华师大版七下（2024版）6.2.2　二元一次方程组的解法—加减法——学案

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第6章 二元一次方程
6.2.2　二元一次方程组的解法—加减法
学习目标与重难点
学习目标：
掌握加减消元法的基本原理和步骤，能够灵活运用加减消元法解决不同类型的二元一次方程组。
通过观察、分析和讨论，培养学生发现问题、解决问题的能力和逻辑思维能力。
激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的合作精神和创新意识。
学习重点：加减消元法的核心步骤：变形→消元→求解→回代
学习难点： 灵活选择消元对象及调整系数的技巧（如系数较大时的最小公倍数法）
预习自测
一、知识链接
解方程组
解:由①可得x= .③
将③代入②,得 .
解得y= .
把 代入③,得x= .
∴x= .
∴原方程组的解为 .
自学自测
例如：
解:由①×2,得 .③
由②-③,得 .
∴y= .
将y= 代入①,得2x-3×1=7.
∴x= .
∴原方程组的解为 .
教学过程
一、创设情境、导入新课
教材第35页
例3 解方程组:
探索 ：注意到这个方程组的未知数 的系数相同 (都是 3 ). 把这两个方程的左、右两边分别相减, 能得到什么结果
把这两个方程的左、右两边分别相减,就消去了 ,得到
即
把 代入①,得
解得
思考 ：从上面的解答过程中, 你发现了二元一次方程组的新解法吗
例 4 解方程组:
怎样消去一个未知数 先消去哪一个比较简便
解： ________,得
即
将 代入___,得
解得
所以
【强调】在解例 3 、例 4 时, 我们是通过将两个方程的两边分别相加 (或相减) 消去一个未知数, 将方程组转化为一元一次方程来解的. 这种解法叫做加减消元法, 简称加减法.
“代入” 也好, “加减” 也罢,基本思想是通过 “消元”和“转化”, 将新问题“化归” 为老问题来解决.
拓展：
1.用加减法解下列方程组 较简便的消元方法是:将两个方程_______，消去未知数_______．
2．已知方程组 ，用加减法消x的方法是__________；用加减法消y的方法是________．
二、合作交流、新知探究
探究一： 思考与探索
例 5 解方程组:
直接相加减不能消去一个未知数, 怎么办呢
思考 ：
例 3 和例 4 的方程组有一个共同特点, 即两个方程中有一个未知数的系数的绝对值相等, 所以可以直接通过加(或减) 消元. 这个方程组能不能通过变形, 转化成例 3 或例 4 的形式呢
解 ① ,② ,得
③ ____ ④,得
即
把 代入②,得
解得
所以
想一想,能否先消去 再求解 怎么做
探究二：新知导入
试一试:在解本节例 2 的方程组
时, 用了什么方法 现在你不妨用加减法试一试, 看哪种方法比较简便.
回答：
三、课堂练习
【必做题】
1.解方程组 用加减法消去y，需要 ( )
A.①×2-② B.①×3-②×2
C.①×2+② D.①×3+②×2
2.用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程．
(1) 消元方法 __________________________．
(2) 消元方法 ____________________________．
3.用加减法解方程组：
【选做题】
4.解方程组 的最佳方法是 ( )
A. 代入法消去a,由②得a=b+2
B. 代入法消去b,由①得b=7-2a
C. 加减法消去a,①-②×2得3b=3
D. 加减法消去b,①+②得3a=9
5.
【综合拓展作业】
6.已知 是二元一次方程组 的解，求m-n的值.
总结反思、拓展升华
加减消元法的概念：把两个二元一次方程的两边分别进行相加或者相减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】 必做题
1.已知a,b 满足方程组 则a+b的值为 ( )
A.1 B. -1 C. -3 D.3
2.若 方 程 组 与 的解相同,则a+b= .
3.若实数a 与b 满足(4a- 则 ab的平方根为_________________.
【综合拓展类作业】选做题
4.已知关于x,y的方程组 与 的解相同,求 mn的值.
答案
1.答案是：C. ①×2+②
2.
(1)
(2) 方程②乘以3，然后加上方程①乘以2
3.用加减法解方程组：
方程①乘以2：2(3x+y)=2 15 6x+2y=30
然后将这个结果与方程②相加：6x+2y+5x 2y=30+14 11x=44 x=4
将 x=4 代入方程①：3(4)+y=15 12+y=15 y=3
所以，方程组的解为 x=4，y=3
【选做题】2
4.D. 加减法消去 b，①+②得 3a=9。
5.
①×6得：2(x+y)+3(x y)=36
5x y=36
得到：
③×5得：5x 5y=180⑤
⑤+④得：x=8
将 x=8 代入方程②：y=4
所以，方程组的解为 x=8，y=4
【综合拓展作业】1-2
6.将 x= 1 和 y=2 代入第一个方程：3( 1)+2(2)=m 3+4=m m=1
将 x= 1 和 y=2 代入第二个方程：n( 1) 2=1 n 2=1 n=3 n= 3
所以，m n=1 ( 3)=1+3=4。
【作业】
1.答案是：D. 3
2.答案是：5
3. 答案是：±2
4.从第一个方程组中，2x+y=3 和 3x 2y=1 可以解出 x 和 y：解得 x=1 和 y=1。
将 x=1 和 y=1 代入第二个方程组：
ax+by=12 a(1)+b(1)=12 a+b=12
bx+ay=13 b(1)+a(1)=13 b+a=13
从第二个方程组中，3x 2y=1 和 nx y=2 可以解出 n：
3(1) 2(1)=1 3 2=1（验证）
n(1) 1=2 n 1=2 n=3
从第一个方程组中，2x+y=3 和 x my=4 可以解出 m：
2(1)+1=3（验证）
1 m(1)=4 1 m=4 m= 3
所以，mn=3 ( 3)= 9。
答案是：-9
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