等式的性质与方程的简单变形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等式的基本性质
1.(2024·宁波模拟)把方程-y=8变形为y=-6,是在方程两边都( )
A.乘- B.乘-
C.除以 D.除以-
2.下列变形中,不正确的是( )
A.若a+1=b+1,则a=b
B.若ac2=bc2,则a=b
C.若3a=3b,则a-3=b-3
D.若=,则a=b
3.如果a=b,那么=成立时c应满足的条件是 .
4.(2024·临沂模拟)利用等式的性质求未知数x的值:-x+6=9.
知识点2 利用等式的性质变形
5.下列等式的变形正确的是( )
A.由7+m=2得m=2+7
B.由7x=-2得x=-
C.由2(n+5)=-3得2n+5=-3
D.由3a=9b得a=3b
6.若x=y,根据等式的性质,下列变形正确的是( )
A.x=-y B.-=-
C.=1 D.x-3=y+3
7.(2024·北京模拟)若3m=2n(n≠0),则的值为 .
8.阅读理解题:
下面是小明将等式x-4=3x-4进行变形的过程:
x-4+4=3x-4+4,①
x=3x,②
1=3.③
(1)小明①的依据是 .
(2)小明出错的步骤是 ,错误的原因是 .
(3)给出正确的解法.
【B层 能力进阶】
9.(2024·衢州模拟)下列利用等式的性质变形正确的是( )
A.如果ma=mb,那么a=b
B.如果a-x=b-x,那么a-b=0
C.如果=6,那么a=3
D.如果a+b-c=0,那么a=b-c
10.如图,从一个平衡的天平两边分别拿走一个砝码,天平仍平衡,下面与这一事实相符的是( )
A.如果a=b,那么a+c=b+d
B.如果a=b,那么ac=bc
C.如果a=b,那么a-c=b-c
D.如果a=b,那么=(c≠0)
11.下列各种变形中,正确的是( )
A.从3+2x=2可得到2x=-3
B.从6x=2x-1可得到6x-2x=-1
C.从21%+50%(60-x)=60×42%可得到21+50(60-x)=60×42%
D.从-1=可得到3x-1=2(x-2)
12.(2024·郴州模拟)在等式0.3x=45两边都 ,可得到等式x=150.
13.假设“、、”分别表示三种不同的物体.如图,前两架天平保持平衡,如果要使第三架天平也保持平衡,那么“ ”处应放“”的个数是 .
14.利用等式的性质求未知数x的值:
(1)x-4=7;
(2)0.5x=15;
(3)5x-10=0;
(4)3x+1=4.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(抽象能力、运算能力、应用意识)有4张相同的长方形纸片,各边长如图1所示(a>b),将它们拼成较大的长方形,共有如图2的三种不同的方式.
(1)用含a,b的式子表示:
方式一拼成的大长方形的周长C1: ;
方式二拼成的大长方形的周长C2: ;
方式三拼成的大长方形的周长C3: .
(2)试说明方式一拼成的大长方形的周长最大.
(3)如果这三种方式拼成的大长方形中有两个大长方形的周长相等,请求出a和b之间的数量关系. 等式的性质与方程的简单变形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 移项
1.(2024·武汉模拟)将方程3x+6=2x-8移项后,正确的是(D)
A.3x+2x=6-8 B.3x-2x=-8+6
C.3x-2x=8-6 D.3x-2x=-8-6
2.下列移项正确的是(C)
A.从12-2x=-6,得到12-6=2x
B.从-8x+4=-5x-2,得到8x+5x=-4-2
C.从5x+3=4x+2,得到5x-2=4x-3
D.从-3x-4=2x-8,得到8-4=2x-3x
3.51-x=45+x移项1得 -x-x=45-51 .
4.将下列方程完成移项:
(1)3x+6=31-2x;
【解析】(1)3x+6=31-2x,
移项得,3x+2x=31-6.
(2)x+4=x+3.
【解析】(2)x+4=x+3,
移项得:x-x=-4+3.
知识点2 移项法解方程
5.2x-4=0的解是(A)
A.x=2 B.x=-2
C.x= D.x=-
6.若不为零的数x满足2x+ax=-x,则a的值为(D)
A.1 B.3 C.-1 D.-3
7.若方程3x+5k=1的解是x=-3,那么k= 2 .
8.解方程:
(1)3x-1=2x;
【解析】(1)移项得3x-2x=1,
合并同类项得x=1;
(2)2-x=x-3.
【解析】(2)移项得-x-x=-3-2,
合并同类项得-x=-5,
系数化为1得x=.
