第17章 勾股定理 综合测试题（含解析）2024-2025学年人教版数学八年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
第17章 勾股定理 综合测试题
一．选择题
1．下列各组数据为勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B． C．9，40，41 D．，，
2．在下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．AB＝3，BC＝4，
C．AB＝AC，∠B＝45° D．∠A＝30°，
3．平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（﹣2，﹣14），C（4，6），D（﹣1，﹣7）四点，则下列结论正确的是（　　）
A．AC＝2BD B．CD＝2AB C．AD＝2BC D．BC＝2AD
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2．D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（　　）
A． B．6 C． D．5
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　）
A． B． C．3cm D．
6．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　）
A． B．2 C． D．
8．开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高BC是3米，斜边AB是5米，则该段楼梯铺．上地毯至少需要的长度为（　　）
A．8米 B．7米 C．6米 D．5米
9．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2CD，点E在CD上，把纸片沿AE折叠，点D的对应点D′恰好落在BC上，则∠DAE的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）
A． B． C．6m D．
二．填空题
11．已知点P的坐标为（5，﹣12），则点P到原点的距离为 　 　．
12．如图，数轴上的点M表示的数为m，则m＝ 　 　．
13．在 Rt△ABC中，已知∠ABC＝90°，AC＝10，AC边上的高BD为，△ABC的周长为 　 　．
14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 　 　米．
15．已知O为数轴原点，如图；
（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线n垂直于OA；（3）在直线n上截取线段AB＝3；
（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．根据以上作图过程及所作图形，有以下四个结论：
①OC＝5；②OB；③3＜OC＜4；④AC＝1．
上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　．
三．解答题
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，，，DA＝1，CD＝3，
（1）证明△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
17．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，对角线AC，BD相交于点O，且BD垂直平分AC，过A点作AE∥CD交BC点E．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若BE＝2，，求EC的长度．
18．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的面积；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
19．如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点10m处，已知旗杆原长20m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
20．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CD＝1，AD＝2，BD＝4．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ACP为等腰三角形，求CP的长．
21．“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形ABCD为某林场种植树林的区域，AB⊥BC．经测量AB＝9km，BC＝12km，CD＝8km，AD＝17km．
（1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径AC的长；
（2）证明：AC⊥CD．
22．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：①　 　，8，10；②9，　 　，15；③9，40，　 　．
（2）小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12，请你帮小明证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．
（3）如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则m+n＝　 　．
23．△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若∠C＝90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2＝c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
参考答案
一．选择题
1．解：A、1+2＝3，不能构成三角形，该选项不符合题意；
B、不是正整数，1，，2不是勾股数，该选项不符合题意；
C、92+402＝412，9，40，41是勾股数，该选项符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，，，不是勾股数，该选项不符合题意；
选：C．
2．解：A、∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵AB＝3，BC＝4，，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵AB＝AC，∠B＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意．
D、不能得出△ABC是直角三角形，符合题意，
选：D．
3．解：A、∵，，
∴AC≠2BD，A选项不符合题意；
B、∵，，
∴CD≠2AB，B选项不符合题意；
C、∵，，
∴AD≠2BC，C选项不符合题意；
D、∵，
∴BC＝2AD，D选项符合题意；
选：D．
4．解：由题意，∵∠DEB是△CDE的一个外角，
∴∠DEB＝∠CDE+∠DCE＝90°+∠DCE．
∴∠DEB是钝角．
又△BDE为等腰三角形，
∴BE＝DE．
∴∠B＝∠BDE．
∵∠ACB＝∠CDE＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，∠BDE+∠CDA＝90°．
∴∠BAC＝∠CDA．
∴CA＝CD＝2．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
∴BC3．
∴BC＝BE+CE＝DE+CE＝3．
又△CDE的周长＝CD+DE+CE，
∴△CDE的周长＝2+3＝5．
选：D．
5．解：连接BH，如图所示：
根据作图可知，EF垂直平分AB，
∴BH＝AH，AD＝BD，
∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴CG＝CD＝5cm，
根据勾股定理得：，
∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm），
设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm，
根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
选：B．
6．解：设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
∴x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即折断处离地面的高度为4.2尺，
选：C．
7．解：如图所示，由题意，ED＝a，AE＝b，
∵大正方形的面积为17，
∴AD2＝17，
∵AD2＝AE2+ED2＝a2+b2，
∴a2+b2＝17，
∵（a+b）2＝22，
∴（a﹣b）2＝2（a2+b2）﹣（a+b）2＝2×17﹣22＝12，
∵EF＝ED﹣EF＝a﹣b，
∴小正方形的边长为EF＝2（负值舍去），
选：D．
8．解：在直角三角形ABC中，高BC是3米，斜边AB长是5米，
由勾股定理得AC4（米），
根据题意，台阶的高的和为BC，宽的和为AC，
AC+BC＝7米，
选：B．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABD'＝90°，AB＝CD，AD∥BC，
∵AD'由AD翻折得到，AD＝2CD，
∴AD'＝2AB，∠DAE＝∠D'AE∠DAD'，
∵sin∠AD'B，
∴∠AD'B＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAD'＝∠AD'B＝30°，
∴∠DAE＝15°．
选：B．
10．解：设AC＝AB＝x m．
∵四边形EFCD是矩形，
∴CF＝DE＝4m，
∵BE＝1m，
∴AD＝AE﹣BE＝x+1﹣4＝（x﹣3）m，
在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2，
∴x2＝（x﹣3）2+62，
解得x，
∴ACm．
选：B．
二．填空题
11．解：∵点P的坐标为（5，﹣12），
∴点P到原点的距离OP13，
答案为：13．
12．解：根据题意得：，
答案为：．
13．解：∵∠ABC＝90°，AC＝10，AC边上的高BD为，
∴S△ABCAB BCAC BD，
∴AB BC＝1048，
∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB BC＝AC2+2×48＝100+96＝196，
∴AB+BC＝14，
∴△ABC的周长＝14+10＝24，
答案为：24．
14．解：过B作BC∥地面，连接AB，
，
由题意得，BC＝12米，AC＝12﹣7＝5（米），
由勾股定理得，AB13（米），
答案为：13．
15．解：根据题意得，OA＝2，AB＝3，∠OAB＝90°，
∴OB，
②正确；
∵OC＝OB，
∴OC，
∴③正确，①错误；
∴AC＝OC﹣OA2≠1，
④错误；
答案为：②③．
三．解答题
16．（1）证明：∵AC＝2，DA＝1，CD＝3，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°，
（2）解：∵∠B＝90°，AC＝2，BC，
∴AB，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
AB BCAC AD
1×2
．
答案为：．
17．（1）证明：∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠DCB，
∵∠ABC＝∠DCB，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，
∴AE＝BC；
（2）解：过点A作AF⊥BE于点F，
∵AB＝AE，
∴BF＝EFBE＝1，
在Rt△ABF和Rt△ACF中，
AB2﹣BF2＝AF2＝AC2﹣CF2，
∵AB＝AE＝BC＝2+CE，CF＝EF+CE＝1+CE，
∴（2+CE）2﹣12（1+CE）2，
∴CE＝1（负值已舍），
∴EC的长度为1．
18．解：（1）S△ABC＝4×44×23×41×2
＝16﹣4﹣6﹣1
＝5；
（2）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
19．解：设旗杆断裂处距离C点x m，则BC＝x m，AB＝（20﹣x）m，
在Rt△ABC中，AC＝10m，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2
即x2+102＝（20﹣x）2
解得：x＝7.5
答：旗杆在离底部7.5米的位置断裂．
20．（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACD中，CD＝1，AD＝2，
∴AC，
在Rt△ABD中，BD＝4，
∴AB2，
在△ABC中，AC2+AB2＝（）2+（2）2＝25，
BC2＝（CD+BD）2＝52＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°；
（2）解：分三种情况：
当CA＝CP时，如图：
∴CP的长为；
当AC＝AP时，如图：
∵AC＝AP，AD⊥CP，
∴CP＝2CD＝2，
∴CP的长为2；
当PA＝PC时，如图：
∵PA＝PC，
∴∠C＝∠PAC，
∵∠C+∠B＝90°，∠PAC+∠PAB＝90°，
∴∠B＝∠PAB，
∴AP＝BP，
∴CP＝BPBC＝2.5，
∴CP的长为2.5；
综上所述：CP的长为，2或2.5．
21．（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC15（km），
答：无人机飞行路径AC的长为15km；
（2）证明：∵AD2＝172＝289（km2），CD2+AC2＝82+152＝289（km2），
∴AD2＝CD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD．
22．（1）解：①设空缺的数为x，
则有三种情况：x2+82＝102，x2+102＝82，102+82＝x2，
解得：x＝±6，，
∵x要为正整数，
∴仅有x＝6满足题意，
同理，对于②③，可求得空缺的数为：12，41，
答案为：6，12，41；
（2）证明：（2mn）2＝4m2n2，
（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4，
显然，m4+2m2n2+n4＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2，
即：（m2+n2）2＝（m2﹣n2）2+（2mn）2，
∴2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组；
（3）解：28，96，100约去公因数4，得到7，24，25，
其中，24＝2×3×4，
∵25＝42+32，7＝42﹣32，
∴m＝4，n＝3，
∴m+n＝7，
答案为：7．
23．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2（1分）
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．（2分）
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD＝a﹣x（3分）
根据勾股定理，得b2﹣x2＝AD2＝c2﹣（a﹣x）2
即b2﹣x2＝c2﹣a2+2ax﹣x2．
∴a2+b2＝c2+2ax（5分）
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a2+b2＞c2．（6分）
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．
设CD为y，则有BD2＝a2﹣y2（7分）
根据勾股定理，得（b+y）2+a2﹣y2＝c2．
即a2+b2+2by＝c2．（9分）
∵b＞0，y＞0，
∴2by＞0，
∴a2+b2＜c2．（10分）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)