实践与探索(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等周长(体积)变化问题
1.若长方形的长是宽的2倍,周长是36厘米,则长方形的长是 厘米.
2.(2024·重庆模拟)利用两块相同的长方体木块(阴影部分)测量一件长方体物品的高,首先按图1所示的方式放置,再按图2所示的方式放置,测量的数据如图所示,则长方体物品的高是 mm.
3.如图甲圆柱体容器是空的,乙长方体容器中水深6.28厘米,要将容器乙中的水全部倒入甲容器,这时水深约为 厘米.(π≈3.14)
4.王老师购买了一套经济适用房,他准备将地面铺上地砖,地面结构如图所示.根据图中的数据(单位:m),解答下列问题:
(1)用含x的代数式表示地面总面积;
(2)已知客厅面积比厨房面积多12 m2,若铺1 m2地砖的平均费用为100元,那么铺地砖的总费用为多少元
知识点2 双重等量问题
5.已知物体自由下落的距离可以表示为S=v底t,v底表示物体下落的末速度,t表示物体下落的时间,声音传播的速度为340米/秒.若将一块石头从井口自由落下,7秒后听到它落水的声音,测得v底=60米/秒,设石头下落的时间为x秒,则可列得方程( )
A.30x=340×7 B.30x=340(7-x)
C.30(7-x)=340x D.30(7+x)=340×7
6.学校规定学生早晨7时到校,小明若以每分钟60 m的速度步行,提前2 min到校,若以每分钟50 m的速度步行,要迟到2 min,则小明的家到学校有 m.
7.一艘船从甲港到乙港,逆水每小时行24千米,到乙港后又顺水返回甲港.已知顺水航行比逆水航行少用5小时,水流速度为每小时3千米,甲、乙两港相距 千米.
8.某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人,如果每位老人送3袋,那么剩余12袋;如果每位老人送4袋,那么还差24袋,敬老院一共有多少位老人
【B层 能力进阶】
9.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的周长是32 cm,则小长方形的面积是( )
A.8cm2 B.10cm2
C.12cm2 D.16cm2
10.小红到水果批发市场购买石榴,店里标注石榴每千克20元,她与老板经过议价,老板同意在购买很多的情况下,按原价打九折卖给小红.称完质量后,老板告诉小红:“你比上一位顾客多买了5千克,打折后你比他按原价购买还少花10元.”则小红购买石榴的质量是( )
A.45千克 B.50千克 C.55千克 D.60千克
11.如图1,从一个边长为4的正方形纸片中剪掉两个边长为a的小正方形,得到如图2所示的图形.若图2的周长为22,则a的值为 .
12.一个两位数是一个一位数的3倍,如果把两位数放在一位数的右边,得到一个三位数,如果把两位数放在一位数的左边,得到另一个三位数,且后面的三位数比前面的三位数小360,则这个两位数是 .
13.如图,若要建一个长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,另三边用竹篱笆围成,中间用竹篱笆将养鸡场隔开,篱笆总长度47 m,开有一个2 m宽的大门和一个1 m宽的小门(如图所示),围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙.若墙长为21 m,要求养鸡场的长比宽大10米(规定与墙平行的为长边),问围成这样的养鸡场的长和宽各为多少
【C层 创新挑战（选做）】
14.(抽象能力、运算能力、应用意识)春节,即农历新年,是一年之岁首、传统意义上的年节.春节历史悠久,由上古时代岁首祈年祭祀演变而来.为了喜迎新春,某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件,其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件.
(1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件.
(2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品.甲种材料的价格为每千克5元,乙种材料的价格为每千克3元,采购员分两次购买完所需的材料,第一次购买两种材料共200千克,受市场价格影响,第二次购买时甲种材料的价格为每千克4元,乙种材料的价格不变.
①设采购员第一次购买甲种材料m千克,完成下列表格:
项目 第一次 购买数量 (千克) 第二次 购买数量 (千克) 总共需要 购买数量 (千克)
甲种材料 m 380
乙种材料 200-m 180
②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元,求采购员第一次购买甲种材料多少千克. 实践与探索(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 工程问题
1.整理一批数据,由一人做需要40小时完成.现在计划先由一些人做2小时,再增加3人做4小时,完成这项工作的,则先安排 人整理.(B)
A.4 B.3 C.2 D.6
2.红星中学七年级创新班制作新年黑板报,如果让学生团团单独制作,需要2 h完成;如果让学生圆圆单独制作,需要3 h完成.如果让团团和圆圆一起工作1 h,再由学生圆圆单独完成剩余部分,共需 1.5 h完成.
