第七章复数章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册

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第七章复数章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
5．复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．0
6．已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
7．设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不能确定
8．复数是方程的一个根，那么的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若，则复数在复平面内对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
11．已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部等于 B．
C． D．若是实数，是纯虚数，则
三、填空题
12．若，且为纯虚数，则复数 ．
13．设函数（z为复数）满足．若，则 ．
14．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ．
四、解答题
15．已知复数．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)若z是虚数，求实数m的取值范围；
(3)若z是纯虚数，求实数m的值．
16．在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围．
(1)在虚轴上；
(2)在第二，四象限；
17．已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且．
(1)求复数；
(2)求复数；
(3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．
18．在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：，；，．已知复数z是方程的解．
(1)若，且（a，，i是虚数单位），求；
(2)若，复数，，且，，求实数t的取值范围．
19．在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
(1)设，，求证：是实数；
(2)已知，，，求的值；
(3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值．
《第七章复数章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B B D C D AB AB
题号 11
答案 CD
1．D
【分析】设（），由条件等式，应用复数相等求，得到复数.
【详解】设（），则，，
因为，所以，
所以解得
即．
故选：D.
2．A
【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可．
【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
因为，，
所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示，
所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值．
因此作于，则与的距离即为所求的最小值，，
故的最小值是1．
故选：A．
3．A
【分析】写出复数对应点的坐标即可得到答案.
【详解】在复平面内对应的点为，其关于直线的对称点为，
所以，则，所以其在复平面内对应的点为，位于第一象限．
故选：A
4．B
【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解.
【详解】由题，，对应的点在第一象限，
则，可得，又为整数，所以．
故选：B．
5．B
【分析】由复数的除法运算和虚部的概念即可求解；
【详解】因为，
所以复数z的虚部为．
故选：B
6．D
【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案.
【详解】由题意可得，则.
故选：D.
7．C
【分析】利用复数的三角运算求出，再由虚部为0求解判断.
【详解】依题意，，
由复数是实数，得，在中，，
由，得，因此，解得，
所以是直角三角形.
故选：C
8．D
【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可.
【详解】因为是方程的一个根，
所以．
故选：D.
9．AB
【详解】因为，所以，，
所以复数在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限，
故选：AB．
10．AB
【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可.
【详解】整理得，对应的点位于第二象限，
则，解得．
故选：AB
11．CD
【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，复数，
对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误；
对于B项：，故B错误；
对于C项：，故C正确；
对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确．
故选：CD.
12．
【分析】设（x，），然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数.
【详解】设复数（x，），则．
由题意知或．
故答案为：
13．1
【分析】先，求得，结合得到，再根据题设得到，进而得，由即可求得.
【详解】因为，
所以，
所以．
又，
所以，
即，
即．
故答案为：1.
14． ； 或或或或或或或或．
【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果．
【详解】由题意，；
由，
得，
则
，
即，
即，
即，
即，
解得或，
又，，
故或或或或或或或或，
故x的取值集合为
故答案为1，或或或或或或或或．
15．(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可.
（2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可.
（3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可.
【详解】（1）若z是实数，则，解得或．
（2）若z是虚数，则，解得且．
（3）若z是纯虚数，则解得．
16．(1)或4．
(2)或．
【分析】（1）根据已知得出实部和虚部进而根据点在虚轴上列方程求解；
（2）点在二四象限列不等式求解.
【详解】（1）复数的实部为，
虚部为．
由题意得，解得或4．
（2）由题意，，或．
17．(1)
(2)
(3)，，另一根为
【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解；
（2）根据复数的除法的运算求解；
（3）将代入方程运算求出，代回方程求解.
【详解】（1），
所以复数的共轭复数为．
（2）因为，
所以
所以.
（3）若是关于的方程的一个根，则，
即，
所以
解得：，，
则，即，
所以方程另一根为．
18．(1)
(2)．
【分析】（1）先求解方程得到复数，再结合条件根据复数相等求解；
（2）根据复数的运算，结合条件列出不等式组的求解.
【详解】（1）由z是方程的根，，
解得．
因为，所以，所以，
则，
所以解得
所以．
（2）因为，所以．
又，
所以．
因为，，
所以解得，
所以实数t的取值范围为．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明；
（2）设，则，由已知，，列等式即可求解；
（3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解.
【详解】（1）设，
，，，
是实数；
（2）设，则，
，，
，①
又，
②，
联立①②，解得，
（3），设，
则，
，，
.
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