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第二十章 一次函数 单元综合培优卷
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线上，则m的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
2．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．点 在函数 的图像上，则代数式 的值等于（ ）
A．5 B．-3 C．3 D．-1
4．函数图象向右平移个单位后，对应函数为（ ）
A． B． C． D．
5．一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点 ，则关于x、y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴的交点分别为.则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
8．将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，若使四边形周长最小，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．我们知道：当 时，不论 取何实数，函数 的值为3，所以直线 一定经过定点 ；同样，直线 一定经过的定点为 .
12． 在同一平面直角坐标系中，已知一次函数（k为常数，）和．若两函数的图象在第一象限相交于点P，点P的横坐标是2，则方程组的解是 ．
13．已知直线y=2x+m经过点（﹣1，0），则关于x的不等式2x+m≥0的解集是 ．
14．下列函数①y=3x，②2x2+1，③y=x-1，④y=2，⑤y= ，是一次函数的是 （填序号）.
15．为了提高居民的节水意识，今年调整水价，不仅提高了每立方的水价，还施行阶梯水价.图中的 和 分别表示去年和今年的水费 (元)和用水量 （ ）之间的函数关系图象.如果小明家今年和去年都是用水150 ，要比去年多交水费 元.
16．已知关于的一次函数的图象经过点，则 ．
三、解答题
17．设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3），B（0，－2）两点，试求k，b的值．
18．若直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，点P是该直线上的一点，PC⊥x轴，C为垂足．
（1）求△AOB的面积．
（2）如果四边形PCOB的面积等△AOB的面积的一半，求出此时点P的坐标．
19．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（4，0），直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点D，且两直线交于点C（2，m）．
（1）求m的值及一次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积．
20．一次函数y=﹣2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点坐标．
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．
21．如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
22．如图，直线与直线相交于点．
（1）求的值；
（2）直接写出关于的不等式的解集；
（3）垂直于轴的直线与直线分别交于点C，D．若线段长为2，求的值．
23．某一次函数的图象与直线y=6-x交于点A(5，k)，且与直线y=2x-3平行，求此函数表达式．
24．如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，的长是一元二次方程的两个根，设点E的坐标为，的面积为S．
（1）求直线的解析式；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）若点E在直线的上方，，求出点E的坐标．
25．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”．
（1）在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）；
（2）如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图象的“1阶方点”．
①求的面积的最大值；
②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围．
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第二十章 一次函数 单元综合培优卷
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线上，则m的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
2．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．点 在函数 的图像上，则代数式 的值等于（ ）
A．5 B．-3 C．3 D．-1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点P（a，b）在函数y=3x+2上
∴b=3a+2
∴原式=6a-2(3a+2)+1=6a-6a-4+1=-3.
故答案为：B.
【分析】利用已知点P（a，b）在函数y=3x+2上，可得到b=3a+2，再将b代入代数式，进行化简数，可求出结果.
4．函数图象向右平移个单位后，对应函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】将函数图象向右平移个单位后的解析式为：，
故答案为：D.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
5．一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：∵令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，
∴直线与两坐标轴的交点分别为：（0，4），（4，0），
∴一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积= ×4×4=8．
故选D．
【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
6．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点 ，则关于x、y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：把P(m，1)代入y＝-x+4得-m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为(3，1)，
所以关于x、y的二元一次方程组 的解是 .
故答案为：A.
【分析】用y＝-x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断.
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴的交点分别为.则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：结合一次函数的图象， 不等式对应着一次函数在x轴上方的部分，即
故答案为：B.
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，再结合函数图象，求解即可.
8．将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为，
故答案为：D
【分析】根据一次函数的几何变换结合题意即可求解。
9．如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10．如图，在中，，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，若使四边形周长最小，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
二、填空题
11．我们知道：当 时，不论 取何实数，函数 的值为3，所以直线 一定经过定点 ；同样，直线 一定经过的定点为 .
【答案】
【解析】【解答】根据题意，y=（k-2）x+3k可化为：y=（x+3）k-2x，
∴当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6，
∴直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6），
故答案为：（-3，6）．
【分析】先将y=（k-2）x+3k化为：y=（x+3）k-2x，可得当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6，即可得到直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6）．
12． 在同一平面直角坐标系中，已知一次函数（k为常数，）和．若两函数的图象在第一象限相交于点P，点P的横坐标是2，则方程组的解是 ．
【答案】.
【解析】【解答】解：∵两函数的图象在第一象限相交于点P，点P的横坐标是2，
∴将x=2代入方程，可得，解得；
∴方程的解为，
故答案为：.
【分析】根据函数的性质，两个一次函数的交点同时满足两个函数，将已知交点的横坐标代入方程，可得相应的y值，即可直接求出两个函数的交点即方程组的解.
13．已知直线y=2x+m经过点（﹣1，0），则关于x的不等式2x+m≥0的解集是 ．
【答案】x≥﹣1
【解析】【解答】解：∵直线y=2x+m经过点（﹣1，0），
∴当x≥﹣1时，y≥0，
∴不等式2x+m≥0的解集为x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
【分析】对于y=2x+m，y随x的增大而增大，找出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可得到不等式2x+m≥0的解集．
14．下列函数①y=3x，②2x2+1，③y=x-1，④y=2，⑤y= ，是一次函数的是 （填序号）.
