第六章平面向量及其应用章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册

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第六章平面向量及其应用章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一、单选题
1．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ）
A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
2．已知单位向量的夹角为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．在中，，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
4．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（ ）
A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
5．已知，，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知平面向量，且，则（ ）
A． B． C． D．3
7．在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ）
A． B． C． D．
8．长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．对于平面向量，下列命题不正确的是（ ）
A．若向量与不相等，则
B．若，则向量
C．若向量与不共线，则与都是非零向量
D．若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线
10．已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（ ）
A．且
B．存在相异实数，使
C．当时，
D．已知梯形，其中
11．已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（ ）
A．的周长为12 B．
C． D．
三、填空题
12．若，且，则 ．
13．如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为 .
14．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m.
四、解答题
15．已知向量满足
(1)求与的夹角；
(2)求向量在向量上的投影向量．
16．已知的夹角为，，，，
(1)若，求实数t的取值范围；
(2)是否存在实数t，使得，若存在，求实数t.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．
(1)若点，，，试用基底表示；
(2)若，且点P在第四象限，求的取值范围．
18．在中，分别为角所对的边.
(1)若，求角的大小；
(2)若，，，求.
19．如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值.
(3)若的最小值为1，求的值.
《第六章平面向量及其应用章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C B A A B ABD AB
题号 11
答案 BC
1．D
【分析】由向量的概念逐个判断即可；
【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量；
速度，重力既有大小又有方向，是向量，
故选：D.
2．B
【分析】根据向量的数量积的运算律求解，即可得答案.
【详解】因为单位向量的夹角为，
所以，
故选：B．
3．D
【分析】根据数量积的定义运算即可得解.
【详解】因为，，，
所以
故选：D．
4．C
【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状.
【详解】如图，点是的中点，所以，
因为，即，即，
则点三点共线，且，所以点是的重心，
又，所以点是的外心，则，即，
所以，同理，则，
所以是等边三角形.
故选：C.
5．B
【分析】根据向量的坐标表示可得答案.
【详解】设,则，
解得.
故选:B
6．A
【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出.
【详解】向量，则，
由，得，所以.
故选：A
7．A
【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可.
【详解】因为，且由余弦定理得，
所以，解得，而在中，，则，故A正确.
故选：A．
8．B
【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解.
【详解】设，则，且，
在中，，
∴，即，
解得．
故选：B．
9．ABD
【分析】由向量的基本概念及共线向量的概念逐项判断即可；
【详解】对于A，当向量与互为相反向量时，两向量的模长相等，故该命题不正确；
对于B，向量的模长有大小关系，但向量之间无大小关系，该命题不正确；
对于C，由于零向量与任意向量共线，向量与不共线，则与都是非零向量，该命题正确；
对于D,与共线，与共线时，与也共线，当时命题不一定成立，该命题不正确，
故选：ABD.
10．AB
【分析】根据向量的加减运算计算化简得出是否共线判断各个选项即可.
【详解】A．联立和消去向量可得出，且共线；
B．都是非零向量，且都不为共线；
C．当时，满足，此时对任意的向量都有得不出共线；
D．与不一定平行，得不出共线．
故选：AB.
11．BC
【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可.
【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确；
对于AC，由余弦定理得，
得，则，A错误，C正确；
对于D，由余弦定理得，D错误.
故选：BC
12．
【分析】由向量数乘的几何意义即可求解；
【详解】（1）当点C在线段的延长线上时，如图．
则，则．
（2）当点C在线段上时，如图．
则，即．
综上，．
故答案为：
13．
【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案.
【详解】设，由得，
故
，
由得，
故,
由于三点共线，故，则，
又，故，
所以，
故答案为：
14．
【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度.
【详解】在中，，，，
，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以树的高度为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可.
（2）利用投影向量的定义求解即得.
【详解】（1）由，得，，
因此，而，
所以向量与的夹角.
（2）向量在向量上的投影向量为.
16．(1)
(2)存在，
【分析】（1）由列式求得值；
（2）利用共线向量定理列式求解即可.
【详解】（1），的夹角为，且，，
.
由，得
，解得；
（2）由，得，
即，解得
所以存在实数，使得.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题设求出的坐标，根据平面向量的基本定理有求出，即可得结果.
（2）设，由已知得求出关于的表达式，结合所在象限列不等式求的范围.
【详解】（1），，，，，
所以．
由题意，知存在实数m，n，使得，
即，
可得解得
所以．
（2）设，则．
又，
则即
又点P在第四象限，所以解得，
故的取值范围是．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理表示、可得结果.
（2）根据题目条件得，结合余弦定理可求的值.
【详解】（1）由余弦定理得，.
∵，
∴，整理得，
∴.
∵，∴.
（2）由，得.
由余弦定理得，
.
19．(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果；
（2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算；
（3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可.
【详解】（1）因为，
所以由余弦定理得，即，所以.
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
（2）因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以.
显然，则，
当且仅当时，即时，取最值.
则的最小值为2.
（3）设与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值1时，．
【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题
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