3.随着经济复苏,旅游业也越来越火,某工厂接到一批兵马俑纪念品的生产任务,景点要求6天内完成.若工厂安排10位工人生产,则6天后剩余1 200套兵马俑纪念品未生产;若安排15位工人生产,则恰好提前一天完成生产任务.每位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品
【解析】设每位工人每天生产x套兵马俑纪念品,
由题意,得6×10x+1 200=15x×(6-1),
解得x=80.
答:每位工人每天可以生产80套兵马俑纪念品.
知识点2 销售问题
4.(2024·深圳模拟)某人以八折的优惠价购买一套服装花了256元,这套服装打折前的售价是(C)
A.140元 B.160元 C.320元 D.256元
5.某超市规定,如果购买不超过50元的商品时,按全额收费;购买超过50元的商品时,超过部分按六折收费,某顾客在一次消费中,向售货员付了212元,那么在此次消费中该顾客购买了价值 320 元的商品.
6.书店举行购书优惠活动:①购书原价不超过100元,按原价的九折付款;
②购书原价超过100元但不超过200元,按原价的八折付款;
③购书原价超过200元,按原价的七折付款.
小滨在这次活动中,两次购书总共付款211.2元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,则小滨这两次购书原价的总和是 256或281.6 元.
【B层 能力进阶】
7.广州市政府为了打造绿化带,将一段长为360米的绿化规划道路承包给了甲、乙两个工程队.两队先后接力完成,共用时20天.已知甲工程队每天可以完成24米,乙工程队每天可以完成16米.求甲、乙两个工程队分别完成了多长的绿化带.若设甲完成了x米,则下列式子正确的是(B)
A.+=20
B.+=20
C.24x+16(20-x)=360
D.16x+24(20-x)=360
8.根据下面栗栗和小齐的对话,判断小齐买钢琴的预算是(D)
栗栗:小齐,你之前提到的钢琴买了没 小齐:还没,它的售价比我的预算多2 000元呢! 栗栗:这台钢琴现在正在打八折呢! 小齐:是嘛,太好了,这样比我的预算还要少800元!
A.9 000元 B.10 000元
C.11 000元 D.12 000元
9.整理一批图书,若由一个人独做需要80 h完成,假设每人的工作效率相同.若限定32 h完成,一个人先做8 h,则还需要增加 2 人才能在规定的时间内完成.
10.(2024·重庆模拟)买一辆汽车,分期付款购买要多加价7%,如果现金购买可按九五折优惠.小新算完后发现分期付款比现金购买多付7 200元,那么这辆汽车的原价是 60 000 元.
11.足球友谊比赛的票价是50元,赛前一小时还有余票,于是决定降价,结果售出的票比之前增加了四分之一,而售票收入比之前增加了五分之一,那么每张票售价降了 2 元.
12.某中学原计划加工一批校服,现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服,已知甲工厂每天能加工这种校服16件,乙工厂每天能加工这种校服24件,且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天.在加工过程中,学校需付甲厂每天费用80元,需付乙厂每天费用120元.
(1)求这批校服共有多少件.
【解析】(1)设这批校服共有x件,由题意得:
-=20,解得x=960.
答:这批校服共有960件;
(2)为了尽快完成这批校服,若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后,甲工厂停工了, 而乙工厂每天的生产速度也提高25%,乙工厂单独完成剩余部分,且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天,求乙工厂共加工多少天.
【解析】(2)设甲工厂加工a天,则乙工厂共加工(2a+4)天,依题意有(16+24)a+24×(1+25%)(2a+4-a)=960,解得a=12,2a+4=24+4=28(天),故乙工厂共加工28天;
(3)经学校研究制定如下方案:
方案一:由甲厂单独完成;方案二:由乙厂单独完成;方案三: 按(2)问方式完成;并且每种方案在加工过程中,每个工厂需要一名工程师进行技术指导,并由学校提供每天10元的午餐补助费,请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案.