【B层 能力进阶】
9.(2024·衢州模拟)小明在做题时不小心用墨水把方程污染了,污染后的方程:x-3=x+,答案显示此方程的解是x=-8,被墨水遮盖的是一个常数,则这个常数是(A)
A.1 B.-1 C.-2 D.2
10.如图,两条直线相交形成四个角.为了说明图中的∠2=∠4,晓晓的理由是:因为:∠1+∠2=180°,∠1+∠4=180°(平角等于180°),所以:∠1+∠2=∠1+∠4,也就得出:∠2=∠4.这里运用了(B)
A.加法交换律 B.等式的性质
C.减法的性质 D.无法确定
11.已知x=-3是关于x的方程2x+k-4=0的解,则k的值为(D)
A.-2 B.2 C.-10 D.10
12.(2024·重庆模拟)当a= 2 时,方程ax+1=x+2a的解是x=3.
13.某动物园利用杠杆原理G1·L1=G2·L2称象:如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A,B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k(N).设大象的重量为x(N),若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的10倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为 (N)(用含k的代数式表示).
14.(2024·上海模拟)定义新运算“ ”,规定a b=a+3b,若3x (-1)=6 4,则
x= 12 .
15.已知x★y=2x+3y+1,如1★2=2×1+3×2+1=9.若a★5=16,求a的值.
【解析】因为a★5=16,
所以2a+3×5+1=16,
所以a=0.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、运算能力、应用意识)阅读下列材料:
我们规定:若关于x的方程ax=b的解为x=b+a,则称该方程为“和解方程”.例如:方程2x=-4的解为x=-2,而-2=-4+2,则方程2x=-4为“和解方程”.请根据上述规定,解答下列问题:
(1)下列关于x的方程是“和解方程”的有 .(填序号)
①2x=-5;②5x=-2;③3x=-.
答案:③
【解析】(1)①解方程2x=-5得x=-,
因为-≠2-5=-3,
所以方程2x=-5不是“和解方程”;
②解方程5x=-2得x=-,
因为-≠5-2=3,
所以方程5x=-2不是“和解方程”;
③解方程3x=-得x=-,
因为-=3-,
所以方程3x=-是“和解方程”;
(2)若关于x的方程3x=6a-9是“和解方程”,求a的值.
【解析】(2)解方程3x=6a-9得x=2a-3,
因为关于x的方程3x=6a-9是“和解方程”,
所以x=3+6a-9=6a-6,
所以2a-3=6a-6,
解得a=. 等式的性质与方程的简单变形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等式的基本性质
1.(2024·宁波模拟)把方程-y=8变形为y=-6,是在方程两边都(B)
A.乘- B.乘-
C.除以 D.除以-
2.下列变形中,不正确的是(B)
A.若a+1=b+1,则a=b
B.若ac2=bc2,则a=b
C.若3a=3b,则a-3=b-3
D.若=,则a=b
3.如果a=b,那么=成立时c应满足的条件是 c≠1 .
4.(2024·临沂模拟)利用等式的性质求未知数x的值:-x+6=9.
【解析】等式两边同时减6得,-x+6-6=9-6,
即-x=3,
等式两边同时乘以-4得,-x×(-4)=3×(-4),
即x=-12.
知识点2 利用等式的性质变形
5.下列等式的变形正确的是(D)
A.由7+m=2得m=2+7
B.由7x=-2得x=-
C.由2(n+5)=-3得2n+5=-3
D.由3a=9b得a=3b
6.若x=y,根据等式的性质,下列变形正确的是(B)
A.x=-y B.-=-
C.=1 D.x-3=y+3
7.(2024·北京模拟)若3m=2n(n≠0),则的值为 .
8.阅读理解题:
下面是小明将等式x-4=3x-4进行变形的过程:
x-4+4=3x-4+4,①
x=3x,②
1=3.③
(1)小明①的依据是 .
答案:(1)等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式
【解析】(1)小明①的依据是等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;
(2)小明出错的步骤是 ,错误的原因是 .
答案: (2)③ 等式两边都除以同一个数,没有考虑x=0的情况
【解析】(2)小明出错的步骤是③,错误的原因是等式两边都除以同一个数,没有考虑x=0的情况;
(3)给出正确的解法.
【解析】(3)x-4=3x-4,x-4+4=3x-4+4,
x=3x,x-3x=3x-3x,
-2x=0,x=0.
【B层 能力进阶】
9.(2024·衢州模拟)下列利用等式的性质变形正确的是(B)
A.如果ma=mb,那么a=b
B.如果a-x=b-x,那么a-b=0
C.如果=6,那么a=3
D.如果a+b-c=0,那么a=b-c
10.如图,从一个平衡的天平两边分别拿走一个砝码,天平仍平衡,下面与这一事实相符的是(C)
A.如果a=b,那么a+c=b+d
B.如果a=b,那么ac=bc
C.如果a=b,那么a-c=b-c
D.如果a=b,那么=(c≠0)
11.下列各种变形中,正确的是(B)
A.从3+2x=2可得到2x=-3
B.从6x=2x-1可得到6x-2x=-1
C.从21%+50%(60-x)=60×42%可得到21+50(60-x)=60×42%
D.从-1=可得到3x-1=2(x-2)
12.(2024·郴州模拟)在等式0.3x=45两边都 乘 ,可得到等式x=150.
