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第二十一章 代数方程 全优冲刺测评卷
一、单选题
1．2022年5月12日是我国第14个全国防灾减灾日，某校组织防灾减灾教育活动，八年级同学进行了两次地震应急演练，在改进撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多20%，结果360名同学全部撤离的时间比第一次节省了40秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ）
A．40 B．0
C．40 D．40
2．某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（ ）
A． ＝1 B． ＝1
C． ＝1 D． ＝1
4．若分式方程 会产生增根，则m的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．已知关于x的方程=3，下列说法正确的有（ ）个
①当m>-6时，方程的解是正数；②当m<-6时，方程的解是负数；③当m=-4时，方程无解
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6． 某市为处理污水， 要铺设一条长为 4000 米的管道， 为了尽量减少施工对交通所造成的影响， 实际施工时每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 20 天完成任务． 根据题意可列方程 ，则方程中 表示（ ）
A．实际每天铺设籍道的长度 B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设管道的长度 D．原计划施工的材数
7．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是（ ）．
A． B． C． D．
8．学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．甲、乙两同学同时从学校出发，步行12千米到李村．甲比乙每小时多走1千米，结果甲比乙早到15分钟．若设乙每小时走x千米，则所列出的方程式（ ）
A． B．
C． D．
10．若 + = ，则 + 的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法计算
二、填空题
11．若关于x的分式方程 无解． 则常数n的值是 ．
12．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 元．
13．一项工程，若甲、乙两人合作需要小时完成，甲单独做需要小时完成，那么乙单独做需要 小时完成．
14．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
15．设A、B、C为三个连续的正偶数，若A的倒数与C的倒数的2倍之和等于B的倒数的3倍．设B数为 ，则所列方程是 ．
16．已知关于 的分式方程 ＝ ，若采用乘以最简公分母的方法解此方程，会产生增根，则 的值是 ．
三、解答题
17．玉树地震后，有一段公路急需抢修．此项工程原计划由甲工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天，为抗震救灾赢得了宝贵时间．求乙工程队独立完成这项工程需要多少天．
18．乌苏市某生态示范园，计划种植一批苹果梨，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良苹果梨品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？
19．某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．
20．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车 B型车
进货价格（元） 1100 1400
销售价格（元） 今年的销售价格 2000
21．疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染.某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，求购进的第一批医用口罩有多少包？
22．假期小明要阅读老师布置的360页的课外读物．为了完成任务，实际每天看的页数是原计划的1.5倍，结果提前20天完成阅读任务，问小明原计划每天阅读多少页.
23．从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．高速列车的平均速度是每小时多少千米？
24．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
25．若关于x的方程无解，求 m 的值．
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第二十一章 代数方程 全优冲刺测评卷
一、单选题
1．2022年5月12日是我国第14个全国防灾减灾日，某校组织防灾减灾教育活动，八年级同学进行了两次地震应急演练，在改进撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多20%，结果360名同学全部撤离的时间比第一次节省了40秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ）
A．40 B．0
C．40 D．40
【答案】A
【解析】【解答】第一次360名学生撤离的时间为：秒，第二次360名学生撤离的时间为：秒，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】先表示出第一次和第二次的时间，再根据题意直接列出方程即可。
2．某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3．小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（ ）
A． ＝1 B． ＝1
C． ＝1 D． ＝1
【答案】B
【解析】【解答】解：设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，
根据题意得： ＝1．
故答案为：B．
【分析】设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，根据单价＝总价÷数量结合每本比上月便宜1元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
4．若分式方程 会产生增根，则m的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x+3，得
x+2=m，
∵分式方程 会产生增根，
∴x+3=0，
解得x=-3，
将x=-3代入x+2=m，得
m=-3+2=-1.
故答案为：C.
【分析】先在方程左右两边同时乘最简公分母（x+3），化为整式方程，根据分式方程有增根，可得x的值是使得最简公分母（x+3）为0的解，而且分式方程的增根是将分式方程转化为整式方程的根，故代入x的值即可得m的值.
5．已知关于x的方程=3，下列说法正确的有（ ）个
①当m>-6时，方程的解是正数；②当m<-6时，方程的解是负数；③当m=-4时，方程无解
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】【分析】先把方程=3去分母得，即得，再根据方程的根的定义及分式方程的增根的定义依次分析各小题即可作出判断.