【解析】(3)①由甲厂单独加工:耗时为960÷16=60(天),费用为:60×(10+80)=5 400(元);
②由乙厂单独加工:耗时为960÷24=40(天),费用为:40×(120+10)=5 200(元);
③由两家工厂共同加工:耗时为28天,费用为:12×(10+80)+28×(10+120)=4 720(元).
所以按方案三方式完成既省时又省钱.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(抽象能力、运算能力、应用意识)(2024·苏州中考)某条城际铁路线共有A,B,C三个车站,每日上午均有两班次列车从A站驶往C站,其中D1001次列车从A站始发,经停B站后到达C站,G1002次列车从A站始发,直达C站,两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究,收集到列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8:00 9:30 9:50 10:50
G1002 8:25 途经B站,不停车 10:30
请根据表格中的信息,解答下列问题:
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了 分钟,从B站到C站行驶了 分钟;
【解析】(1)D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟,从B站到C站行驶了60分钟.
答案:90 60
(2)记D1001次列车的行驶速度为v1,离A站的路程为d1;G1002次列车的行驶速度为v2,离A站的路程为d2.
①= .
②从上午8:00开始计时,时长记为t分钟(如:上午9:15,则t=75),已知v1=240千米/小时(可换算为4千米/分钟),在G1002次列车的行驶过程中(25≤t≤150),若|d1-d2|=60,求t的值.
【解析】(2)①根据题意得:D1001次列车从A站到C站共行驶90+60=150分钟,G1002次列车从A站到C站共行驶35+60+30=125分钟,
所以150v1=125v2,
所以=.
答案:
②因为v1=4(千米/分钟),=,
所以v2=4.8(千米/分钟),
因为4×90=360(千米),
所以A站与B站之间的路程为360千米,
因为360÷4.8=75(分钟),
所以当t=100时,G1002次列车经过B站,
由题意可知,当90≤t≤110时,D1001次列车在B站停车,
所以G1002次列车经过B站时,D1001次列车正在B站停车,
(i)当25≤t<90时,d1>d2,
所以|d1-d2|=d1-d2,
所以4t-4.8(t-25)=60,
t=75;
(ii)当90≤t≤100时,d1≥d2,
所以|d1-d2|=d1-d2,
所以360-4.8(t-25)=60,
t=87.5,不合题意,舍去;
(iii)当100所以|d1-d2|=d2-d1,
所以4.8(t-25)-360=60,
t=112.5,不合题意,舍去;
(iv)当110所以|d1-d2|=d2-d1,
所以4.8(t-25)-[360+4(t-110)]=60,
t=125;
综上所述,当t=75或125时,|d1-d2|=60. 实践与探索(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 工程问题
1.整理一批数据,由一人做需要40小时完成.现在计划先由一些人做2小时,再增加3人做4小时,完成这项工作的,则先安排 人整理.( )
A.4 B.3 C.2 D.6
2.红星中学七年级创新班制作新年黑板报,如果让学生团团单独制作,需要2 h完成;如果让学生圆圆单独制作,需要3 h完成.如果让团团和圆圆一起工作1 h,再由学生圆圆单独完成剩余部分,共需 h完成.
3.随着经济复苏,旅游业也越来越火,某工厂接到一批兵马俑纪念品的生产任务,景点要求6天内完成.若工厂安排10位工人生产,则6天后剩余1 200套兵马俑纪念品未生产;若安排15位工人生产,则恰好提前一天完成生产任务.每位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品
知识点2 销售问题
4.(2024·深圳模拟)某人以八折的优惠价购买一套服装花了256元,这套服装打折前的售价是( )
A.140元 B.160元 C.320元 D.256元
5.某超市规定,如果购买不超过50元的商品时,按全额收费;购买超过50元的商品时,超过部分按六折收费,某顾客在一次消费中,向售货员付了212元,那么在此次消费中该顾客购买了价值 元的商品.
6.书店举行购书优惠活动:①购书原价不超过100元,按原价的九折付款;
②购书原价超过100元但不超过200元,按原价的八折付款;
③购书原价超过200元,按原价的七折付款.
小滨在这次活动中,两次购书总共付款211.2元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,则小滨这两次购书原价的总和是 元.
