中小学教育资源及组卷应用平台
第二十七章 圆与正多边形 单元综合强化提升卷
一、单选题
1．沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧的点处，点的对应点为点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC＝6cm，BC＝8cm，则Rt△ABC的外接圆的直径是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若OC=AB，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，PO与⊙O相交于 B点，已知∠P=28°，C为⊙O上一点，连接CA，CB，则∠C的度数为（ ）
A．28° B．62° C．31° D．56°
8．如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，坐标平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）点，其中a＞0，若∠BAC=100°，则△ABC的外心在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．白老师布置了如下题目：“如图，以为直径的半圆上有一点，且，，M为直径上一动点，点与点关于对称，于点，交的延长线于点．”要求同学们添加一个条件，提出问题，并给出相应问题的答案，则两位同学中正确的是（ ）
嘉嘉：当时，与半圆相切．
琪琪：若点恰好落在弧上，则．
A．只有嘉嘉 B．只有琪琪
C．两人都正确 D．两人都不正确
二、填空题
11．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，，点A在y轴上，点B的坐标为（4，4），则该圆弧所在圆内的圆心坐标为 ．
12．如图，正六边形 的边长为2，则 的周长为 .
13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则弧AB的长为 ．
14．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为 ．
15．半径为1的圆中最长的弦长等于
16．一个扇形的圆心角是45°，扇形的半径长是3，则该扇形的面积是 ．
三、解答题
17．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．
18．⊙O的直径为10cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，求AB和CD之间的距离．
19．如图所示，PA，PB是☉O的切线，CD切☉O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°.求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数.
20．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．
21．如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若求的长．
22．如图是放于水平桌面上的鱼缸，其主体部分的轴截面是圆心为的弓形，与桌面相切于点，开口部分与桌面平行，测得开口部分，．（参考数据：，）
（1）求弓形的半径；
（2）求优弧的长．
23．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？
24．如图1，平面直角坐标系中，点P的标是，的半径为5，与x轴分别交于A、B两点，与y 轴分别交于 C、D两点．
（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；
（2）如图2，E点坐标为，点M是上任意一点，作直线，过点B作，垂足为Q，连接，直接写出 的最大值；
（3）如图3，过点作直线轴，在直线上有一个动点N，连接、，请问是否有最大值？若有，求出点N的坐标；若没有，请说明理由．
25．如图1，在矩形中，，．在中，，，，点在的延长线上，点与点重合．现将绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，与边交于点（如图2所示），当点到达点时，停止旋转，立即改为沿边以每秒个单位长度的速度向点平移，当点到达点时，停止运动．
（1）当点到达点时，求的运动时间；
（2）从旋转开始，到平移结束，求点经过的路径长度；
（3）如图2，是的中点，在运动的过程中，求点在区域（含边界）内的时长；
（4）如图3，在平移的过程中，当位于矩形外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等时，直接写出的平移距离．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十七章 圆与正多边形 单元综合强化提升卷
一、单选题
1．沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，
∵点是弦的中点，
∴，；
∵是的中点，
∴；
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，
设，则，
∴，
解得；
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接OC，根据垂径定理得OC⊥AB，OD⊥AB，AC=AB=4，根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线；设，则，由勾股定理得建立方程可求出OA的长，代入公式计算即可．
2．如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
3．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】【解答】（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，∵CO=DO，PO=PO，PC=PD，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；
（ 2 ）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，∵PC=PD∠CPB=∠DPB，PB=PB，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；