13.假设“、、”分别表示三种不同的物体.如图,前两架天平保持平衡,如果要使第三架天平也保持平衡,那么“ ”处应放“”的个数是 4 .
14.利用等式的性质求未知数x的值:
(1)x-4=7;
【解析】(1)x-4=7,
两边同时加上4,得x=11;
(2)0.5x=15;
【解析】(2)0.5x=15,
两边同时除以0.5,得x=30;
(3)5x-10=0;
【解析】(3)5x-10=0,
方程两边同时加上10,得5x=10,
两边同时除以5,得x=2;
(4)3x+1=4.
【解析】(4)3x+1=4,
两边同时减去1,得3x=3,
两边同时除以3,得x=1.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(抽象能力、运算能力、应用意识)有4张相同的长方形纸片,各边长如图1所示(a>b),将它们拼成较大的长方形,共有如图2的三种不同的方式.
(1)用含a,b的式子表示:
方式一拼成的大长方形的周长C1: ;
方式二拼成的大长方形的周长C2: ;
方式三拼成的大长方形的周长C3: .
答案:8a+2b 2a+8b 4a+4b
【解析】(1)方式一拼成的大长方形的周长C1:2(4a+b)=8a+2b;
方式二拼成的大长方形的周长C2:2(4b+a)=8b+2a;
方式三拼成的大长方形的周长C3:2(2a+2b)=4a+4b
(2)试说明方式一拼成的大长方形的周长最大.
【解析】(2)C1-C2=(8a+2b)-(2a+8b)=6a-6b=6(a-b)>0,
C1-C3=(8a+2b)-(4a+4b)=4a-2b=2a+2(a-b)>0,
所以C1>C2,C1>C3,即C1最大.
(3)如果这三种方式拼成的大长方形中有两个大长方形的周长相等,请求出a和b之间的数量关系.
【解析】(3)由(2),得C2=C3,即2a+8b=4a+4b,所以a=2b. 等式的性质与方程的简单变形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 移项
1.(2024·武汉模拟)将方程3x+6=2x-8移项后,正确的是( )
A.3x+2x=6-8 B.3x-2x=-8+6
C.3x-2x=8-6 D.3x-2x=-8-6
2.下列移项正确的是( )
A.从12-2x=-6,得到12-6=2x
B.从-8x+4=-5x-2,得到8x+5x=-4-2
C.从5x+3=4x+2,得到5x-2=4x-3
D.从-3x-4=2x-8,得到8-4=2x-3x
3.51-x=45+x移项1得 .
4.将下列方程完成移项:
(1)3x+6=31-2x;
(2)x+4=x+3.
知识点2 移项法解方程
5.2x-4=0的解是( )
A.x=2 B.x=-2
C.x= D.x=-
6.若不为零的数x满足2x+ax=-x,则a的值为( )
A.1 B.3 C.-1 D.-3
7.若方程3x+5k=1的解是x=-3,那么k= .
8.解方程:
(1)3x-1=2x;
(2)2-x=x-3.
【B层 能力进阶】
9.(2024·衢州模拟)小明在做题时不小心用墨水把方程污染了,污染后的方程:x-3=x+,答案显示此方程的解是x=-8,被墨水遮盖的是一个常数,则这个常数是( )
A.1 B.-1 C.-2 D.2
10.如图,两条直线相交形成四个角.为了说明图中的∠2=∠4,晓晓的理由是:因为:∠1+∠2=180°,∠1+∠4=180°(平角等于180°),所以:∠1+∠2=∠1+∠4,也就得出:∠2=∠4.这里运用了( )
A.加法交换律 B.等式的性质
C.减法的性质 D.无法确定
11.已知x=-3是关于x的方程2x+k-4=0的解,则k的值为( )
A.-2 B.2 C.-10 D.10
12.(2024·重庆模拟)当a= 时,方程ax+1=x+2a的解是x=3.
13.某动物园利用杠杆原理G1·L1=G2·L2称象:如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A,B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k(N).设大象的重量为x(N),若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的10倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为 (N)(用含k的代数式表示).
14.(2024·上海模拟)定义新运算“ ”,规定a b=a+3b,若3x (-1)=6 4,则
x= .
15.已知x★y=2x+3y+1,如1★2=2×1+3×2+1=9.若a★5=16,求a的值.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、运算能力、应用意识)阅读下列材料:
我们规定:若关于x的方程ax=b的解为x=b+a,则称该方程为“和解方程”.例如:方程2x=-4的解为x=-2,而-2=-4+2,则方程2x=-4为“和解方程”.请根据上述规定,解答下列问题:
(1)下列关于x的方程是“和解方程”的有 .(填序号)
①2x=-5;②5x=-2;③3x=-.
(2)若关于x的方程3x=6a-9是“和解方程”,求a的值.
