距2个单位长度，则有-4+x-[5-2(6-x)]=2
解得x=1
综上，甲移动的次数为1或5
【分析】本题考查数轴的应用和一元一次方程的应用。（1）甲向右运动，则运动的距离为x，则甲最后停留的位置对应的数为-4+x；（2）分情况来列式计算，当甲乙两人未相遇，得x=5，当甲乙两人相遇又分开，相距2个单位，可得x=1.则甲移动的次数可知。
13．一个正数的平方根是与，则的值是 .
【答案】
14．若=0，则x+y=
【答案】3
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则x+y=3．
故答案是：3．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
15．化简：
= ；
| ﹣2|= ．
【答案】4；2﹣ ．
【解析】【解答】解： =4；
| ﹣2|=2﹣ ．
故答案为：4，2﹣ ．
【分析】根据算术平方根的性质及绝对值的意义解答。负数的绝对值等于它的相反数。
16．设实数x，y，z适合9x3=8y3=7z3， ，则 =
=
【答案】；
【解析】【解答】设9x3=8y3=7z3=k3，则
x= ，y= ，z= ，
从而1= =
故k=
故 = ，
= ．
故答案为： ；
【分析】根据立方根的知识解决问题，设9x3=8y3=7z3=k3，然后用含k的式子分别表示出x，y，z，再把x，y，z的值代入，得出K的值，再代入代数式，利用立方根即可求解。
三、综合题
17．交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，求肇事汽车的车速是多少
【答案】肇事汽车车速大约是
18．求下列各式中的实数x．
（1）（x+1）2﹣9=0；
（2）（x+10）3=﹣27．
【答案】（1）解：（x+1）2﹣9=0，
（x+1）2=9，
x+1=±3，
解得x=2或﹣4
（2）解：（x+10）3=﹣27，
x+10=﹣3，
x=﹣13
【解析】【分析】（1）先移项，再开平方法进行解答；（2）可用直接开立方法进行解答．
19．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.
（1）求出这个魔方的棱长.
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长.
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 .
【答案】（1）解： .
答：这个魔方的棱长为4
（2）解：因为魔方的棱长为4，
所以小立方体的棱长为2，
所以阴影部分面积为： ×2×2×4=8，
边长为： .
答：阴影部分的面积是8，边长是 .
（3）-1-
【解析】【解答】（3）由（2）的结论AD=，则OD=OA+AD=1+，又由于D点在数轴上原点的左边，故点D在数轴上表示的数为﹣1﹣ .
【分析】（1）根据正方体的体积等于棱长的立方，从而得出正方体的棱长就是体积的立方根，根据立方根的定义即可得出答案；
（2）由于正方体是由八个小正方体组成的，从而得出每一个小正方体的边长为2，由于阴影部分的面积等于四个边长为2的小等腰直角三角形的面积，根据三角形的面积计算方法得出阴影半分的面积；再根据阴影部分是一个正方形，其面积等于边长的平方，从而得出边长应该是面积的算数平方根，即可得出答案；
（3）根据OD=OA+AD，D在原点的左侧求解即可。
20．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 ．
【答案】（1）解： ．
答：这个魔方的棱长为4
（2）解：∵魔方的棱长为4，
∴小立方体的棱长为2，
∴阴影部分面积为： ×2×2×4=8，
边长为： =2 ．
答：阴影部分的面积是8，边长是2
（3）﹣1﹣2
【解析】【解答】解：（3）D在数轴上表示的数为﹣1﹣2 ．
故答案为：﹣1﹣2 ．
【分析】（1）根据正方体的体积格式可求这个魔方的棱长．（2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．（3）根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是 的小数部分，又例如：∵22＜（ ）2＜32，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣2）．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值．
（3）已知x是3+ 的整数部分，y是其小数部分，直接写出x﹣y的值．
【答案】（1）3； ﹣3
（2）解：∵2＜ ＜3，
∴a= ﹣2，
∵6＜ ＜7，
∴b=6，
∴a+b﹣ = ﹣2+6﹣ =4．
（3）解：∵2＜ ＜3，
∴5＜3+ ＜6，
∴3+ 的整数部分为x=5，小数部分为y=3+ ﹣5= ﹣2．
则x﹣y=5﹣（ ﹣2）=5﹣ +2=7﹣ ．
【解析】【解答】解：（1）∵3＜ ＜4，
∴ 的整数部分是3，小数部分是 ﹣3；
故答案为：3； ﹣3．
【分析】这是一道阅读题，主要考查如何估计无理数的大小，在读懂题意的基础上，准确地估算出无理数的大小是解答本题的关键.
