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第26章 概率初步 单元综合强化训练卷
一、单选题
1．不透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，转动质量均匀的转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是（ ）
A．90 B． C． D．
3．某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是奇数
B．射击运动员射击一次，命中9环
C．明天会下雨
D．度量三角形的内角和，结果是360°
5．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，因此可以推算出m的值大约是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
6．在一个不透明的袋中，装有2个黄球和3个红球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出两个球，则这两个球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取两张邮票，恰好抽到“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．小明、小雪、丁丁和东东在公园玩飞行棋，四人轮流掷骰子，小明掷骰子7次就掷出了4次6，则小明掷到数字6的概率是（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个．将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中小球的个数为 ．
12．如果是从0，1，2，3四个数中任意抽取的一个数，是从0，1，2三个数中任意抽取的一个数，那么关于的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是 ．
13．一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 .
14．如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为 ．
15．如图，在4×4的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，以点A、点B为顶点，再从C、D、E、F四点中任取一点作为第三个顶点画三角形，则所画三角形为等腰三角形的概率是 ．
16．有4张正面分别标有数字、、0、4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
三、解答题
17．近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校从3名男生（含小强）和5名女生中选4名学生参加全区比赛，规定其中女生选n名．
（1）当n为何值时，“男生小强参加”是必然事件？
（2）当n为何值时，“男生小强参加”是随机事件？
18．一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．
19．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，12周后，记录了两组患者的生理指标 和 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；
同时记录了服药患者在4周、8周、12周后的指标z的改善情况，并绘制成条形统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标 的值大于1.7的概率；
（2）设这100名患者中服药者指标 数据的方差为 ，未服药者指标 数据的方差为 ，则 ；（填“>”、“=”或“<” ）
（3）对于指标z的改善情况，下列推断合理的是 ．
①服药4周后，超过一半的患者指标z没有改善，说明此药对指标z没有太大作用；
②在服药的12周内，随着服药时间的增长，对指标z的改善效果越来越明显．
20． 暑假期间，小明和小张计划外出游玩，准备通过抽卡片的方式每人从下面四个景点A：石阡佛顶山；B：莲华古风景区；C：楼上古寨；D：贵州三昧禅院中各随机选择一个．
（1）小明选择去石阡佛顶山的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小张去同一景区的概率．
21．2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行．现有三张不透明的卡片， 其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物大熊猫“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．
（1）小明从中随机抽取一张，“抽到卡片的正面图案是乒乒”的概率是 ；
（2）小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮抽到的两张卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物“乒乒”的两张卡片分别记为、）
22．某学校为了了解九年级学生“一份中内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中，选取2名同时跳绳，请你用列表或画树状图求恰好选中一男一女的概率是多少？
23．小明骑自行车从家去学校，途经装有红、绿灯的三个路口．假设他在每个路口遇到红灯和绿灯的概率均为 ，则小明经过这三个路口时，恰有一次遇到红灯的概率是多少？请用树状图的方法加以说明．
24．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 200 500 1000 1500 2000
优等品频数m 188 471 946 1426 1898
优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；
（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
25．圆周上均匀地分布着6个点，从中任意取3个，这三个点正好围成直角三角形的概率是
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第26章 概率初步 单元综合强化训练卷
一、单选题
1．不透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．如图，转动质量均匀的转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是（ ）
A．90 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】转动质量均匀的转盘，当转盘停止时，
指针落在白色区域的概率是： ，
故答案为：D.
【分析】求出白色区域的面积与转盘的面积的比，即可求出指针落在白色区域的概率.
