二元一次方程组和它的解
【A层 基础夯实】
知识点1 二元一次方程(组)的概念
1.(2024·重庆模拟)下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
2.方程2xm-1+3y2n-1=1是关于x,y的二元一次方程,则m-2n的值为 .
3.下列说法:①二元一次方程组的解都是唯一的;
②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程;③方程x+y=3的解有无数个;④解为的方程组是唯一的;其中正确是 .(填序号)
4.判断下列方程组是否为二元一次方程组,并说明理由.
(1);(2).
知识点2 列二元一次方程组
5.(2024·赤峰中考)用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板;用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板,问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块 如果设用A型钢板x块,用B型钢板y块,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
6.(2024·成都中考)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数,琎价各几何 其大意是:今有人合伙买琎石,每人出钱,会多出4钱;每人出钱,又差了3钱.问人数,琎价各是多少 设人数为x,琎价为y,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
7.一种商品有大、小盒两种包装,3大盒4小盒共装108瓶;2大盒3小盒共装76瓶.若设大盒每盒装x瓶,小盒每盒装y瓶可列方程组为 .
8.某工厂用A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少40 kg,且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共搬运1 000 kg,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.设A,B两种型号机器人每小时分别搬运x kg,y kg,请列出方程组.
【B层 能力进阶】
9.下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
10.已知是二元一次方程组的解,则m-n的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2024·齐齐哈尔中考)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动,为奖励表现突出的学生,计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品,则购买方案有( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
12.如图所示,下列各组数的序号已经填入图中适当的位置①;②;③;④.则二元一次方程组的解是 .
13.已知是方程x-ay=1的解,则a= .
14.若x|m|+(m-1)y=3m-1是关于x,y的二元一次方程,则m的值是 .
15.(2024·上海模拟)若是关于x,y的二元一次方程组,则a= ,b= ,c= .
16.已知是方程2x-3y+a=0的解,
(1)求a的值.
(2)请将方程2x-3y+a=0变形为用含x的代数式表示y.
【C层 创新挑战（选做）】
17.(抽象能力、运算能力、应用意识)
【阅读理解】我们知道方程2x+3y=12有无数个解,但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例如:由2x+3y=12,得:y==4-x(x,y为正整数).
要使y=4-x为正整数,则x为正整数,可知:x为3的倍数,从而x=3,代入y=4-x=2.所以2x+3y=12的正整数解为.
(1)【类比探究】请根据材料求出方程3x+2y=8的正整数解.
(2)【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管,在不造成浪费的情况下,共有几种截法 二元一次方程组和它的解
【A层 基础夯实】
知识点1 二元一次方程(组)的概念
1.(2024·重庆模拟)下列方程组中,是二元一次方程组的是(A)
A. B.
C. D.
2.方程2xm-1+3y2n-1=1是关于x,y的二元一次方程,则m-2n的值为 0 .
3.下列说法:①二元一次方程组的解都是唯一的;
②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程;③方程x+y=3的解有无数个;④解为的方程组是唯一的;其中正确是 ③ .(填序号)
4.判断下列方程组是否为二元一次方程组,并说明理由.
(1);(2).
【解析】(1)是含有2个未知数,并且未知数的项最高次数都是一次的整式方程,
∴该方程组符合二元一次方程组的定义,故它是二元一次方程组;
(2)是含有2个未知数,并且未知数的项最高次数都是一次的整式方程,
∴该方程组符合二元一次方程组的定义,故它是二元一次方程组.
知识点2 列二元一次方程组
5.(2024·赤峰中考)用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板;用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板,问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块 如果设用A型钢板x块,用B型钢板y块,则可列方程组为(C)
A. B.
C. D.
6.(2024·成都中考)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数,琎价各几何 其大意是:今有人合伙买琎石,每人出钱,会多出4钱;每人出钱,又差了3钱.问人数,琎价各是多少 设人数为x,琎价为y,则可列方程组为(B)
A. B.
C. D.
7.一种商品有大、小盒两种包装,3大盒4小盒共装108瓶;2大盒3小盒共装76瓶.若设大盒每盒装x瓶,小盒每盒装y瓶可列方程组为 .
8.某工厂用A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少40 kg,且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共搬运1 000 kg,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.设A,B两种型号机器人每小时分别搬运x kg,y kg,请列出方程组.
【解析】A,B两种型号机器人每小时分别搬运x kg,y kg,由题意,得:,
答:可列方程组为.
【B层 能力进阶】
9.下列方程组中是二元一次方程组的是(B)
A. B.
C. D.
10.已知是二元一次方程组的解,则m-n的值是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2024·齐齐哈尔中考)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动,为奖励表现突出的学生,计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品,则购买方案有(B)
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
12.如图所示,下列各组数的序号已经填入图中适当的位置①;②;③;④.则二元一次方程组的解是 .
13.已知是方程x-ay=1的解,则a= -1 .
14.若x|m|+(m-1)y=3m-1是关于x,y的二元一次方程,则m的值是 -1 .
15.(2024·上海模拟)若是关于x,y的二元一次方程组,则a= 3或2 ,b= -2 ,c= -3 .
16.已知是方程2x-3y+a=0的解,
(1)求a的值.
(2)请将方程2x-3y+a=0变形为用含x的代数式表示y.
【解析】(1)将代入原方程得:2×(-1)-3×2+a=0,解得:a=8,∴a的值为8;
(2)由a=8得,原方程为2x-3y+8=0,
∴y=x+.
【C层 创新挑战（选做）】
17.(抽象能力、运算能力、应用意识)
【阅读理解】我们知道方程2x+3y=12有无数个解,但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例如:由2x+3y=12,得:y==4-x(x,y为正整数).
要使y=4-x为正整数,则x为正整数,可知:x为3的倍数,从而x=3,代入y=4-x=2.所以2x+3y=12的正整数解为.
(1)【类比探究】请根据材料求出方程3x+2y=8的正整数解.
【解析】(1)由3x+2y=8,得:y==4-x(x,y为正整数),
要使y=4-x为正整数,则x为正整数,可知:x为2的倍数,
从而x=2,代入y=4-x=1,
所以方程3x+2y=8的正整数解为.
(2)【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管,在不造成浪费的情况下,共有几种截法
【解析】(2)设截成2米长的钢管x段,3米长的钢管y段,
依题意,得:2x+3y=20,
∴x=10-y,
又∵x,y均为正整数,
∴,,,
∴共有3种截法.