【B层 能力进阶】
7.广州市政府为了打造绿化带,将一段长为360米的绿化规划道路承包给了甲、乙两个工程队.两队先后接力完成,共用时20天.已知甲工程队每天可以完成24米,乙工程队每天可以完成16米.求甲、乙两个工程队分别完成了多长的绿化带.若设甲完成了x米,则下列式子正确的是( )
A.+=20
B.+=20
C.24x+16(20-x)=360
D.16x+24(20-x)=360
8.根据下面栗栗和小齐的对话,判断小齐买钢琴的预算是( )
栗栗:小齐,你之前提到的钢琴买了没 小齐:还没,它的售价比我的预算多2 000元呢! 栗栗:这台钢琴现在正在打八折呢! 小齐:是嘛,太好了,这样比我的预算还要少800元!
A.9 000元 B.10 000元
C.11 000元 D.12 000元
9.整理一批图书,若由一个人独做需要80 h完成,假设每人的工作效率相同.若限定32 h完成,一个人先做8 h,则还需要增加 人才能在规定的时间内完成.
10.(2024·重庆模拟)买一辆汽车,分期付款购买要多加价7%,如果现金购买可按九五折优惠.小新算完后发现分期付款比现金购买多付7 200元,那么这辆汽车的原价是 元.
11.足球友谊比赛的票价是50元,赛前一小时还有余票,于是决定降价,结果售出的票比之前增加了四分之一,而售票收入比之前增加了五分之一,那么每张票售价降了 元.
12.某中学原计划加工一批校服,现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服,已知甲工厂每天能加工这种校服16件,乙工厂每天能加工这种校服24件,且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天.在加工过程中,学校需付甲厂每天费用80元,需付乙厂每天费用120元.
(1)求这批校服共有多少件.
(2)为了尽快完成这批校服,若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后,甲工厂停工了, 而乙工厂每天的生产速度也提高25%,乙工厂单独完成剩余部分,且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天,求乙工厂共加工多少天.
(3)经学校研究制定如下方案:
方案一:由甲厂单独完成;方案二:由乙厂单独完成;方案三: 按(2)问方式完成;并且每种方案在加工过程中,每个工厂需要一名工程师进行技术指导,并由学校提供每天10元的午餐补助费,请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(抽象能力、运算能力、应用意识)(2024·苏州中考)某条城际铁路线共有A,B,C三个车站,每日上午均有两班次列车从A站驶往C站,其中D1001次列车从A站始发,经停B站后到达C站,G1002次列车从A站始发,直达C站,两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究,收集到列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8:00 9:30 9:50 10:50
G1002 8:25 途经B站,不停车 10:30
请根据表格中的信息,解答下列问题:
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了 分钟,从B站到C站行驶了 分钟;
(2)记D1001次列车的行驶速度为v1,离A站的路程为d1;G1002次列车的行驶速度为v2,离A站的路程为d2.
①= .
②从上午8:00开始计时,时长记为t分钟(如:上午9:15,则t=75),已知v1=240千米/小时(可换算为4千米/分钟),在G1002次列车的行驶过程中(25≤t≤150),若|d1-d2|=60,求t的值. 实践与探索(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等周长(体积)变化问题
1.若长方形的长是宽的2倍,周长是36厘米,则长方形的长是 12 厘米.
2.(2024·重庆模拟)利用两块相同的长方体木块(阴影部分)测量一件长方体物品的高,首先按图1所示的方式放置,再按图2所示的方式放置,测量的数据如图所示,则长方体物品的高是 65 mm.
3.如图甲圆柱体容器是空的,乙长方体容器中水深6.28厘米,要将容器乙中的水全部倒入甲容器,这时水深约为 8 厘米.(π≈3.14)
4.王老师购买了一套经济适用房,他准备将地面铺上地砖,地面结构如图所示.根据图中的数据(单位:m),解答下列问题:
(1)用含x的代数式表示地面总面积;
【解析】(1)由已知得:地面总面积为6x+x(2+x)+2(6-x)+×x=(x2+7x+12)m2;
答:地面总面积为(x2+7x+12) m2.
(2)已知客厅面积比厨房面积多12 m2,若铺1 m2地砖的平均费用为100元,那么铺地砖的总费用为多少元
【解析】(2)由于客厅面积比厨房面积多12 m2:
所以6x-2(6-x)=12,解得x=3,
当x=3时,地面总面积为x2+7x+12=×32+7×3+12=6+21+12=39,
因为铺1 m2地砖的平均费用为100元,
所以铺地砖的总费用为39×100=3 900(元).
答:总费用为3 900元.