3．某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，
∴恰好选中两名男学生的概率是：=
故选A．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
4．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是奇数
B．射击运动员射击一次，命中9环
C．明天会下雨
D．度量三角形的内角和，结果是360°
【答案】D
【解析】【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件。
A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件；
B、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件；
C、明天会下雨，是随机事件；
D、一个三角形的内角和为180°，结果是360°，是不可能事件。
故选D．
5．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，因此可以推算出m的值大约是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在，
∴摸到红球的概率为，
而m个小球中红球只有4个，
∴推算出m的值大约是4÷=16．
故选C．
【分析】由于摸到红球的频率稳定在 ，由此可以确定摸到红球的概率，而m个球中有4个红球，由此即可求出m．
6．在一个不透明的袋中，装有2个黄球和3个红球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出两个球，则这两个球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：列表如下：
红 红 红 黄 黄
红 红红 红红 红黄 红黄
红 红红 红红 红黄 红黄
红 红红 红红 红黄 红黄
黄 黄红 黄红 黄红 黄黄
黄 黄红 黄红 黄红 黄黄
由表知共有20种等可能结果，其中这两个球颜色不同的有12种结果，
所以这两个球颜色不同的概率为 ＝ ，
故答案为：A．
【分析】利用列表法求出共有20种等可能结果，再求出概率即可。
7．二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取两张邮票，恰好抽到“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8．小明、小雪、丁丁和东东在公园玩飞行棋，四人轮流掷骰子，小明掷骰子7次就掷出了4次6，则小明掷到数字6的概率是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：骰子上有1，2，3，4，5，6，
小明掷到数字6的概率是 ，
故选：B．
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，可得答案．
9．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，过A作AG⊥BF，垂足为G，如图，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB=BC=CD=DE=EF，
∴
∴
∴
∴由勾股定理得FG= ，
∴BF=
∴
∴白色部分的面积 ，阴影区域的面积是a× a＝ a2，
所以正六边形的面积为
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为：B．
【分析】利用阴影部分的面积除以正六边形的面积，求出答案即可。
10．如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【分析】根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．
【解答】根据图示可以得出：
①根据图示出水口之间存在不同，故①选项错误；
②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；
根据第二个出水口的出水量为：+=，
第4个出水口的出水量为：+=，
故②选项正确；
③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；
根据第一个出水口的出水量为：，第二个出水口的出水量为：，
第三个出水口的出水量为：，
∴1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；故③选项正确；
④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．
∵1号与5号出水量为，此处三角形材料损耗速度最慢，第一次分流后的水量为1（即净化塔最上面一个等腰直角三角形两直角边的水量为1)，
∴净化塔最上面的三角形材料损耗最快，
故更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．
故④选项正确；
故正确的有3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出各出水口的出水量是解决问题的关键
二、填空题
11．一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个．将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中小球的个数为 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：∵摸到黄球的频率稳定在30%左右，
∴在大量重复摸球试验的前提下，摸到黄球的概率大约为30%，
∵黄球只有6个，
∴袋中小球个数可以估算有6÷0.3=20（个）.
故答案为：20.
【分析】由频率与概率的定义即可求解.
12．如果是从0，1，2，3四个数中任意抽取的一个数，是从0，1，2三个数中任意抽取的一个数，那么关于的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图如下
由树状图知，共有12种等可能结果，
其中能使方程有两个不相等的实数根，即，，的结果有6种结果，
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是，
故答案为：．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
13．一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：因为密码由四个数字组成，千位和百位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以，一次就能打开该锁的概率是.
故答案为：.
【分析】假设十位上的数字是0，则个位上的数字有可能是0~9中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，也要试10次，则要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，然后根据概率公式进行计算.
14．如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵黑色三角形的面积占总面积的 = ，
∴刚好落在黑色三角形区域的概率为 ；
故答案为： ．
【分析】刚好落在黑色三角形上的概率就是黑色三角形面积与总面积的比值，从而得出答案．
15．如图，在4×4的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，以点A、点B为顶点，再从C、D、E、F四点中任取一点作为第三个顶点画三角形，则所画三角形为等腰三角形的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵从C、D、E、F四点中任取一点有4种可能，只有选取C、D、F三点时，所画的三角形是等腰三角形，
∴画三角形为等腰三角形的概率为：.
故答案为：.
【分析】根据从C、D、E、F四点中任取一点有4种可能，只有选取C、D、F三点时，所画的三角形是等腰三角形，再由概率公式即可得出答案.
