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第24章 圆 单元专项提优卷
一、单选题
1．把放入平面直角坐标系中．已知对角线的交点为原点，点A的坐标为，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，点，，，在上，若四边形为平行四边形，连接与，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．45°
4．扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画.如图，竹条AD的长为5cm，贴纸的部分BD的长为10cm.扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120℃，则纸扇贴纸部分的面积为（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D．100πcm2
5．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是
A．1 B． C．2 D．
6．如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知半径为5，在所在平面，则过点的弦中，长为整数的弦有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5 ，AB＝2，则半径OB等（ ）
A．1 B．2 C．2 D．
9．如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )．
A． B． C． D．
10．如图，在中，，．点在以为直径的半圆上运动，为的三等分点（靠近点），当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，∠CAB＝67.5°，则∠AOB＝ 度．
12．正六边形的边长为2，则边心距为 ．
13．如图，正方形 ABCD 中，点
E 是 CD 边上一点，连接 AE，过点 B 作 BG⊥AE 于点 G， 连接
CG 并延长交 AD 于点 F，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为 .
14．已知圆锥的底面半径是，母线长，则侧面积是 ．
15．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为 ．
16．如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若cm， cm，则的半径为 cm．
三、解答题
17．如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片．
（1）若将此长方形纸片绕一条边所在直线旋转一周，能形成的几何体是 ，这能说明的事实是 （选择正确一项的序号填入）
A．点动成线；B．线动成面；C．面动成体
（2）求：当此长方形纸片绕一条边所在直线旋转一周时，所形成的几何体的体积（结果保留π）．
18．如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD．若AF＝3，tan∠ABD＝ ，求⊙O的直径．
20．如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数．
21． 如图，
AB为⊙O的直径，C，D分别为OA，OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB，点E，F都在⊙O上，求证：
（1）CF= DE．
（2）．
（3）AE=2CF．
22．如图，在 中，AB是 的直径， 与AC交于点D， ，
求 的度数.
23．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
24．【读一读】
一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题．课本里对三角形、四边形的研究即遵循着上面的思路．
【算一算】
当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．如图，在中，，点M、N分别为边、的中点，连接．
（1）如图1，若，，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点A、E、F在同一直线上时，与相交于点，连接、．
①填空：______（填度数），是______三角形（填类别）；
②求的长．
（2）如图2，若，将绕点顺时针旋转，得到，连接、．当旋转角满足，点C、E、F在同一直线上时，利用所提供的图2和备用图探究与的数量关系，并说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为的交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于，两点．
（1）求点与点的坐标；
（2）过点作的切线，交轴于点，求直线的函数解析式；
（3）过点作直线于点，交于点，求弦的长度．
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第24章 圆 单元专项提优卷
一、单选题
1．把放入平面直角坐标系中．已知对角线的交点为原点，点A的坐标为，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，A符合题意；
B、不是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
3．如图所示，点，，，在上，若四边形为平行四边形，连接与，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．45°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OB，如图：
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴OA=BC，
∵OA=OB=OC，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对边相等；有三条边都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的三个角都是60°；在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解.
4．扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画.如图，竹条AD的长为5cm，贴纸的部分BD的长为10cm.扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120℃，则纸扇贴纸部分的面积为（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D．100πcm2
【答案】C
【解析】【解答】解：设AB=R，AD=r，
则S贴纸=
=
=
= ×（10+5+5）×（10+5-5）π
= （cm2）.
故答案为：C.
【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形ADE的面积，然后根据扇形面积公式进行计算即可.
5．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
6．如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ABC=∠D=48°，然后根据余角的性质进行求解.
7．已知半径为5，在所在平面，则过点的弦中，长为整数的弦有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
8．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5 ，AB＝2，则半径OB等（ ）
A．1 B．2 C．2 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴ ，
∴∠E= ∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴DB=OD=1，
则半径OB等于： .
故答案为：D.
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案.
9．如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )．
A． B． C． D．
【答案】D
10．如图，在中，，．点在以为直径的半圆上运动，为的三等分点（靠近点），当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题
11．如图，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，∠CAB＝67.5°，则∠AOB＝ 度．
【答案】90
【解析】【解答】∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴ ，
∵∠CAB=67.5°，
∴ 和 的度数都是2×67.5°=135°，
∴ 的度数是360°-135°-135°=90°，
∴∠AOB=90°，
故答案为90．
【分析】根据垂径定理得出 ，根据∠CAB=67.5°求出 和 的度数都是135°，求出 的度数，即可得出答案．
12．正六边形的边长为2，则边心距为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：
连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
则∠OCA＝90°，AC＝BC＝ AB＝1，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝30°，
∴OC＝ AC＝ ；
故答案为： ．
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据垂径定理及正六边形的性质可得∠OCA＝90°，AC＝BC＝ AB＝1，∠AOB＝60°，从而求出∠AOC＝30°，继而得出OC＝ AC，据此计算即得.
13．如图，正方形 ABCD 中，点
E 是 CD 边上一点，连接 AE，过点 B 作 BG⊥AE 于点 G， 连接
CG 并延长交 AD 于点 F，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为 .
【答案】8
【解析】【解答】解：以AB为直径作圆O，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90 ，
当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，
由切线长定理的AF=FG，BC=CG，
过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，
设正方形的边长为x，
则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，
在Rt△FHC中，由勾股定理得，
x2+(x-2)2=(x+2)2，
整理得：x2-8x=0，
解得x=8，x=0（舍去），
故答案为：8.