知识点2 双重等量问题
5.已知物体自由下落的距离可以表示为S=v底t,v底表示物体下落的末速度,t表示物体下落的时间,声音传播的速度为340米/秒.若将一块石头从井口自由落下,7秒后听到它落水的声音,测得v底=60米/秒,设石头下落的时间为x秒,则可列得方程(B)
A.30x=340×7 B.30x=340(7-x)
C.30(7-x)=340x D.30(7+x)=340×7
6.学校规定学生早晨7时到校,小明若以每分钟60 m的速度步行,提前2 min到校,若以每分钟50 m的速度步行,要迟到2 min,则小明的家到学校有 1 200 m.
7.一艘船从甲港到乙港,逆水每小时行24千米,到乙港后又顺水返回甲港.已知顺水航行比逆水航行少用5小时,水流速度为每小时3千米,甲、乙两港相距 600 千米.
8.某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人,如果每位老人送3袋,那么剩余12袋;如果每位老人送4袋,那么还差24袋,敬老院一共有多少位老人
【解析】设敬老院一共有x位老人,
根据题意得:3x+12=4x-24,
解得x=36.
答:敬老院一共有36位老人.
【B层 能力进阶】
9.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的周长是32 cm,则小长方形的面积是(C)
A.8cm2 B.10cm2
C.12cm2 D.16cm2
10.小红到水果批发市场购买石榴,店里标注石榴每千克20元,她与老板经过议价,老板同意在购买很多的情况下,按原价打九折卖给小红.称完质量后,老板告诉小红:“你比上一位顾客多买了5千克,打折后你比他按原价购买还少花10元.”则小红购买石榴的质量是(C)
A.45千克 B.50千克 C.55千克 D.60千克
11.如图1,从一个边长为4的正方形纸片中剪掉两个边长为a的小正方形,得到如图2所示的图形.若图2的周长为22,则a的值为 1.5 .
12.一个两位数是一个一位数的3倍,如果把两位数放在一位数的右边,得到一个三位数,如果把两位数放在一位数的左边,得到另一个三位数,且后面的三位数比前面的三位数小360,则这个两位数是 15 .
13.如图,若要建一个长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,另三边用竹篱笆围成,中间用竹篱笆将养鸡场隔开,篱笆总长度47 m,开有一个2 m宽的大门和一个1 m宽的小门(如图所示),围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙.若墙长为21 m,要求养鸡场的长比宽大10米(规定与墙平行的为长边),问围成这样的养鸡场的长和宽各为多少
【解析】设养鸡场的宽为x m,则长为(x+10)m,根据题意得:
x+(x-1)+(x-2)+(x+10)=47,
解得x=10,x+10=20,
∵墙长21 m>20 m,∴x=10符合题意.
答:养鸡场的长为20 m,宽为10 m.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(抽象能力、运算能力、应用意识)春节,即农历新年,是一年之岁首、传统意义上的年节.春节历史悠久,由上古时代岁首祈年祭祀演变而来.为了喜迎新春,某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件,其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件.
(1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件.
【解析】(1)设工厂计划生产B种产品x件,则计划生产A种产品(3x-20)件,
根据题意得:3x-20+x=140,
解得x=40,所以3x-20=100,
所以工厂计划生产B种产品40件,A种产品100件;
(2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品.甲种材料的价格为每千克5元,乙种材料的价格为每千克3元,采购员分两次购买完所需的材料,第一次购买两种材料共200千克,受市场价格影响,第二次购买时甲种材料的价格为每千克4元,乙种材料的价格不变.
①设采购员第一次购买甲种材料m千克,完成下列表格:
项目 第一次 购买数量 (千克) 第二次 购买数量 (千克) 总共需要 购买数量 (千克)
甲种材料 m 380
乙种材料 200-m 180
②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元,求采购员第一次购买甲种材料多少千克.
【解析】(2)①补充表格如下表:
项目 第一次购买 数量(千克) 第二次购买 数量(千克) 总共需要购买 数量(千克)
甲种材料 m 380-m 380
乙种材料 200-m m-20 180
②所以第一次购买材料的费用为5m+3(200-m)=600+2m(元),
所以第二次购买材料的费用为4(380-m)+3(m-20)=1 460-m(元),
所以1 460-m=600+2m+500,解得m=120,
答:采购员第一次购买甲种材料120千克.
