福建省南平市2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

福建省南平市 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点 (0,2)， (√ 3, 3)，则直线 的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2.已知等差数列{ }满足 2 + 6 = 8，则 4 =( )
A. 3 B. 6 C. 8 D. 4
3.已知向量 = (1,0,1)， = (1,1,0)，则 在 方向上的投影向量为( )
1 1 1 2A. B. C. D.
2 3 4 3
4.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，若 上的点 ( 0, 5)与焦点 的距离为3 ，则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1
2 , 0 ≤ < , 2
5.已知数列{ }满足： = {
2 若 1 = ，则 =( ) 1
2 1, ≤ < 1. 5
2025
2
4 3 2 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
6.过点 (0,2)作圆 ： 2 + 2 4 1 = 0的切线 ， ，切点分别为 ， ，则四边形 的面积为( )
A. 2 B. √ 6 C. √ 10 D. √ 15
2 2
7.已知椭圆 ： + = 1，直线 ： + + 3√ 7 = 0，若点 为 上的一点，则点 到直线 的距离的最小值
4 3
为( )
A. √ 7 B. √ 14 C. 2√ 7 D. 2√ 14
8.如图，在三棱锥 中，点 为底面△ 的重心，点 是线段 的中
点，过点 的平面分别交 ， ， 于点 ， ， ，若 = ， = ，
= , =
1 1 1
, = ，则 + + =( )

A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 ： 21 +
2 + 2 = 0与圆 2：( 1)
2 + ( )2 = 4( > 0)，则以下结论正确的是( )
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A. 若过点 1与圆 2相切的直线有且只有1条，则 = 2
B. 若直线 过点(0,1)，且平分圆 1的周长，则 的方程为： + 1 = 0
C. 若圆 1与圆 2有且只有2条公切线，则0 < < √ 5
√ 14
D. 若 = 2，则圆 1与圆 2的公共弦长为 8
10.设 为数列{ }的前 项和， 为数列{

}的前 项积，若 1 = 8，2 +1 = ( ∈ )，则以下结论正
确的是( )
1
A. = ( ) 4 B. 数列{log2 }是单调递增数列 2
1
C. = 16 4 D. 当 取最大值时， = 3或 = 4 2
1
11.已知直线 = √ 3( )经过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，且与 交于 ， 两点.记点 为坐标原
2
点，直线 为 的准线，则以下结论正确的是( )
A. = 1 B. 以 为直径的圆与 相切
5 √ 3
C. | | = D. △ 的面积为
3 3
三、填空题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。
12.已知直线 1： + 3 + = 0与 2：2 + + 5 = 0平行，且 1过点( 1,1)，则 1与 2间的距离为______．
2
13.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0)，点 在 上，过点 作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，若

3
| | | | = ，则 的离心率为______．
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
已知等比数列{ }的公比 > 0，且 1 5 3 = 56， 6 = 64．
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)记 = log2 ，数列{ }的前 项和为 ，证明： < 1． +1
15.(本小题12分)
已知圆心在直线 = 2 上的圆 经过点 (3,0)，且与直线 3 = 0相切．
(1)求圆 的方程；
(2)若经过点(3,1)的直线 与圆 相交于 ， 两点，且| | = 4，求直线 的方程．
16.(本小题12分)

在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，∠ = ， = = 4， = ，点 是棱 的中点，点
2
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在棱 上，且 = 3 ．
(1)求证： ⊥ ；
14
(2)若四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的大小．
3
17.(本小题12分)
2 2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右焦点分别为 1( 2,0)， 2(2,0)，离心率为 ． 3
(1)求 的标准方程；
(2)若 的左，右顶点分别为 1， 2，过点 (1,0)作斜率不为0的直线 ，与 交于两个不同的点 ， ．
(ⅰ)若 1 ⊥ 1 ，求直线 的方程；

