第17章 勾股定理单元综合测试题（含解析）2024-2025学年人教版数学八年级下册

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第17章 勾股定理单元综合测试题
一．选择题
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15
2．第27届LG杯世界棋王赛决赛将于2023年2月举行，这也是2023年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知AB＝2.5m，AC＝2m，则BC的长为（　　）
A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，分别以AC、BC、AB为直径向AB的同侧作半圆，三个半圆和三角形的边围成了阴影部分的图形．则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C．24 D．25
5．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m．
A． B． C．6 D．
6．平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知b＝8，c＝10，则a的值为（　　）
A．2 B．6 C．5 D．36
8．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，∠A＝30°，则AC边的长为（　　）
A．3 B．27 C． D．
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是（　　）
A．S3+S4＝4（S1+S2） B．S1﹣S2＝S3﹣S4
C．S4﹣S1＝S3﹣S2 D．S4﹣3S1＝S3﹣3S2
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，若AF＝4，，则AC＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
二．填空题
11．一个直角三角形的一条直角边长为9，斜边比另一条直角边长1，该直角三角形的面积为　 　．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，CD⊥AB，则CD长为 　 　．
13．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了 　 　cm．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 　 　cm2．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（0，8），（6，0），C为线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交x轴的负半轴于点D，点D和点D′关于y轴对称，当△CDD′为等腰三角形时，点D的坐标为 　 　．
三．解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知BC，△ABC的面积为3，求AC及CD的长．
17．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．判断△ABC的形状，并说明理由．
18．如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝8km，CB＝6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等．
（1）求E站应建在离A点多少km处？
（2）若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？
19．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连结BD，过点D作BC边上的高DF⊥BC于点F，则DF＝EC＝b﹣a．
∵，
又∵，
∴
∴a2+b2＝c2．
请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
20．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）分别求出AB，BC，AC的长；
（2）求△ABC的面积．
21．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由．
22．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
23．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；
（2）当α＝90°，AB＝AC＝8时，
①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD，求CF的长．
参考答案
1． 选择题
1．解：A、62+82＝102，是直角三角形，此选项不合题意；
B、242+72＝252，是直角三角形，此选项不合题意；
C、22+1.52≠32，不是直角三角形，此选项符合题意；
D、92+122＝152，是直角三角形，此选项不合题意．
选：C．
2．解：黑、白两棋子的距离．
选：D．
3．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：，
选：A．
4．解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10．
∴S阴影π×（）2π×（）2π×（）26×8
π+8ππ+24
＝24．
选：C．
5．解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AB2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x，
∴绳索AC的长是．
选：B．
6．解：∵m﹣n2+4＝0，
∴n2﹣4＝m，
∴3n2﹣9＝3m+3，
∵P（m，3n2﹣9），
∴P点到原点的距离为，
∴点P到原点O的距离的最小值为，
选：D．
7．解：由勾股定理得，a6，
选：B．
8．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴BCAB6＝3，
∴AC3，
选：D．
9．解：如图，连接AC，
根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2，AC2＝AD2+CD2，
∴，
∴S1+S4＝S2+S3，
∴S1﹣S2＝S3﹣S4，
选：B．
10．解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF，
∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，
∵∠ACB＝90°，
∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°，
∴∠BAD+∠ABE＝45°，
∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，
在Rt△EFG中，EF，
∴FG＝EG＝1，
∵AF＝4，
∴AG＝AF﹣FG＝3，
根据勾股定理，得AE，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACF＝45°＝∠AFE，
∵∠CAF＝∠FAE，
∴，
∴AC，
选：D．
1． 填空题
11．解：设斜边长为x+1另一条直角边长为x，
∴x2+92＝（x+1）2，
∴x＝40，
这个直角三角形的面积，
答案为：180．
12．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△ABC的面积BC ACAB CD，
∵BC＝5，AC＝12，AB＝13，
∴5×12＝13×CD，
∴CD．
答案为：．
13．解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
橡皮筋被拉长了2cm．
答案为：2．
14．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝132＝169（cm2），
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和＝AC2+BC2＝169cm2，
答案为：169．
15．解：在Rt△AOB中，AB10，
∵点C在线段AB上，且不与A、B重合，点D与点D'关于y轴对称，
∴CD≠CD'，
∴分两种情况讨论，
设OD＝a，则OD'＝a，DD'＝2a，
①DC＝DD'，
此时CD＝2a，BD＝6+a，
∵∠BAO＝∠CDB，
∴，
∴，
解得a＝4，
∴D（﹣4，0）；
②D'D＝D'C，
此时∠CDD'＝∠D'CD，
∵∠BDC＝90°，
∴90°﹣∠CDD'＝90°﹣∠DCD'，
即∠D'CB＝∠D'BC，
∴D'C＝D'B＝DD'＝2a，
∵OB＝6，
∴D'B＝6﹣a＝2a，
解得a＝2，
∴D（﹣2，0）；
综上，点D的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．
答案为：（﹣4，0）或（﹣2，0）．
三．解答题
16．解：根据题意，知 AC BC＝3，即AC3．
则AC＝2．
利用勾股定理，得AB．
由 AB CD＝3得到：CD＝3．
解得CD．
综上所述，AC＝2，CD．
17．解：△ABC是直角三角形，理由如下：
根据题意得，AB5，BC2，AC，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
18．解：（1）设AE＝x km，则BE＝（14﹣x）km，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2，CE2＝BC2+BE2，
∵C，D两商场到E站的距离相等，
∴DE＝CE，
∴DE2＝CE2，
∴AD2+AE2＝BC2+BE2，
即82+x2＝62+（14﹣x）2，
解得：x＝6，
答：E点应建在离A点6km处；
（2）由（1）可知，AE＝6km，
∴DE10（km），
∴10÷5＝2（h），
答：若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要2小时．
19．证明：连接BD，过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，如图所示：
∴∠F＝90°
∵∠DAB＝90°，∠C＝∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠BAE＝90°，
∵△ABC≌ADE，
∴∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB+∠BAE＝90°，
即∠CAE＝90°，
∴∠C＝∠CAE＝∠F＝90°，
∴四边形ACFB是矩形，
∴AC＝EF＝b，AE＝CF＝b，
∴BF＝b﹣a，
∴S△ADEab，S△ABEb2，S△ABDc2，S△BDEa（b﹣a），
∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE＝S△ABD+S△BDE，
∴b2abc2a（b﹣a），
整理得：a2+b2＝c2．
20．解：（1）由勾股定理得，AB，
BC，
AC；
（2）∵AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积．
21．解：这辆小汽车没有超速．理由如下：
在Rt△ABC中，AB＝90米，AC＝150米，
由勾股定理得（米），
120÷8＝15（米/秒）＝54（千米/时）．
因为54＜70，
所以这辆小汽车没有超速．
22．解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm ），∠B＝90°，
∴PQ（cm）；
（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，
根据题意得：2t＝16﹣t，
解得：t，
即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE，
∴CE，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
23．解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝70°，
∴∠BED＝70°，
∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°，
∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°；
（2）①∵BF＝BA，AB＝AC，
∴BF＝AC，
∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝90°，
∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FBE，
∴△BEF≌△AFC（AAS），
∴EF＝FC，
∴，
∵AB＝AC＝8，
∴CF2+（2CF）2＝64，
解得：（负根舍去）；
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：∠ABE＝∠CAF，
而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF（AAS），
∴，
当D在M的左边时，如图，
同理可得：，，，
∴；
综上：或．
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