从实际问题到方程
【A层 基础夯实】
知识点1 列方程
1.一块长方形土地的周长为18米,长是宽的2倍多3米,设宽为x米,下列方程正确的是(D)
A.x+(3+x)=18 B.2x+(3+x)=18
C.2(2x+3)+x=18 D.2(2x+3+x)=18
2.《九章算术》中记载了一个问题,大意是:有几个人一起去买一件物品,每人出8钱,多3钱;每人出7钱,少4钱,问人数是多少 若设人数为x,则下列方程正确的是(B)
A.8x+3=7x-4 B.8x-3=7x+4
C.8(x-3)=7(x+4) D.8x+4=7x-3
3.“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可用等式表示为 3a+5=4a .
4.用方程表示下列语句所表述的相等关系:
(1)七年级学生人数为n,其中男生占45%,女生有110人;
(2)一种商品每件的进价为a元,售价为进价的1.1倍,现每件又降价10元,现售价为每件210元.
【解析】(1)根据题意,
45%n=n-110.
(2)根据题意,
1.1a-10=210.
知识点2 方程的概念及方程的解
5.下面说法正确的是(D)
A.方程5x+5=5的解是5
B.5x+5<5是方程
C.等式一定是方程
D.方程一定是等式
6.若关于x的方程x+3a=3-2x的解为x=2,则a= -1 .
7.下列各式哪些是方程
①3x-2=7; ②4+8=12; ③3x-6;
④2y=5-3y;⑤3x=2x+1;⑥x+2≠3;
⑦(x+1)=1;⑧=.
【解析】②虽是等式,但不含未知数;③不是等式;⑥表示不等关系,故②③⑥均不符合方程的概念.①④⑤⑦⑧符合方程的定义,所以方程有①④⑤⑦⑧.
【B层 能力进阶】
8.(2024·衢州模拟)下列方程中,解为x=3的是(D)
A.x+y=3 B.3x=12
C.2x-2=3x D.x=
9.(2024·广西中考)《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱.三年共得100钱.问:出租的田有多少亩 设出租的田有x亩,可列方程为(B)
A.++=1 B.++=100
C.3x+4x+5x=1 D.3x+4x+5x=100
10.方程2+▲=3x,▲处被墨水盖住了,已知方程的解是x=2,那么▲处的数字是
4 .
11.整式ax+b的值随着x的取值的变化而变化,如表所示当x取不同的值时对应的整式的值:
x -1 0 1 2 3
ax+b -8 -4 0 4 8
则关于x的方程ax+b=8的解是 x=3 .
12.如图,在编写数学谜题时,“ ”内要求填写同一个数字,若设“ ”内的数字为y,则可列出方程 5(120+y)=100y+30 .
13.(2024·上海模拟)观察下列一系列方程,完成后面的问题:
第1个方程是x+=3,解为x=2;
第2个方程是+=5,解为x=6;
第3个方程是+=7,解为x=12;……,
以上方程及其解很有规律,请写出第n个方程及其解 +=2n+1,解为x=n(n+1) .
14.若x=1是关于x的方程-2mx+n=1的解,求2 023+n-2m的值.
【解析】因为x=1是关于x的方程-2mx+n=1的解,
所以-2m+n=1,
所以2 023+n-2m=2 023+1=2 024.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力、应用意识)阅读理解:我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即|x|=|x-0|,也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;这个结论可以推广为|x-y|表示在数轴上数x,y对应点之间的距离.在解题中,我们常常运用绝对值的几何意义.
①解方程|x|=2,容易看出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的解为x=±2.
②在方程|x-1|=2中,x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数,所以该方程的解是x=3或x=-1.
知识运用:根据上面的阅读材料,求:
(1)方程|x|=5的解;
【解析】(1)方程|x|=5中,x的值就是数轴上到原点的距离为5的点对应的数为±5,即该方程的解为x=±5,
即方程|x|=5的解是x=5或-5;
(2)方程|x-2|=3的解.
【解析】(2)方程|x-2|=3中x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数,
所以|x-2|=3的解为x=5或-1. 从实际问题到方程
【A层 基础夯实】
知识点1 列方程
1.一块长方形土地的周长为18米,长是宽的2倍多3米,设宽为x米,下列方程正确的是( )
A.x+(3+x)=18 B.2x+(3+x)=18
C.2(2x+3)+x=18 D.2(2x+3+x)=18
2.《九章算术》中记载了一个问题,大意是:有几个人一起去买一件物品,每人出8钱,多3钱;每人出7钱,少4钱,问人数是多少 若设人数为x,则下列方程正确的是( )
A.8x+3=7x-4 B.8x-3=7x+4
C.8(x-3)=7(x+4) D.8x+4=7x-3
3.“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可用等式表示为 .
4.用方程表示下列语句所表述的相等关系:
(1)七年级学生人数为n,其中男生占45%,女生有110人;
(2)一种商品每件的进价为a元,售价为进价的1.1倍,现每件又降价10元,现售价为每件210元.
知识点2 方程的概念及方程的解
5.下面说法正确的是( )
A.方程5x+5=5的解是5
B.5x+5<5是方程
C.等式一定是方程
D.方程一定是等式
6.若关于x的方程x+3a=3-2x的解为x=2,则a= .
7.下列各式哪些是方程
①3x-2=7; ②4+8=12; ③3x-6;
④2y=5-3y;⑤3x=2x+1;⑥x+2≠3;
⑦(x+1)=1;⑧=.
【B层 能力进阶】
8.(2024·衢州模拟)下列方程中,解为x=3的是( )
A.x+y=3 B.3x=12
C.2x-2=3x D.x=
9.(2024·广西中考)《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱.三年共得100钱.问:出租的田有多少亩 设出租的田有x亩,可列方程为( )
A.++=1 B.++=100
C.3x+4x+5x=1 D.3x+4x+5x=100
10.方程2+▲=3x,▲处被墨水盖住了,已知方程的解是x=2,那么▲处的数字是
.
11.整式ax+b的值随着x的取值的变化而变化,如表所示当x取不同的值时对应的整式的值:
x -1 0 1 2 3
ax+b -8 -4 0 4 8
则关于x的方程ax+b=8的解是 .
12.如图,在编写数学谜题时,“ ”内要求填写同一个数字,若设“ ”内的数字为y,则可列出方程 .
13.(2024·上海模拟)观察下列一系列方程,完成后面的问题:
第1个方程是x+=3,解为x=2;
第2个方程是+=5,解为x=6;
第3个方程是+=7,解为x=12;……,
以上方程及其解很有规律,请写出第n个方程及其解 .
14.若x=1是关于x的方程-2mx+n=1的解,求2 023+n-2m的值.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力、应用意识)阅读理解:我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即|x|=|x-0|,也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;这个结论可以推广为|x-y|表示在数轴上数x,y对应点之间的距离.在解题中,我们常常运用绝对值的几何意义.
①解方程|x|=2,容易看出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的解为x=±2.
②在方程|x-1|=2中,x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数,所以该方程的解是x=3或x=-1.
知识运用:根据上面的阅读材料,求:
(1)方程|x|=5的解;
(2)方程|x-2|=3的解.
