(共21张PPT)
3.2.2 课时1 双曲线的简单几何性质
1.掌握双曲线的简单几何性质，能根据性质画出双曲线图象；
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义，并能根据方程写出双曲线的渐近线和离心率；
3.能根据给出的已知条件求出双曲线的方程，并能求出相关性质.
椭圆 双曲线
定 义
方 程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦 点
a, b, c 的关系
F1(－c, 0), F2(c, 0)
a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大
a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大
||MF1|－|MF2||=2a (a|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
F1(0, －c), F2(0, c)
F1(－c, 0), F2(c, 0)
F1(0, －c), F2(0, c)
问题1：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 ① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？
范围、对称性、顶点、离心率
范围、对称性、顶点、离心率
探究1：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线的具体边界（范围）是怎样的？
双曲线上点的横坐标的范围是，或,
纵坐标的范围是
x
y
-a
a
O
追问：你可以从代数角度给予说明吗？
由方程，可知
∴，或.
说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域.
探究2：类比椭圆的对称性，观察双曲线的图像，双曲线有怎样的对称性？
x
y
-a
a
O
双曲线关于轴、轴、原点都对称
追问：如何利用方程说明双曲线的对称性？
设是双曲线
上的任一点，则关于轴的对称点为
结合双曲线方程可知，在椭圆上，
故双曲线关于轴对称，同理可得双曲线关于轴、原点对称
坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
探究3：类比求椭圆顶点的方法，双曲线的顶点是什么？
令，得
与轴有两交点
令，得
与轴无交点，，
顶点：
实轴： 线段，它的长等于叫做双曲线的实半轴长.
虚轴：线段，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长.
探究3：与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，因为，试探究双曲线的离心率与椭圆的离心率的范围有什么不同？
∵∴.
追问：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征
追问：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．离心率越大“张口”越大。
1：求出的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标，并试画出图像。
解：，，所以，
实轴长：；虚轴长：；
顶点：；焦点坐标
仅靠目前性质无法得出较精确的图像
追问：在函数时，我们是如何得到图像的？据此，你有什么启发吗？
，即
当，
当时，的变化趋势与息息相关
探究4：利用信息技术画出双曲线和两条直线.在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？
一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线【即】逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
特别的，在双曲线方程中，实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
问题2：你能知道等轴双曲线有什么性质吗？
方程变为，此时双曲线实轴和虚轴长都等于.
这时，四条直线，围成正方形，
渐近线方程：，互相垂直，且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
方程
图像
范围
对称性 顶点
渐近线
离心率 关于轴、轴、原点对称
，或
2：判断正误.
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.( )
(2)以为渐近线的双曲线有2条.( )
(3)双曲线的离心率(其中).( )
【答案】√，×,×.
3：双曲线的离心率，则_________.
【答案】.
例3：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把双曲线的方程化为标准方程为.
由此可知，实半轴长虚半轴长
焦点坐标是；离心率；渐近线方程为
4：求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解：把原方程化为标准方程为，
由此可知，实半轴长虚半轴长
两个焦点坐标为，离心率.
顶点坐标为，.
所以渐近线的方程为
5：求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)焦点在轴上，离心率为，且过点.
解：(1)设双曲线方程为，
则，
从而，，代入，得，
故双曲线的标准方程为.
5：求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)焦点在轴上，离心率为，且过点.
解：(2)由两顶点间的距离是得，即.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得，即，
于是有.
由于焦点所在的坐标轴不确定，
故所求双曲线的标准方程为或.
5：求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(3)焦点在轴上，离心率为，且过点.
解：(3)[法一]∵，∴，.又焦点在轴上，
故可设双曲线的标准方程为.
把点的坐标代入方程得，解得.
故所求双曲线的标准方程为.
[法二]由离心率知所求双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为，把点的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为.
方程
图像
范围
对称性 顶点
渐近线
离心率 关于轴、轴、原点对称
，或(共20张PPT)
3.2.2 课时2 双曲线的综合应用
1.掌握双曲线的简单几何性质并进行简单应用.
2.掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程.
3.会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题.
方程
图像
范围
对称性 顶点
渐近线
离心率 关于轴、轴、原点对称
，或
例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图1).它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到).
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，.
设双曲线的方程为，
点的坐标为，则点的坐标为.
解：因为直径是实轴，所以.又两点都在双曲线上，所以由方程，得(负值舍去).
代入方程，得.
化简得，. ③
解方程③，得(负值舍去).
因此所求双曲线的方程为.
例5：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.
解：设是点到直线的距离，根据题意，
动点的轨迹就是点的集合
由此得.将上式两边平方，并化简，得，
即.
所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为的双曲线.
例6：动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.（课本113页）
解：设是点到直线的距离，根据题意，
动点的轨迹就是点的集合
由此得.将上式两边平方，并化简，得，
即.
所以，点的轨迹是焦点在x轴上，长轴10、短轴长为的椭圆.
问题1：将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？
其中，叫做椭圆（双曲线）的准线
动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，
若即，则点M轨迹表示焦点在x轴上的椭圆；
若即，则点M轨迹表示焦点在x轴上的双曲线.
问题2：类比椭圆与直线的位置关系，如何判断直线与双曲线的位置关系？
x
O
y
联立，其判别式
① ，即， 直线与双曲线相交于一点
② ，即，
Δ＞0
直线和双曲线相交,有两个交点
Δ＝0
直线和双曲线相切,有一个公共点
Δ＜0
直线和双曲线相离,无公共点
的取值 位置关系 交点个数
且 ＞0
且 =0
且 ＜0
相离
相切
相交
没有公共点
只有一个切点
有两个交点
只有一个交点
直线与双曲线位置关系
解：双曲线的焦点分别为 .因为直线的倾斜角是，且过右焦点，
所以直线的方程为.由消去，得
解方程，得.
将，的值分别代入，得.
于是，两点的坐标分别为，.
所以
例6：如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求.
1：已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点.
(1)求直线的方程；(2)求弦的长.
解： ( 1 )（法一）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立双曲线方程，得.
设，，则，解得.
所以直线的方程为，即.
1：已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点.
(1)求直线的方程；(2)求弦的长.
解： ( 2 ) （法二）由题意知直线的斜率存在，设
代入双曲线方程，得，，两式相减得
，即
所以直线的斜率
所以直线的方程为，即.
1：已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点.
(1)求直线的方程；(2)求弦的长.
(2)将代入，得.
由弦长公式，
得，
所以.
求弦长一般方法：
法一：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长.
法二：弦的两端点坐标不易求时，为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理：
若直线与双曲线交于，，则弦长
或.
方法归纳
2：已知双曲线，求过且被点平分的弦所在直线的方程.
解：（法一）由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为，
即，由消去，
整理得.
设，，∴即，解得
当时，满足，符合题意.
∴所求直线的方程为，即
2：已知双曲线，求过且被点平分的弦所在直线的方程.
解：（法二）设∵均在双曲线上，
∴两式相减，得
∴.∵点平分弦，∴
∴
经验证，该直线存在.
∴所求直线的方程为，即
3：已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求|AB|.
解：（1）设C的方程为,即
因为椭圆的焦点坐标为(±5，0)，
依题意9λ+16λ=25，解得λ=1，
所以C的标准方程为：
3：已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求|AB|.
解：（2）由方程为：得C的右顶点为(3,0)，设A(3,0)，B(x0,y0)，
又直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2(x-3)，
由得16x2-9×4(x-3)2=16×9，
整理得5x2-54x+117=0，解得，
故
1.直线与双曲线位置关系
2.求弦长一般方法：
