数学·八年级下册
5.如图，正方形ABCD的四个顶点均在坐标轴上.已知点A
三、解答题
(-2,0)、E(-3,0),点P是正方形ABCD边上的一个动
10.如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C
提
专项训练（三）
点，在正方形ABCD外作等腰直角△PEF,若点P从点A
的对应点F,AD与BF交于点E
特殊平行四边形的折叠问题和动态问题
出发，以每秒√2个单位长度沿A→D→C→B→A方向运
(1)求证：△BDE是等腰三角形；
动，则第2028秒时，点F的坐标为
()
(2)若∠ABE=30°，AD=3,求DE的长，
一、选择题
1.如图，在菱形纸片ABCD中，∠C=45°，点M,N分别在边
AD,AB上，将纸片沿着直线MN折叠，使点A的对应点A'
与点B重合，若AM=3√2，则DM的长为
A.6-32B.2√2
C.2
D.1
A.(-4,4)B.(5,-3)C.(-3,5)
D.(-4,2）
二、填空题
6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(16,0)，点C
的坐标为(0,8)，以OA,OC为边作矩形OABC.动点E,F
B(A')
分别从点O,B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿
第1题图
第2题图
OA,BC向终点A、C移动，当移动时间为3秒时，AC·EF
2.如图，先将正方形ABCD沿MN对折，再把点B折叠到
的值为
MN上，折痕为AE,点B在MN上的对称点为H,沿AH和
DH剪下△ADH,则下列选项正确的是
(
)
11.如图，已知正方形纸片ABCD的边长为9，BE=3,将
A.AH=DH=AD
B.AH=DH≠AD
△ABE沿AE对折至△AGE,延长EG交CD于点F,连接
C.AH=AD≠DH
D.DH=AD≠AH
AF,且AF平分∠DAG
3.如图，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,点P为边BC上一动点
(1)证明：△AGF≌△ADF:
第6题图
第7题图
(点P不与点B,C重合)，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点
(2)求线段EF的长
7.如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E
F,则EF的最小值为
(
点处，若∠B=68°，则∠EDC的大小为
A.4
B.4.8
C.5.2
D.6
8.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕
点A顺时针旋转90到△ABF的位置.若四边形AECF的
面积为49，AE=8,则DE的长为
第3题图
第4题图
4.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=6,点P是边BC上
的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形
第8题图
第9题图
边的交点分别为E、F,要使折痕始终与边AB、AD有交
点，则BP的取值范围是
()
9.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=3√3，点E,F分别是对
A.0≤BP≤4
B.25-3≤BP≤6
角线AC和边CD上的动点，且AE=CF,则BE+BF的最
21
C.4≤BP≤6
D.6-2W5≤BP≤4
小值是.∠CDE=∠DEA=90°，CD=AB=AE+EB=3+5=8,
21.解：(1)24：
(2)解：在R△ABE中，∠ABE=30,AE=2BE,AE=
.∠EFB=90°，∠FEB=30°，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：CE=√DE2+CD
(2):菱形ABCD,AC=6,DB=8,AC⊥BD,0B=2BD
∴.BE=2BF,即8=2(6-2a)
√42+82=45.
2DE.:AD=AE+DE=2DE+DE=3.DE=2.
解得：a=1:
16.解：由题意，设∠BAC=2x(x>0),则∠ACE=7x,:四边形
4,0C=2AC=3,BC=√3+4=5，AE1BC,菱形
11.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD=9,∠D
②当点Q运动到点F,且点F在
ABCD是菱形，.AB=BC,∠BCA=∠BAC=2x,又
=∠B=∠BCD=90°，
BC上时，则BF=(2a-6)cm,
,∠BCA+∠ACE=180°，，2x+7x=180°，解得x=20°
ABCD的面积=BC,AE=24AE=头：
将△ABE沿AE对折至△AGE
:△BEF为直角三角形，
.∠BCA=∠BAC=40°，.∠B=180°-∠BCA-∠BAC
(3)如图，过D作DF⊥BC交
.AB=AG,BE=GE,∠B=∠AGE=90°，
则∠EFB=90°，如图2，
=100°.
BC的延长线于点F.AE⊥
.AD=AG,∠D=∠AGF=90
∠EBF=60..∠FEB=30°
17.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，0A=2AC,0B=
BC,DF⊥BC,AE∥DF,AD
又AF=AF,
.BE=2BF,即8=2(2a-6),解得：a=5
∥BC,∴.四边形AEFD为矩形
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
③若∠FEB=90°，如图3，此时
2BD,ACBD=2:3,0M:0B=2:3,设01=2,0B=
四边形AEFD的面积=AD
「AF=AF
∠FED=90°，.∠EDF=60
.∠DFE=30°，∴.DF=2DE=
3x,AC1AB,AB=2,(2x)2+2=(3x)2,解得x=25
AB=BC·AB=5x24=24
{AD=AGR△AGF≌R△ADF(HL).
(2)解：由(1)可知，Rt△AGF≌Rt△ADF,BE=GE=3,
8cm,.CF=12-8=4(cm),
0A=45AC=85
22.解：(1)140：80°
∴.DF=GF,CE=BC-BE=6,
a=(6+12+4)÷2=11,综
(2)等对角四边形ABCD如图所示：
设DF=GF=x,则CF=9-x,EF=x+3.