（ 3 ）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，∵∠CPO=∠CBP，PC=BC，∠PCO=∠BCA，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO= PO= AB，∴PO=AB，故（3）正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故（4）正确；
正确个数有4个，故答案为：A．
【分析】（1）连接CO，DO，根据根据切线的性质得出∠PCO=90°，然后利用SSS判断出△PCO≌△PDO，根据全等三角形的对应角相等得出∠PCO=∠PDO=90°，即PD与⊙O相切，故（1）正确；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠CPB=∠BPD，然后利用SAS判断出△CPB≌△DPB，根据全等三角形的对应边相等得出BC=BD，故PC=PD=BC=BD，根据四条边相等的四边形是菱形得出：四边形PCBD是菱形，故（2）正确；
（3）连接AC，利用ASA判断出△PCO≌△BCA，根据全等三角形的对应边相等得出AC=CO，故AC=CO=AO，根据等边三角形的性质得出∠COA=60°，根据三角形的内角和及等量代换得出∠CPO=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出CO= PO= AB，故PO=AB，故（3）正确；
（4）根据菱形的性质得出DP=DB，∠CPO=∠DPB=30°，根据等边对等角得出∠DPB=∠DBP=30°，根据三角形的内角和得出∠PDB=120°，故（4）正确，综上所述即可得出答案。
4．如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧的点处，点的对应点为点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC＝6cm，BC＝8cm，则Rt△ABC的外接圆的直径是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AC＝6cm，BC＝8cm，
∴Rt△ABC的外接圆的直径AB＝ ＝ ＝10cm，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理和直角三角形的外接圆直径即为直角三角形的斜边即可得到结论．
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若OC=AB，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】∵BC为圆的切线
∴△OBC为直角三角形
∵OC=AB，OB=BC
∴在直角三角形OBC中，OB=OC
∴∠C=30°
故答案为：B。
【分析】根据题意，由切线的性质判断△OBC为直角三角形，根据直角三角形中30°角岁所对的直角边的性质，即可得到∠C的度数。
7．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，PO与⊙O相交于 B点，已知∠P=28°，C为⊙O上一点，连接CA，CB，则∠C的度数为（ ）
A．28° B．62° C．31° D．56°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连结AO，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=90°，
又∵∠P=28°，
∴∠O=180°﹣90°﹣28°=62°，
∵∠O和∠C对的同一条弦，
∴∠C=∠O=×62°=31°
故答案为：31°．
【分析】连结AO，求出∠O=180°﹣90°﹣28°=62°，再利用圆周角与圆心角的关系求解．
8．如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据扇形面积的计算公式结合题意即可求出阴影部分的面积。
9．如图，坐标平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）点，其中a＞0，若∠BAC=100°，则△ABC的外心在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：∵B（﹣9，0）、C（10，0），
∴△ABC的外心在直线x= 上．
∵∠BAC=100°，
∴△ABC的外心在三角形的外部，
∴△ABC的外心在第四象限．
故选D．
【分析】根据钝角三角形的外心在三角形的外部即可得出结论．
10．白老师布置了如下题目：“如图，以为直径的半圆上有一点，且，，M为直径上一动点，点与点关于对称，于点，交的延长线于点．”要求同学们添加一个条件，提出问题，并给出相应问题的答案，则两位同学中正确的是（ ）
嘉嘉：当时，与半圆相切．
琪琪：若点恰好落在弧上，则．
A．只有嘉嘉 B．只有琪琪
C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】C
二、填空题
11．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，，点A在y轴上，点B的坐标为（4，4），则该圆弧所在圆内的圆心坐标为 ．
【答案】（2，0)
12．如图，正六边形 的边长为2，则 的周长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：作 ，垂足为 .如图所示：
，
，
六边形 是正六边形，
， ，
，
，
，
的周长为 .
故答案为： .
【分析】作 ，垂足为 ，根据正六边形的性质求出△ABC是底角为30°的等腰三角形，然后利用三角函数求出AG的长，从而得出AC，则可求出 的周长.
13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则弧AB的长为 ．
【答案】2π
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA、OB．
∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为5，
∴∠AOB= =72°，
∴ 的长为： =2π．
故答案为2π．
【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
14．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接AC1，∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，
∴ ， ，
∴点B1在AC上，
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】连接AC1，则 ，由题意分别算出 即可.