【解答】方程=3去分母得，解得
①当，即时，方程的解是正数；
②当，即时，方程的解是负数；
③当，即时，方程无解
故选D.
【点评】解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最简公分母等于0的根叫做分式方程的增根.
6． 某市为处理污水， 要铺设一条长为 4000 米的管道， 为了尽量减少施工对交通所造成的影响， 实际施工时每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 20 天完成任务． 根据题意可列方程 ，则方程中 表示（ ）
A．实际每天铺设籍道的长度 B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设管道的长度 D．原计划施工的材数
【答案】A
【解析】【解答】解：由方程可得，方程中 表示实际每天铺设籍道的长度 ，
故答案为：A.
【分析】根据方程中的实际意义求解即可.
7．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x-5）棵，
由题意得：
故答案为：D．
【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x-5）棵，由题意可分别表示出甲、乙两班每天植树的棵数，再根据甲、乙两班植树所用天数相等这个等量关系列出方程即可。
8．学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设文学类图书平均每本x元，依题意可得
故答案为：B．
【分析】设文学类图书平均每本x元，根据购买的书本数相等即可列出方程．
9．甲、乙两同学同时从学校出发，步行12千米到李村．甲比乙每小时多走1千米，结果甲比乙早到15分钟．若设乙每小时走x千米，则所列出的方程式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】若设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，由题意得：
15分钟= 小时，
．
故答案为：D．
【分析】根据时间=路程÷速度，由乙用的时间-甲用的时间=15分钟（小时）列出方程，通过比较作出判断即可.
10．若 + = ，则 + 的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法计算
【答案】C
【解析】【解答】解：由 + = = 得到（x+y）2=xy，即x2+y2=﹣xy，
则原式= =﹣1．
故答案为：C．
【分析】先将所给分式方程化简得到：x2+y2=﹣xy，再将方程两边同时除以xy即可求得所给式子的值.
二、填空题
11．若关于x的分式方程 无解． 则常数n的值是 ．
【答案】1或
【解析】【解答】解：两边都乘（x 3），得3 2x＋nx 2＝ x＋3，
解得x＝ ，
n＝1时，整式方程无解，分式方程无解；
∴当x＝3时分母为0，方程无解，
即 ＝3，
∴n＝ 时，方程无解；
故答案为：1或 ．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解，使原方程的分母等于0．
12．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 元．
【答案】4
【解析】【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为 x元/支，
根据题意得： ﹣ =30，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．
故答案为：4．
【分析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为 x元/支，则第一次用600元购进2B铅笔的数量为：支，第二次用600元购进2B铅笔的数量为：支，根据第二次购进的数量比第一次少了30支，列出方程，求解并检验即可。
13．一项工程，若甲、乙两人合作需要小时完成，甲单独做需要小时完成，那么乙单独做需要 小时完成．
【答案】
【解析】【解答】解设乙单独做需要x小时 ，根据题意得，=＋ 解方程得： x= 经检验，x=是原方程的解且符合题意， ∴乙单独做需要 小时。
故答案为： .
【分析】设乙单独做需要x小时，根据工作效率=工作总量÷工作时间，再根据合作的工作效率=甲的工作效率＋乙的工作效率，列出方程求解即可。
14．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
【答案】 ﹣ =
【解析】【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣ = ．
故答案为： ﹣ = ．
【分析】由时间=路程÷速度，分别表示出甲、乙需要的时间，再根据甲车比乙车早半小时列出方程即可。
15．设A、B、C为三个连续的正偶数，若A的倒数与C的倒数的2倍之和等于B的倒数的3倍．设B数为 ，则所列方程是 ．
【答案】
【解析】【解答】解： 设B数位x，则A数为x-2.C数为x+2，根据甲数的倒数与丙数的倒数的2倍之和等于乙数的倒数的3倍.列出方程
故答案为：
【分析】先分别表示出A、B两数，再根据A的倒数与C的倒数的2倍之和等于B的倒数的3倍，列方程即可。
16．已知关于 的分式方程 ＝ ，若采用乘以最简公分母的方法解此方程，会产生增根，则 的值是 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x-2），得
x+2 =m
∵最简公分母为（x-2），
∴原方程增根为x=2，
∴把x=2代入整式方程，得m=4．
故答案为4.
