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第17章 一元二次方程 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程x2＝2x的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝0 B．x1＝ ，x2＝0
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝2，x2＝0
3．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且第一季度的产值为175亿元.若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．50(1＋x)2＝175 B．50＋50(1＋x)2＝175
C．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175
4．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．-4
5．已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（ ）
A． B． C．或3 D．或1
6．下列方程不适于用因式分解法求解的是（ ）
A．x2﹣（2x﹣1）2=0 B．x（x+8）=8
C．2x（3﹣x）=x﹣3 D．5x2=4x
7．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人．
A．12 B．10 C．9 D．8
8．某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加15m ，设原来花圃长边为xm，可列方程（ ）
A．x +5x=15 B．x2-5x=15 C．(x-5)2=15 D．x2-25=15
9．将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．
A．a≤ B．a≥4
C．a≤或 a≥4 D．≤a≤4
二、填空题
11．关于x的方程 是一元二次方程，则m＝ .
12．已知关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围．
13．已知一元二次方程x2+4x﹣12=0的两根的平方和= ．
14．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
15． 一元二次方程的根是 .
16．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门．若设垂直于墙的边为x米，请求出x的值．
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建两条纵向和一条横向的等宽小路，使得停放自行车区域的面积为54平方米，那么小路的宽度应设计成多少米？
19．解方程组：
20．解下列方程：
（1）；
（2）．
21．如图所示，某工人师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m．求裁剪后剩下的阴影部分的面积．
22．解方程：
（1）
（2）
23．临近春节，随州特产“泡泡青”已经上市，今年万达永辉超市以每件25元的进价购进一批“泡泡青”，当售价为40元时，十月份销售256件，十一、十二月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，十二月份的销售量达到400件．
（1）求十一、十二这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，2024年一月份的销售量将与十二月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，超市一月份可获利4250元？
24．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数ab满足：，且，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数pq满足：，求的值．
25．根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿灯，可节约能源．如图，，两路口停车线之间距离为米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为秒，处绿灯亮起秒后处绿灯第一次亮起．
素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后面每一辆车在前一辆车启动秒后再启动．车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶．在加速阶段，汽车的速度与时间的关系如下表所示，行驶路程与速度、时间的关系满足．
（秒） 0 1 2 3 4 …
（米/秒） 0 3 6 9 12 …
素材3：路口车流量显示：绿灯持续时间应少于秒（为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的等候车辆数为辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过路口．
任务1：用含的代数式表示，并求关于的函数表达式：
任务2：求第辆车从启动到车头到达停车线的时间以及绿灯持续时间的值．
任务3：路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线？
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第17章 一元二次方程 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．方程x2＝2x的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝0 B．x1＝ ，x2＝0
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝2，x2＝0
【答案】D
【解析】【解答】解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故答案为：D．
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
3．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且第一季度的产值为175亿元.若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．50(1＋x)2＝175 B．50＋50(1＋x)2＝175
C．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175
【答案】D
【解析】【解答】解：二月份的产值为：50（1＋x），
三月份的产值为：50（1＋x）（1＋x）＝50（1＋x）2，
故根据题意可列方程为：50＋50（1＋x）＋50（1＋x）2＝175.
故答案为：D.
【分析】增长率问题，一般为：增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程.
4．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．-4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的一个根为1，
∴1-3+m=0，
∴m=2.
故答案为：A.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出m的值.
5．已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（ ）
A． B． C．或3 D．或1
【答案】A
6．下列方程不适于用因式分解法求解的是（ ）
A．x2﹣（2x﹣1）2=0 B．x（x+8）=8
C．2x（3﹣x）=x﹣3 D．5x2=4x
【答案】B
【解析】【解答】解：A 左边满足平方差公式，可以用平方差公式进行因式分解；
B 不具有因式分解的结构特点，不能因式分解；
C 把右边的项移到左边，可以用提公因式法提取x进行因式分解；
D 把右边的项移到左边，可以用提公因式法提取x进行因式分解．
故选B．
【分析】运用因式分解的几种方法解方程，发现D是不能因式分解的．
7．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人．
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：设这小组有x人．
由题意得：x（x﹣1）=72，
解得x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有9人．
故选C．
【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=72，把相关数值代入计算即可．
8．某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加15m ，设原来花圃长边为xm，可列方程（ ）
A．x +5x=15 B．x2-5x=15 C．(x-5)2=15 D．x2-25=15
【答案】B
【解析】【解答】解： 扩大后的花圃形状为正方形，边为xm
∴面积=x2
原长方形花圃，它的宽为5m，长边为xm
∴面积=5x
扩大后的花圃形面积比原来增加15m
∴x2-5x=15
故答案为：B
【分析】根据正方形和长方形的面积公式以及边长增加前后面积的变化列方程即可.