(ⅱ)记直线 1 的斜率为 1，直线 2 的斜率为
1
2，证明： 为定值． 2
18.(本小题12分)
对于数列{ }，若存在常数 > 0，对任意 ∈
，恒有| +1 | + | 1| + + | 2 1| ≤ ，则
称数列{ }是 数列．
1
(1)已知数列{ }的通项公式为 = ，证明：数列{ }是 数列；
(2)已知 是数列{ }的前 项和，3 = 1，证明：数列{ }是 数列；
(3)若数列{ }，{ }都是 数列，证明：数列{ }是 数列．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
4√ 5
12.【答案】
5
13.【答案】2
14.【答案】解：(1)由题意可得 1
2
5 3 = 3 3 = 56，
解得 3 = 7或8，
64
当 3 = 7时，又由 6 =
3
3 = 64，可得
3 = (舍)；
7
当 3 = 8时，由 6 = 64，可得
3 = 8， = 2，满足题意，
所以 3 = 3 = 2 ；
(2)证明：由(1)知， = 2
，所以 =

22 = ，
1 1 1 1
所以 = = ，
+1 ( +1) +1
1 1 1 1 1 1
= 1 + 2 + 3 + + = 1 + + + = 1 2 2 3 +1 +1
1
因为 ∈ ，所以 = 1 < 1． +1
15.【答案】(1)解：法一：因为 (3,0)在直线 3 = 0上，所以 为切点，
过点 与 3 = 0垂直的直线为 + 3 = 0，
+ 3 = 0
联立{ 得，圆心 (3,0)， = | | = 2√ 2，
= 2
故圆的标准方程为( 1)2 + ( 2)2 = 8．
法二：因为圆心 在直线2 = 0上，所以设圆心为 ( , 2 )，
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设圆 的方程为( )2 + ( 2 )2 = 2，
(3 )2 + (0 2 )2 = 2
则依题意可得，{| 2 3| ，
=
√ 2
= 1
解得，{
= 2√ 2
所以圆心 (1,2)，半径 = 2√ 2，
即圆的标准方程为( 1)2 + ( 2)2 = 8．
(2)由(1)可得圆心 (1,2)，半径 = 2√ 2，
由| | = 4得圆心 到直线 的距离为 = √ (2√ 2)2 22 = 2，
(ⅰ)当过点(3,1)的直线斜率不存在时，则直线方程为 = 3，
圆心 到直线 = 3的距离为2，符合题意；
(ⅱ)当过点(3,1)的直线斜率存在时，
可设直线 方程 1 = ( 3)，即 3 + 1 = 0，
| 2 3 +1|
由圆心 到该直线的距离 = = 2，
√ 2 +1
| 2 1| 3
可得 = 2，解得 = ，
2 4√ +1
此时，直线 的方程为3 4 5 = 0，
综上所述，直线 的方程为 = 3或3 4 5 = 0．
16.【答案】解：(1)证明：由 = ， 是棱 的中点，得 ⊥ ．
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，且 平面 ；
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
得 ⊥ ．

取 中点 ， = ，∠ = ，知 ⊥ ，点 = 3 ，
2
即 为 中点，又 是棱 的中点， // ，则 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ．

(2)连接 ，则由∠ = ，及 是线段 的中点，得 ⊥ ，
2
由(1)知， ⊥平面 ，
如图以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
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14
四棱锥 的体积为 ，且∠ = ， = = 4，
3 2
1 1 14
= × (4 × 4 √ 2 × √ 2) = ，解得 = 2， 3 2 3
是线段 的中点， ⊥ ，
得 (0,0,2)， ( 2,0,0)， ( 2,4,0)， ( 2,0,0)， (2,0,0)， (0,0,0)， (1,1,0)．
所以 = (2,0,2)， = (0,4,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 + 2 = 0,
则{ 取 = 1，
= 4 = 0,
可得 = (1,0, 1)；
由(1)知 ⊥平面 ，所以平面 的一个法向量为 = (1, 1,0)，
设平面 与平面 夹角为 ，
| | 1
则 = = ，
| || | 2

