第17章勾股定理闯关练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版（含解析）

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第17章勾股定理闯关练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）．
A． B． C．4 D．
6．四边形，，点E为对角线上任意一点，连接、． 若，，则等于（ ）

A．7 B．9 C．16 D．25
7．如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（ ）
A．米 B． 米 C．米 D．米
二、填空题
8．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，则这个三角形的面积为 ．
9．如图，点到原点的距离为 ．
10．如图，圆柱形杯子（无盖）的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿）发现一滴蜂蜜在杯子内壁处（距杯子下沿），则蚂蚁从A处爬到处的最短距离（杯子厚度忽略不计）为 ．
11．在中，，，是边所在直线上的点，，，则 ．
12．如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的长为 ．
13．一颗大树在一次强烈的地震中于离树根处8米的处折断倒下（如图），树顶落在离树根处6米，则大树的原长为 米．
14．一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边．则点C的坐标为 ．
15．如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为 秒．
三、解答题
16．如图，四边形纸片，．经测得，，，．
(1)求A、C两点之间的距离．
(2)求这张纸片的面积．
17．如图，在中，是中线，使，若，．
(1)证明：是等边三角形．
(2)猜想：与的大小关系，并证明．
18．如图，已知中，，，点为上一点，且到，两点的距离相等．
(1)用直尺和圆规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，，求的长度？
19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号）
(1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
20．如图，垂直平分交于O，，点E、F分别在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)探究之间的关系，并证明；
(3)若，，，求的面积．
21．两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出．
(1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理；
(2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长．
《第17章勾股定理闯关练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A C B A B C A
1．A
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，别计算各选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得答案．
【详解】解：A、，
、、组成的三角形是直角三角形；
B、，
、、组成的三角形不是直角三角形；
C、，
、、组成的三角形不是直角三角形；
D、，
、、组成的三角形不是直角三角形．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键．
连接，，，，，，，，结合网格的特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答．
【详解】解：连接，，，，，，，，
∵每个小正方形的边长都为1，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴直线是的垂直平分线，
∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线．
故选：C
3．B
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
根据勾股定理求出的长度，得到的长度，即可得到点在数轴上所对应的数．
【详解】解：∵，，，
，
，
点在数轴上所对应的数是，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了勾股定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知条件画图，通过分类讨论即可作答．
【详解】如图，过点作于，连接
当点在上时：
和关于对称
，即
得：
当点在的延长线上时，同理可得
故选：A．
5．B
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可．
【详解】解：过点作，
∵长方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
连接，与交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得．
【详解】解：连接，与交于点O，

∵，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由，则，设米，则米，然后由勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
设米，则米，
在中，，
∴，
解得：，
故选：．
8．12
【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据等腰三角形三线合一性质得到，然后利用勾股定理求出，进而得到，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，，底边上的中线，
∴
∴
∴
∴这个三角形的面积为．
故答案为：12．
9．5
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，过点P作轴于A，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作轴于A，
∵，
∴，
∴，
∴点到原点的距离为5，
故答案为：5．
10．20
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图所示，将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
∵，
∴
∴．
故答案为20．
11．或
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据三角形两边的长和第三边的高，分当点在线段上时，当点在的延长线上时两种情况讨论，然后利用勾股定理求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】解：如图，当点在线段上时，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在的延长线上时，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
由于，
∴点不在边的延长线上，
综上，或，
故答案为：或．
12．/
【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握含有30度角的直角三角形的性质和勾股定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键．先根据垂直平分线的性质得，易得，进而可得，然后在中，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可知，然后根据勾股定理求出的长，即可得出的长．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，解得，
∴
∴．
故答案为：．
13．18
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的根据勾股定理计算的长是解题的关键．由题意知，米，米，在中，已知，、的长度根据勾股定理可以计算的长度，大树的原长为．
【详解】解：大树倒下部分，地面，大树折断部分正好构成直角三角形，米，米，
米
大树的原长为(米)
故答案为：18．
14．
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形．先求得、的坐标，作点关于原点的对称点，求得是等边三角形，可得到，则，从而可得到点的坐标．
【详解】解：当时，，
，
当时，，
，
，，
，
作点关于原点的对称点，
则，，
是等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
；
故答案为：．
15．或4或
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定；分三种情形：①当时，点在上，②当时，分别构建方程求解即可；
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵中，，，，
∴，
设，，
∵平分，
∴，则，
在中，
∴
∴，则
在中，
解得：
∴，则
①当时，
动点从点出发，以每秒的速度沿边匀速运动，
∴点的运动时间为秒，
②当时，当在上时，
∵
∴
∴点的运动时间为秒，
当在上时，
在中，
∴
∴
∴
∴点的运动时间为秒
综上所述，点的运动时间或4或
故答案为：或4或．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积．
（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【详解】（1）解：连接，如图．
在中，，，，，
∴，
解得（负值舍去）
即A、C两点之间的距离为；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形纸片的面积
．
17．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的判定是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到得到，然后求出，再证明，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，然后比较大小即可解题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（2）解： ，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
即．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握中垂线的基本作图步骤．
（1）根据题意，得到点在线段的中垂线上，尺规作出线段的中垂线即可；
（2）设，则，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，
∵点在线段的中垂线上，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
即，
解得：，
∴．
19．(1)会受到台风的影响，理由见解析
(2)小时
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决．
（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于就是所求的线段．在直角三角形中，求出再比较即可．
（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得即可求解．
【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过作于．
在直角中，
，
，
，
∴该城市会受到这次台风的影响；
（2）解：如图以为圆心，为半径作交于、．
则．
∴台风影响该市持续的路程为：．
∴台风影响该市的持续时间小时，
∴台风影响该城市的持续时间有小时．
20．(1)见解析
(2)，见解析
(3)6
【分析】（1）在上取点G，连接，使，则，证明，即可得出结论；
（2）过点作于，于，依次证明，，，进而得出，最后用等量代换即可得出结论；
（3）先求出，进而求出，，利用勾股定理求出，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）证明：在上取点G，连接，使，则，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作于，于，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：，，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
由（2）知，，
，
，
由（2）知，，
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂直平分线定理，勾股定理，三角形内角和定理及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）先根据题意求出梯形的面积，再求出四边形的面积，即可证明结论；
（2）根据题意得到，进而得到，再根据计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
由图所示，，则由平移的性质可得到图中，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
或（舍去），
．
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