9．将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
10．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．
A．a≤ B．a≥4
C．a≤或 a≥4 D．≤a≤4
【答案】C
二、填空题
11．关于x的方程 是一元二次方程，则m＝ .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得， ，
故答案为：2.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件；在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据定义列式求解即可.
12．已知关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围．
【答案】 且
13．已知一元二次方程x2+4x﹣12=0的两根的平方和= ．
【答案】40
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为α、β，
则α+β=﹣4，αβ=﹣12，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=16+24=40，
故答案为：40．
【分析】设方程的两根分别为α、β，根据韦达定理得α+β=﹣4，αβ=﹣12，再代入到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ求值可得．
14．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
15． 一元二次方程的根是 .
【答案】，
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
故答案为：，.
【分析】利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可。
16．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
【分析】根据平均增长问题，列出式子即可得到答案．
三、解答题
17．解方程：．
【答案】，
18．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门．若设垂直于墙的边为x米，请求出x的值．
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建两条纵向和一条横向的等宽小路，使得停放自行车区域的面积为54平方米，那么小路的宽度应设计成多少米？
【答案】（1）解：设与墙垂直的一面为x米，另一面则为米，
由题意可得：．解得或，
当时，（舍去）．
当时，，符合题意．
答：x的值为10．
（2）解：当时，车篷平行与墙的一面为8米
设车篷的宽为a米，由题意可得：，
解得：（舍去），．
答：小路的宽为1米．
【解析】【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为米，根据“ 车棚的面积为80平方米 ”列出方程，再求解即可；
（2）设车篷的宽为a米，根据“ 停放自行车区域的面积为54平方米 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设与墙垂直的一面为x米，另一面则为米，
由题意可得：．解得或，
当时，（舍去）．
当时，，符合题意．
答：x的值为10．
（2）解：当时，车篷平行与墙的一面为8米
设车篷的宽为a米，由题意可得：，
解得：（舍去），．
答：小路的宽为1米．
19．解方程组：
【答案】解：由方程，得2x+y=0或2x﹣y=0．将它们与方程分别组成方程组，得（Ⅰ）或（Ⅱ）方程组（Ⅰ），无实数解；解方程组（Ⅱ），得，所以，原方程组的解是，．
【解析】【分析】首先对方程（1）进行因式分解，经分析得：2x+y=0或2x﹣y=0，然后与方程（2）重新组合成两个方程组，解这两个方程组即可．
20．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
21．如图所示，某工人师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m．求裁剪后剩下的阴影部分的面积．
【答案】解：设大正方形的边长xm，则小正方形的边长为（x﹣1）m，
根据题意得：x（2x﹣1）=15，
解得：x1=3，x2=（不合题意舍去），
小正方形的边长为（x﹣1）=3﹣1=2，
裁剪后剩下的阴影部分的面积=15﹣22﹣32=2（m2），
答：裁剪后剩下的阴影部分的面积2m2．
【解析】【分析】设大正方形的边长为x米，表示出小正方形的边长，根据总面积为15平方米列出方程求解即可．
22．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
【解析】【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）先对方程进行移项，再提出公因子，求出解即可；
（1）解：
（2）解：移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
23．临近春节，随州特产“泡泡青”已经上市，今年万达永辉超市以每件25元的进价购进一批“泡泡青”，当售价为40元时，十月份销售256件，十一、十二月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，十二月份的销售量达到400件．
（1）求十一、十二这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，2024年一月份的销售量将与十二月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，超市一月份可获利4250元？
【答案】（1）解：设平均增长率为x由题意得：
，
解得：或（舍）；
这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
当商品降价5元时，商场可获利元．
【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，根据十月份的销售量×（1+增长率）2=十二月份的销售量，列出方程并解之即可；
（2）设降价元，根据总利润=单件的利润×销售量，列出方程并解之即可.
24．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数ab满足：，且，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数pq满足：，求的值．
【答案】（1）
（2）2
（3）0
25．根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿灯，可节约能源．如图，，两路口停车线之间距离为米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为秒，处绿灯亮起秒后处绿灯第一次亮起．
素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后面每一辆车在前一辆车启动秒后再启动．车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶．在加速阶段，汽车的速度与时间的关系如下表所示，行驶路程与速度、时间的关系满足．
（秒） 0 1 2 3 4 …
（米/秒） 0 3 6 9 12 …
素材3：路口车流量显示：绿灯持续时间应少于秒（为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的等候车辆数为辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过路口．
任务1：用含的代数式表示，并求关于的函数表达式：
任务2：求第辆车从启动到车头到达停车线的时间以及绿灯持续时间的值．
任务3：路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线？
【答案】任务1：，；任务2：第辆车从启动到车头到达停车线的时间为秒，绿灯持续时间的值为24；任务3：当米/秒时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线
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