【分析】以AB为直径作圆O，可得∠AGB=90 ，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2.由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，可证四边形ABHF为矩形，可得AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，在Rt△FHC中，由勾股定理得，x2+(x-2)2=(x+2)2，据此求出x的值即可.
14．已知圆锥的底面半径是，母线长，则侧面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长是：，
则圆锥的侧面积是：，
故答案是：．
【分析】利用圆锥侧面积的计算方法求解即可。
15．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为 ．
【答案】3
16．如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若cm， cm，则的半径为 cm．
【答案】5
【解析】【解答】解：连接OB，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AB，BD=AB=4，
设圆的半径为r，则OD=r-2，
在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2
∴（r-2）2+42=r2
解之：r=5.
故答案为：5
【分析】连接OB，利用垂径定理可证得OC⊥AB，同时可求出BD的长；设圆的半径为r，可表示出OD的长，在Rt△OBD中，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
三、解答题
17．如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片．
（1）若将此长方形纸片绕一条边所在直线旋转一周，能形成的几何体是 ，这能说明的事实是 （选择正确一项的序号填入）
A．点动成线；B．线动成面；C．面动成体
（2）求：当此长方形纸片绕一条边所在直线旋转一周时，所形成的几何体的体积（结果保留π）．
【答案】（1）圆柱体，C；（2）所形成的几何体的体积为36πcm3或48πcm3
18．如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：平分
四边形是平行四边形．
（2）解：
是直径
在中，
答：的长为10．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、圆周角定理证明， 推出，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由圆周角定理证明，得到，推出，在中，解直角三角形得到，根据勾股定理可得，即可得解．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD．若AF＝3，tan∠ABD＝ ，求⊙O的直径．
【答案】解： 如图，连接BE． ∵AF=AD，AB⊥EF， ∴BF=BD．是直径 ∵AB=AC， ∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E． ∵tan∠ABD= ， ∴tanE=tan∠FBA= ． 在Rt△ABF中，∠BAF=90°． ∵tan∠FBA= = ，AF=3， ∴AB=4． ∵∠BAE=90°， ∴BE是⊙O的直径． ∵tanE=tan∠FBA= ，AB=4， ∴设AB=3x，AE=4x， ∴BE=5x， ∵3x=4， ∴BE=5x= ， 即⊙O的直径是 ．
【解析】【分析】如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．
20．如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数．
【答案】．
21． 如图，
AB为⊙O的直径，C，D分别为OA，OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB，点E，F都在⊙O上，求证：
（1）CF= DE．
（2）．
（3）AE=2CF．
【答案】（1）证明：连结OF ，OE，如图，
∵AB为⊙O的直径，C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC=OD，
而OF=OE，
∴Rt△OCF≌Rt△ODE，
∴CF= DE；
（2）证明：在Rt△OCF中，OC=OF，
∴∠CFO=30°，
∴∠COF= 60°，
∴∠BOE= 60°，
∴∠EOF= 180°-60°- 60°=60°，
∴∠AOF=∠FOE=∠EOD，
∴；
（3）证明：∵OE=OA，
∴∠A=∠OEA．
∵∠DOE=∠A+∠OEA= 60°，
∴∠A=30°，
∴AE= 2DE，
∴AE= 2CF.
【解析】【分析】（1）连结OF ，OE，根据直径结合中点得到OC=OD，再根据三角形全等的判定与性质证明Rt△OCF≌Rt△ODE即可得到CF= DE；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得到∠CFO=30°，进而得到∠BOE= 60°，再进行角的运算得到∠EOF=60°，从而得到∠AOF=∠FOE=∠EOD，再根据圆心角与弧的关系即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OEA，从而根据题意进行角的运算得到∠A=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
22．如图，在 中，AB是 的直径， 与AC交于点D， ，
求 的度数.
【答案】解：在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，
∴∠A=45°．
∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，
∴∠BOD=2∠A=90°．
【解析】【分析】在△ABC中，先求得∠A，再根据圆周角定理可求得∠
BOD 。
23．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，
∵∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵AC＝5，CD＝4，∠D＝90°，
∴AD＝＝3，
∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AB＝，
∴半径为．
【解析】【分析】（1）连接OC，先证OC∥AD，可得∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，结合∠D＝∠ACB＝90°，可证△ABC∽△ACD；
（2）由勾股定理求出AD=3，由（1）知△ABC∽△ACD，可得，据此求出AB，继而得出半径.
24．【读一读】
一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题．课本里对三角形、四边形的研究即遵循着上面的思路．
【算一算】
当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．如图，在中，，点M、N分别为边、的中点，连接．
（1）如图1，若，，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点A、E、F在同一直线上时，与相交于点，连接、．
①填空：______（填度数），是______三角形（填类别）；
②求的长．
（2）如图2，若，将绕点顺时针旋转，得到，连接、．当旋转角满足，点C、E、F在同一直线上时，利用所提供的图2和备用图探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①，等边；②
（2） 或．
25．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为的交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于，两点．
（1）求点与点的坐标；
（2）过点作的切线，交轴于点，求直线的函数解析式；
（3）过点作直线于点，交于点，求弦的长度．
【答案】（1）；；
（2）直线解析式为；
（3）弦的长度为．
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