【分析】先去分母用含m的代数式表示x，再根据分式方程有增根的意义即是使公分母为0的未知数的值可求得x的值，将这个x的值代入用含m的代数式表示的x中可得关于m的方程，解方程即可求解。
三、解答题
17．玉树地震后，有一段公路急需抢修．此项工程原计划由甲工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天，为抗震救灾赢得了宝贵时间．求乙工程队独立完成这项工程需要多少天．
【答案】12天
18．乌苏市某生态示范园，计划种植一批苹果梨，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良苹果梨品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？
【答案】解：设原计划平均每亩产量为x万千克，根据题意列方程得，
﹣ =20
解得，x=0.3
经检验，x=0.3是原方程的解且符合题意．
则1.5x=0.45万千克；
答：原计划平均每亩产量0.3万千克，改良后平均每亩产量是0.45万千克
【解析】【分析】设原计划平均每亩产量为x万千克，根据“改良前亩数﹣改良后亩数=20”列出分式方程求解即可．
19．某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．
【答案】解：设学生返回时步行的速度为x千米 小时，则去时步行的速度为 千米 小时，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
经检验， ， 是原方程的解， 符合题意， 不符合题意，舍去．
答：学生返回时步行的速度为3千米/小时．
【解析】【分析】先求出 ， 再解方程计算求解即可。
20．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车 B型车
进货价格（元） 1100 1400
销售价格（元） 今年的销售价格 2000
【答案】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得
=，
解得：x=1600．
经检验，x=1600是原方程的根．
答：今年A型车每辆售价1600元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），
y=﹣100a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y=﹣100a+36000．
∴k=﹣100＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=34000元．
∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【解析】【分析】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
21．疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染.某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，求购进的第一批医用口罩有多少包？
【答案】解：设购进的第一批医用口罩有x包，
则 ，解得： ，
经检验 是原方程的根.
答：购进的第一批医用口罩有2000包.
【解析】【分析】设购进的第一批医用口罩有x包，根据总价除以数量等于单价及“ 药店第一次用4000元购进一次性医用口罩的单价比第二次用7500元钱购进这种口罩的单价多0.5元 ”列出方程，求解即可.
22．假期小明要阅读老师布置的360页的课外读物．为了完成任务，实际每天看的页数是原计划的1.5倍，结果提前20天完成阅读任务，问小明原计划每天阅读多少页.
【答案】解：设小明原计划每天阅读x页，
根据题意，得 ，
解得x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，
答：小明原计划每天阅读8页．
【解析】【分析】本题需先根据题意设出小明原计划每天阅读x页，再根据已知条件列出方程即可求出答案．
23．从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．高速列车的平均速度是每小时多少千米？
【答案】解：设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，
根据题意得， ﹣ =2，
解得：x=90，
经检验，x=90是所列方程的根，
则3x=3×90=270．
答：高速列车平均速度为每小时270千米
【解析】【分析】设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意可得，坐高铁走180千米比坐普通车240千米少用2小时，据此列方程求解．
24．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间有x名工人，则乙车间有（50-x）名工人，根据题意得，
25x×20+30（50-x）×20=27000，
解得：x=30，则50-x=20，
即甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与生产
（2）解：①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，
由题意， 得，
解得 . 经检验， 是原方程的解， 且符合题意
. 乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：18（天）
选择方案一需增加的费用为 +1500=17700（元）
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）
∵17700<18000，∴选择方案一更节省开支.
【解析】【分析】（1）设甲车间的工人为x名，则乙车间为（50-x）名，根据总生产任务为27000件产品，列出方程，解方程即可；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，根据两种方案中企业完成生产任务的时间相同列出分式方程，解方程，验根，即可求解；
②先计算出企业完成生产任务所需的时间，再分别计算方案一和方案二的费用，最后作比较，即可求得方案一更节省开支.
25．若关于x的方程无解，求 m 的值．
【答案】解：方程两边同乘以，得：
，
化简得：，
当时，原方程无解，
可能的增根是或，
当时，，
当时，，
当或时，原方程无解，
或或时原方程无解．
【解析】【分析】分式方程无解，一是产生增根，需要舍去，有解变无解；二是解出的根是含有字母的代数式，字母的取值使代数式无意义，只有这两种情况下分式方程无解，据此可求m值。
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