15．半径为1的圆中最长的弦长等于
【答案】2
【解析】【解答】解：圆中最长的弦是直径，
∵半径为1，
∴直径是2，
故答案为：2．
【分析】根据圆中最长的弦是直径可得答案．
16．一个扇形的圆心角是45°，扇形的半径长是3，则该扇形的面积是 ．
【答案】 π
【解析】【解答】扇形的面积S= ．
故答案为： ．
【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．
三、解答题
17．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．
【答案】米
18．⊙O的直径为10cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，求AB和CD之间的距离．
【答案】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥AB，交AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD，
∴E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝BE＝ AB＝3cm，CF＝DF＝ CD＝4cm，
在Rt△COF中，OC＝5cm，CF＝4cm，
根据勾股定理得：OF＝3cm，
在Rt△AOE中，OA＝5cm，AE＝3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF＝OE﹣OF＝4cm﹣3cm＝1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF＝4cm+3cm＝7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
【解析】【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥AB，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE-OF即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可．
19．如图所示，PA，PB是☉O的切线，CD切☉O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°.求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数.
【答案】（1）解：∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB.
∴三角形PCD的周长为PD+CD+PC
=PD+PC+CA+BD
=PA+PB
=2PA=12.
即PA的长为6.
（2）解：∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°.
∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°.
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE=∠OCA=∠ACD.
同理∠ODE=∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°.
∴∠COD=180°-120°=60°.
【解析】【分析】（1）利用切线长的性质可得CA=CE，DE=DB，PA=PB，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可；
（2）利用切线长的性质可得 ∠OCE=∠OCA=∠ACD，∠ODE=∠CDB，再求出∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°，最后求出∠COD=180°-120°=60°即可.
20．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．
【答案】解：如图，
∵CE=AO，
而OA=OC，
∴OC=EC，
∴∠E=∠1，
∴∠2=∠E+∠1=2∠E，
∵OC=OD，
∴∠D=∠2=2∠E，
∵∠BOD=∠E+∠D，
∴∠E+2∠E=75°，
∴∠E=25°．
【解析】【分析】
如图，由CE=AO，OA=OC得到OC=EC，则根据等腰三角形的性质得∠E=∠1，再利用三角形外角性质得∠2=∠E+∠1=2∠E，加上∠D=∠2=2∠E，所以∠BOD=∠E+∠D，即∠E+2∠E=75°，然后解方程即可．
21．如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若求的长．
【答案】
22．如图是放于水平桌面上的鱼缸，其主体部分的轴截面是圆心为的弓形，与桌面相切于点，开口部分与桌面平行，测得开口部分，．（参考数据：，）
（1）求弓形的半径；
（2）求优弧的长．
【答案】（1）
（2）
23．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？
【答案】解：作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB=8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为2cm，
∴AD= AB=4cm．
设OA=rcm，则OD=（r-2）cm
在Rt△OAD中，
∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r-2）2+42，
解得r=5cm；
即铅球的半径OA的长为5cm
【解析】【分析】先根据垂径定理求出AD的长，设OA=rcm，则OD=（r-2）cm，再根据勾股定理求出r的值即可．
24．如图1，平面直角坐标系中，点P的标是，的半径为5，与x轴分别交于A、B两点，与y 轴分别交于 C、D两点．
（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；
（2）如图2，E点坐标为，点M是上任意一点，作直线，过点B作，垂足为Q，连接，直接写出 的最大值；
（3）如图3，过点作直线轴，在直线上有一个动点N，连接、，请问是否有最大值？若有，求出点N的坐标；若没有，请说明理由．
【答案】（1），，，
（2）
（3），
25．如图1，在矩形中，，．在中，，，，点在的延长线上，点与点重合．现将绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，与边交于点（如图2所示），当点到达点时，停止旋转，立即改为沿边以每秒个单位长度的速度向点平移，当点到达点时，停止运动．
（1）当点到达点时，求的运动时间；
（2）从旋转开始，到平移结束，求点经过的路径长度；
（3）如图2，是的中点，在运动的过程中，求点在区域（含边界）内的时长；
（4）如图3，在平移的过程中，当位于矩形外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等时，直接写出的平移距离．
【答案】（1）（秒）
（2）
（3）（秒）
（4）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