上可知，若△BEF为直角三角形，a的值为1或5或11.
(2:5aw=5a=BAC=x2×8585
.在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2,即62+(9-x)2=(3+
14.解：(1)四边形AEFD能够成为菱形.理由如下：
:Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，
amw=×854线5
5
到解得=号P=3+号-空
∠C=90-∠A=30
12.解：(1)tcm:(24-t)cm:(26-3t)cm:3tcm:
在Rt△CDF中，∠C=30°，CD=4tcm,AD=(60-4t)cm,
18.解：(1)四边形ABCD是矩形，AC=BD,0B=BD,
(2)当PD=CQ时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行
图1
DF=7CD=AE=26 cm,
OC-0A-2AC...OB -OC 0A,OE L BC.AB L BC.
四边形，24-1=31，解得t=6.
3)如图3，作DH1AB于点H.
DF∥AB,DF=AE,
6s时，以点P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形.
OE∥AB,.OE是△ABC的中位线，∴OE=7AB=1:
.四边形AEFD是平行四边形，
(3)当AP=BQ时，以点A,B,Q,P为顶点的四边形是矩形
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
(2)由(1)得OB=OA,又AB=B0,.AB=B0=OA,
1=26-3,解得1=号号、时，四边形P0BA是矩形
即60-4t=2t,解得t=10,
·△AB0是等边三角形，.OB=AB=2,在R△OBE中，
13.解：(1)四边形ABCD是菱形，AD=AB=12cm,
即当【=10时，四边形AEFD是菱形：
0E=l,BE=V2-T=5,△A0E的面积=2BE×
∠A=60°，，△ABD是等边三角形，.BD=AB=12cm:
(2)四边形BEDF不能为正方形.理由如下
图3
(2)△AMW是直角三角形，理由
D(M)
当∠EDF=90时，DE∥BC,
如下：由题意可知，运动12秒时
19.解：(1)四边形ABCD是菱形，AB=√2，AD=√2，
在R△ADH中，∠A=60°，∠ADH=30,AH=2AD
∠A0E=∠C=30AD=2MB+4=60=
动点P运动的路程为2×12
∠AB0=45°，∠A0B=90°，.∠BA0=45=∠AB0,
=3,DH=EF=35,:点E为AB的中点，AE=2AB
时，∠EDF=90°，此时DF=15cm,DE=153em,但DF
24(cm),动点Q运动的路程为
.A0=B0,.A0+B02=AB2=2,.0A=0B=1,.B(-1,
DE,,四边形BEDF不可能为正方形
=6,.DF=HE=6-3=3,当∠ADP=∠AEP=90时（如
2.5×12=30(cm),,动点P到达点D,动点Q到达AB中
0),D(2,1)
15.(1)证明：四边形ABCD是正方形，
图3)，∠DPE=120°，∠DPF=60°，.FP=x=5,当
点，即点N是AB中点，△ABD是等边三角形，点N是AB
(2)四边形ABCD是菱形，AB=2,OB=1,BC=√2，
.∠DAB=90°，∠DAC=45°
中点，.MN LAB,.△AMN是直角三角形：
∠APE=∠ADE时（如图4），.：AD=AE=6,∠A=60°
·OE⊥OF,OE⊥AD,
0C=√2-1，由折叠可知，0B=0B=1,.CB=0B'-0C
,△ADE为等边三角形，，∠APE=∠ADE=60°，在
(3):△ABD是等边三角形，.∠ABD=60°，由题意可知，
.∠DAB=∠OEA=∠EOF=90°
=1-(2-1)=2-2.
动点P的速度为2cm/s,动点Q的速度为acm/s,.2秒
Rt△AEP中EP=23,.x=EP+EF=2√3+3B=55.
.四边形AEOF是矩形，
20.解：(1)如图，连接DE,交AC于点P,连接BP,当点P在
后，动点P运动的路程为4cm,动点Q运动的路程为
综上所述x=√5或5√3.
:∠DAC=45°，.OE=AE,.四边形AE0F是正方形：
点P处时，△BPE的周长最小.
2acm,点P从点M沿原路返回，.DE=4cm,BE=三
(2)由作图得：BP=DP,,P'B+PE
专项训练（三）特殊平行四边形的折叠问题和动态问题
(2)解：①0E=0F,
12-4=8(cm),
DE..BE =2,AE =3BE,..AE =6.
1.A2.A3.B4.D5.C6.160
证明：四边形ABCD是正方形，
①如图1，当点Q运动到点F,
D(M
·.OA=0B,∠EA0=∠FB0=459
.AD=AB=8..DE=62+82=10
7.12°8.√159.37
且点F在BN上时，则NF=
∠E0F=∠AOB=90°，
PB+PE的最小值是10..△BPE
10.(1)证明：根据折叠的性质可知∠DBE=∠CBD,·AD八
2acm,∴.BF=(6-2a)cm,
.∠EOA=∠FOB,.△AEO≌△BFO(ASA),.OE=OF:
长的最小值为10+BE=10+
BC,∴.∠BDE=∠CBD,∴.∠DBE=∠BDE,.BE=DE
:△BEF为直角三角形，∠EBF
.△BDE是等腰三角形：
=60°，∠FEB不能为90°，
@