16．有4张正面分别标有数字、、0、4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
【答案】
三、解答题
17．近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校从3名男生（含小强）和5名女生中选4名学生参加全区比赛，规定其中女生选n名．
（1）当n为何值时，“男生小强参加”是必然事件？
（2）当n为何值时，“男生小强参加”是随机事件？
【答案】（1）n=1；（2）n=2或n=3；
18．一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．
【答案】解：画树状图如下：
一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球有2种可能的结果，
次都摸到红球）．
【解析】【分析】用画树状图法列举出所有等可能的结果共有6种，从中找出2次都摸到红球的可能结果有2种，然后利用等可能事件的概率公式即可解答．
19．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，12周后，记录了两组患者的生理指标 和 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；
同时记录了服药患者在4周、8周、12周后的指标z的改善情况，并绘制成条形统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标 的值大于1.7的概率；
（2）设这100名患者中服药者指标 数据的方差为 ，未服药者指标 数据的方差为 ，则 ；（填“>”、“=”或“<” ）
（3）对于指标z的改善情况，下列推断合理的是 ．
①服药4周后，超过一半的患者指标z没有改善，说明此药对指标z没有太大作用；
②在服药的12周内，随着服药时间的增长，对指标z的改善效果越来越明显．
【答案】（1）解：指标x的值大于1.7的概率= =6%；
（2）>
（3）②
【解析】【解答】解： (2)由图1可知，S12＞S22，
故答案为：＞；(3)由图2可知，推断合理的是②，
故答案为：②．
【分析】(1)根据图1，可以的打指标x的值大于1.7的概率；(2)根据图1，可以得到S12和S22的大小情况；(3)根据图2，可以判断哪个推断合理．
20． 暑假期间，小明和小张计划外出游玩，准备通过抽卡片的方式每人从下面四个景点A：石阡佛顶山；B：莲华古风景区；C：楼上古寨；D：贵州三昧禅院中各随机选择一个．
（1）小明选择去石阡佛顶山的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小张去同一景区的概率．
【答案】（1）
（2）解：画出树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中小明和小张去同一景区的情况有4种，
∴．
【解析】【解答】解： (1) ∵从A，B，C，D四个景点随机选择一个，∴小明选择去石阡佛顶山的概率为
故答案为：．
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
21．2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行．现有三张不透明的卡片， 其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物大熊猫“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．
（1）小明从中随机抽取一张，“抽到卡片的正面图案是乒乒”的概率是 ；
（2）小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮抽到的两张卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物“乒乒”的两张卡片分别记为、）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图知，共有6种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有2种，
∴小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率为．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
总共有3个，正面图案是乒乒的有2个
∴“抽到卡片的正面图案是乒乒”的概率是
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率公式即可求出答案；
（2）画出树状图，求出所有等可能结果，再求出两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果，再根据简单事件的概率公式即可求出答案.
22．某学校为了了解九年级学生“一份中内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中，选取2名同时跳绳，请你用列表或画树状图求恰好选中一男一女的概率是多少？
【答案】解：画树状图为：
共12种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
所以恰好选中一男一女的概率= =
【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
23．小明骑自行车从家去学校，途经装有红、绿灯的三个路口．假设他在每个路口遇到红灯和绿灯的概率均为 ，则小明经过这三个路口时，恰有一次遇到红灯的概率是多少？请用树状图的方法加以说明．
【答案】解：树状图如下：
∴P（1次红灯，2次绿灯）= ，
答：恰有一次红灯的概率是 ．
【解析】【分析】根据三个路口所有可能用树状图列出所有结果即可，注意不要漏解．
24．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 200 500 1000 1500 2000
优等品频数m 188 471 946 1426 1898
优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；
（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
【答案】解：（1）如图；
（2）这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（3）①∵袋中一共有球5+13+22=40个，其中有5个黄球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：=；
②设从袋中取出了x个黑球，由题意得
≥，解得x≥8，
故至少取出了9个黑球．
【解析】【分析】（1）根据统计表中的数据，先描出各点，然后折线连结即可；
（2）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（3）①用黄球的个数除以球的总个数即可；
②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于 ，列出不等式，解不等式即可．
25．圆周上均匀地分布着6个点，从中任意取3个，这三个点正好围成直角三角形的概率是
【答案】
【解析】【解答】解：∵圆周上均匀地分布着6个点，
∴可形成3条直径，
∵每条直径可形成4个直角三角形，
∴一共可以形成3×4个直角三角形，
∵6个点任取3个点共有：6×5×4=120种情况，
∵每个点会反复重复6次，
∴最终共有120÷6=20种情况，
∴这三个点正好围成直角三角形的概率为：
故答案为：.
【分析】先计算出符合条件的所有情况，计算总共有多少种情况时需要去掉重复的，最后根据概率计算公式，即可求解.
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