【答案】①③
【解析】【解答】①是一次函数；
②不是等式，故不是一次函数；
③是一次函数；
④是常数函数．
⑤是反比例函数；有①③两个
答案为①③
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析
15．为了提高居民的节水意识，今年调整水价，不仅提高了每立方的水价，还施行阶梯水价.图中的 和 分别表示去年和今年的水费 (元)和用水量 （ ）之间的函数关系图象.如果小明家今年和去年都是用水150 ，要比去年多交水费 元.
【答案】210
【解析】【解答】解：设当x>120时，l2对应的函数解析式为y=kx+b，
解：
故x>120时，l2的函数解析式y=6k-240，
当x=150时，y=6×150-240=660，
由图象可知，去年的水价是480÷160=3（元/m3），
小明去年用水量150m3，需要缴费：150×3=450（元），
660-450=210（元），
所以要比去年多交水费210元，
故答案为：210.
【分析】根据函数图象中的数据利用待定系数法可以求得x>120时，l2对应的函数解析式，从而可以求得x=150时对应的函数值，由l1的图象可以求得x=150时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案.
16．已知关于的一次函数的图象经过点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：将点P（3，-4）代入关于x的一次函数y=x+b，得到-4=3+b，解得b=-7.
故答案为：-7.
【分析】把点P的坐标代入y=x+b，即可求得b的值.
三、解答题
17．设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3），B（0，－2）两点，试求k，b的值．
【答案】k，b的值分别为5，﹣2．
18．若直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，点P是该直线上的一点，PC⊥x轴，C为垂足．
（1）求△AOB的面积．
（2）如果四边形PCOB的面积等△AOB的面积的一半，求出此时点P的坐标．
【答案】解：（1）由y=x+2可知A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∴S△AOB=OA OB=4；
（2）设P（m，m+2），
∵四边形PCOB的面积等△AOB的面积的一半，S△AOB=4，
∴四边形PCOB的面积为2，
∴（|m+2|+2）（|m|）=2，
当m＞0时，m2+8m﹣8=0，求解并舍去负值得m=2-4；
当0＞m≥﹣4时，m2+8m+8=0，求解并舍去不是这个区间的值，得m=2﹣4；
当m＜﹣4时，m2=4，解得m=（都不合题意，舍去）
解得m=2-4或m=2﹣4，
∴P点坐标为（2-4，）或（2﹣4，）．
【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求得与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可；
（2）设P（m，m+2），根据梯形的面积公式列出方程解方程即可求得．
19．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（4，0），直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点D，且两直线交于点C（2，m）．
（1）求m的值及一次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积．
【答案】解：（1）把C（2，m）代入y=﹣3x+3得m=﹣3×2+3=﹣3；
把A（4，0），C（2，﹣3）代入y=kx+b得，
解得．
所以一次函数的解析式为y=x﹣6；
（2）对于y=﹣3x+3，令y=0，则x=1，则B（1，0）；令x=0，则y=3，则D（0，3）．
则AB=4﹣1=3，
则S△ACD=S△ABD+S△ABC=×3×3+×3×3=9．
【解析】【分析】（1）先把点C（2，m）代入y=﹣3x+3得求得m=﹣3，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先确定直线y=﹣3x+3与x轴的交点坐标，然后利用S△ACD=S△ABD+S△ABC进行计算．
20．一次函数y=﹣2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点坐标．
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．
【答案】解：（1）对于y=﹣2x+4，
令y=0，得
﹣2x+4，
∴x=2；
∴一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴的交点A的坐标为（2，0）；
令x=0，得
y=4．
∴一次函数y=﹣2x+4的图象与y轴的交点B的坐标为（0，4）；
（2）S△AOB= OA OB=×2×4=4．
∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4．
【解析】【分析】（1）x轴上所有的点的坐标的纵坐标均为0；y轴上所有的点的坐标的横坐标均为0；
（2）利用（1）中所求的点A、B的坐标可以求得OA、OB的长度；然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积．
21．如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：把点，分别代入直线的解析式，
得，，
解得，.
∴直线的解析式是.
（2）解：在直线中，令，得.
∴点C的坐标为.
∴.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点，分别代入直线的解析式，即可求解；
（2）结合（1）求出点C的坐标，然后根据三角形面积计算公式计算即可.
22．如图，直线与直线相交于点．
（1）求的值；
（2）直接写出关于的不等式的解集；
（3）垂直于轴的直线与直线分别交于点C，D．若线段长为2，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）a的值为或a
23．某一次函数的图象与直线y=6-x交于点A(5，k)，且与直线y=2x-3平行，求此函数表达式．
【答案】解：设此一次函数的表达式为y=ax+b，由点A（5，k）在直线 上，
∴ ．
∴A（5，1），
∵此函数与直线y=2x-3平行，
∴a=2，
∵点（5，1）在此函数图象上，
∴1=2×5+b，
解得：b=-9，
∴此一次函数的表达式为 ．
【解析】【分析】设此一次函数的表达式为y=ax+b，根据点A在y=6-x图象上可求出k的值，可得A点坐标，根据此函数图象与直线y=2x-3平行可得a的值，把A点坐标代入可求出b值，即可得答案.
24．如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，的长是一元二次方程的两个根，设点E的坐标为，的面积为S．
（1）求直线的解析式；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）若点E在直线的上方，，求出点E的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为
（2）
（3）
25．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”．
（1）在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）；
（2）如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图象的“1阶方点”．
①求的面积的最大值；
②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围．
【答案】（1）①②
（2）①4；②或
（3）
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