因为0 < < ，
2

所以平面 与平面 的夹角为 ．
3
17.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为 ，
因为椭圆 的左，右焦点分别为 1( 2,0)， 2(2,0)，
所以 = 2，①
2
因为椭圆 的离心率为 ，
3
2
所以 = = ，②
3
联立①②，
解得 = 3，
则 2 = 2 2 = 5，
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2 2
故椭圆 的标准方程为 + = 1；
9 5
(2)(ⅰ)因为直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(5 2 + 9) 2 + 10 40 = 0，
+ = 1
9 5
此时 = 100 2 + 160(5 2 + 9) > 0，
10 40
由韦达定理得 1 + 2 = ， = ， 5 2+9 1 2 5 2+9
因为 = ( + 2, ) = ( + 3, )， = ( + 2, ) = ( + 3, )，且 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ⊥ 1 ，
所以 1 1 = ( 1 + 3)( 2 + 3) + 1 2 = (
2 + 1) 1 2 + 3 ( 1 + 2) + 9 = 0，
解得 √ 41 = ± ，
5
则直线 的方程为 √ 41 = ± + 1，
5
即5 + √ 41 5 = 0或5 √ 41 5 = 0；
(ⅱ)证明：由椭圆的定义知 1( 3,0)， 2(3,0)，
1 1 2 2
所以 1 = = = = 1+3
， 2
1+4
，
2 3 2 2
1 1( 2 2) 1 2 2 所以 = = 1．
2 2( 1+4) 1 2+4 2
1 2 40 4
因为 = = + 10 ， 1 2
所以 1 2 = 4( 1 + 2).
1 4( 1+ 2) 2 1 2 +4 1则 = = 1 2 = 为定值．
2 4( 1+ 2)+4 2 4 1+8 2 2
1
18.【答案】证明：(1)因为 = ，所以 +1 < 0，
所以| +1 | = +1，
所以| +1 | + | 1| + + | 2 1|
= 1 2 + 2 3 + + +1
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1
= 1 +1 = 1 < 1，所以{ }为1 数列； +1
(2)因为3 = 1，
当 ≥ 2时，3 1 = 1 1，两式相减得3 = 1，
1所以 = ；
1 2
1
当 = 1时，3 1 = 1 1，所以3 1 = 1 1，所以 1 = ； 2
1
所以{ }是首项与公比都为 的等比数列， 2
1
所以 = ( ) ， 2
1 +1 1 1 1所以| +1 | = |( ) ( )
| = |3 ( ) +1| = 3 ( ) +1
2 2 2 2
1 1 1
故| +1 | + | 1| + + | 2 1| = 3[( )
+1 + ( ) + ( )2]
2 2 2
1 1

4 +2 1 1 3
= 3 × 2 1 = 3( 2 2 +1
) < ，
1 2
2
3
因此数列{ }是 数列； 2
(3)若数列{ }，{

}是 数列，则存在正数 1， 2，对任意 ∈ ，
有| +1 | + | 1| + + | 2 1| ≤ 1；| +1 | + | 1| + + | 2 1| ≤ 2．
注意到| | = | 1 + 1 2 + + 2 1 + 1| ≤ | 1| + | 1 2| + + | 2 1| +
| 1| ≤ 1 + | 1|.
同理| | ≤ 2 + | 1|，
设 1 = 1 + | 1|， 2 = 2 + | 1|，
则有| +1 +1 | = | +1 +1 +1 + +1 | ≤ | +1| | +1 | + | | | +1 | ≤
2| +1 | + 1| +1 |，
所以| +1 +1 | + | 1 1| + + | 2 2 1 1| ≤ 2(| +1 | + | 1| + + | 2
1|) + 1(| +1 | + | 1| + + | 2 1|) ≤ 2 1 + 1 2．
所以数列{ }是( 2 1 + 1 2) 数列．
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