（1）先估算出的取值范围3＜ ＜4 ，根据题意，的整数部分为3，的小数部分为-3.
（2）先估算出的取值范围 2＜ ＜3，根据题意，的整数部分为2，的小数部分为a= ﹣2；再估算出的取值范围 6＜ ＜7， 根据题意，的整数部分为b=6. 最后求出a+b﹣ 的值即可．
（3）先估算出的取值范围 2＜ ＜3 ，进而可推出 3+ 的取值范围 5＜3+ ＜6， 根据题意， 3+ 的整数部分为x=5，小数部分为y=3+ ﹣5= ﹣2，再求出 x﹣y 的值即可.
22．把下列各数的序号分别填在相应的横线上：
①|-5|，②，③-25%，④-0.76，⑤0，⑥，⑦，⑧-（-3），⑨，⑩1.232232223…（每两个“3”之间依次多一个“2”）
（1）正整数： ．
（2）负分数： ．
（3）无理数： ．
【答案】（1）①⑥⑧；
（2）③④⑨；
（3）②⑦⑩．
【解析】解：（1）解：正整数：①|-5|，⑥ ，⑧-（-3）；
故答案为：①⑥⑧；
（2）解：负分数：③-25%，④-0.76，⑨ ；
故答案为：③④⑨；
（3）解：无理数：② ，⑦ ，⑩1.232232223…（每两个“3”之间依次多一个“2”）．
故答案为：②⑦⑩．
【分析】（1）根据正整数、负整数和0统称为整数，可得到已知数中是正整数的数.
（2）利用正分数和负分数统称为分数，可得到已知数中是负分数的数.
（3）利用开方开不尽的数是无理数；含的数是无理数；有规律，但不循环的小数是无理数，据此可得答案.
23．已知一个正数x的两个平方根分别是和.
（1）求a和x的值．
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：根据题意得：
解得
∴
∴
（2）解：∵
∴
【解析】【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得3a+2+a+14=0，求出a的值，然后求出3a+2的值，进而可得正数x的值；
（2）根据x的值求出x-36的值，然后利用立方根的概念进行计算.
24．通过《实数》一章的学习，我们知道 是一个无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为 的整数部分为1，所以 减去其整数部分，差就是 的小数部分，所以用 来表示 的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题：
（1） 的整数部分为 ，小数部分为 ．
（2）已知 的整数部分 ， 的整数部分为 ，求 的立方根．
【答案】（1）5；
（2）解：∵9<10<16，
∴ ，
∴ 的整数部分 ；
∵ ，
∴ 的整数部分 ．
∴ ，
∴8的立方根为 ．
【解析】【解答】（1）∵25<33<36，
∴5< <6，
即 的整数部分为5，小数部分为 -5．
故答案为：5；
【分析】（1）估算出 的范围，即可得出答案；
（2）估算出 的范围，再根据不等式的性质得出 的范围，求出a、b的值，再代入 计算即可。
25．如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点 与数轴上的原点重合.（所有结果均保留 ）
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点 到达点 ，设点 表示的数为 .
①求 的值；
②求 的算术平方根.
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3.
①第几次滚动后，点 距离原点最近？第几次滚动后，点 距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点 运动的路程共有多少？此时点 所表示的数是多少？
【答案】（1）解：①a在原点左边为负数，且a的绝对值为圆的周长.即 .
②把 代入 得， ，则4的算数平方根为2
（2）解：①第一次滚动后距离原点2周，第二次滚动为2-1=1，距离原点一周，第三次滚动为2-1+3=4，距离原点4周，第四次转动为2-1+3-4=0，即在原点位置，距离原点为0，第五次转动2-1+3-4-3=-3，距离原点3周.所以综上所述：第四次滚动后距离原点最近，第三次滚动后距离原点最远.
②总路程为： .
所表示的数：
故答案为：(1) ①②2 (2) ①第四次滚动后距离原点最近，第三次滚动后距离原点最远
【解析】【分析】（1）①先求出圆的周长为π，可得QQ'=π，由于a在原点左边，可得；
②将代入中，先化简求出值，再求其算术平方根；
（2）①根据记录的数据分别求出每次滚动距原点的距离，然后判断即可；
②将记录数据的绝对值相加，将结果乘以π即得总路程；将记录的数据相加，将结果乘以π即得Q表示的数.
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