二元一次方程组的解法(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直接代入解二元一次方程组
1.已知二元一次方程x+7y=5,用含x的代数式表示y,正确的是(D)
A.y= B.x=5-7y
C.x=5+7y D.y=
2.用代入法解二元一次方程组
的过程中,下列变形不正确的是(D)
A.由①得x=4+y B.由①得y=
C.由②得y= D.由②得x=
3.由方程y-2x=5可得到用x表示y的式子是 y=2x+5 .
4.解方程组:
(1);(2).
【解析】(1),由①得:y=2x+3,
将y=2x+3代入②得:3x+4(2x+3)=-10,
解得:x=-2,将x=-2代入y=2x+3,
得:y=2×(-2)+3=-1,
∴原方程组的解为.
(2),由①得x=8-3y,
把x=8-3y代入②得,5(8-3y)-3y=4,
解得y=2,把y=2代入x=8-3y,得x=2,
∴原方程组的解为.
知识点2 用代入法解系数不为1的二元一次方程组
5.已知方程x-y=1,用含x的代数式表示y,正确的是(A)
A.y=x- B.y=x+
C.y=x- D.9y=8x-12
6.方程组的解为 .
7.(2024·包头模拟)由方程组,消去m可得二元一次方程为 2x+y=4 .
8.用代入消元法解方程组:.
【解析】,
由①式可得,2x-y=1,即y=2x-1③,
将③代入②得,2x+3(2x-1)=-7,
解得x=-,将x=-代入③得,
y=2×(-)-1=-2,∴.
【B层 能力进阶】
9.(2024·台州模拟)数学老师设计了一个解方程组的接力游戏,学习小组4名同学每人完成一步.如图,这是4个人合作完成解方程组的过程,合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是(B)
A.甲、乙、丙 B.甲、乙、丁
C.甲、丙、丁 D.乙、丙、丁
10.关于x,y的二元一次方程组的解为,则a,b的值分别为(B)
A.1,2 B.2,1 C.2,3 D.3,2
11.已知关于x,y的二元一次方程组,无论a取什么值,x与y一定满足的关系式为(D)
A.x-y=14 B.x-y=4
C.x+y=6 D.x+y=14
12.关于x,y的方程组的解是,则a+b的值为 10.5 .
13.(2024·深圳模拟)已知方程组的解是方程2x-y=5的一个解,则m的值是 5 .
14.当实数m,n满足m+3n=1时,称点P(m,n)为“创新点”,若以关于x,y的方程组的解为坐标的点Q(x,y)为“创新点”,则a的值为 2 .
15.解下列方程组:
(1);
【解析】(1),
把①代入②得:4(y+1)-3y=5,
解得:y=1,把y=1代入①得:x=1+1=2,
则原方程组的解为;
(2).
【解析】(2),
由①可得:x=4-y,
把x=4-y代入②得:+=1,
解得:y=5,
把y=5代入x=4-y,得:x=4-5=-1,
∴原方程组的解为.
【C层 创新挑战（选做）】
16.(抽象能力、运算能力、应用意识)如图是按一定的规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系图.将方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……、方程组n.
①
②
③
…… ……
(1)将方程组2、方程组3的解填入图中对应位置;
【解析】(1)②,把x=2代入①得y=-1;
③,把y=-2代入①得x=3;
(2)请根据方程组和与它对应的解的变化规律,将方程组n和它的解直接填入图中;
【解析】(2)根据方程组和与它对应的解的变化规律,得方程组n为,
方程组n的解为;
(3)若方程组的解是,求m的值,并判断该方程组是否符合(2)中的规律.
【解析】(3)由题意,得7+6m=25,解得m=3,
该方程组为,它不符合(2)中的规律.
答案:(1)-1 3 (2)x-ny=n2 n 1-n 二元一次方程组的解法(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直接加减解二元一次方程组
1.(2024 衡阳质检)已知二元一次方程组,将①-②得( )
A.8y=-3 B.-2y=-3
C.-8y=-3 D.2y=-3
2.方程组的解可以满足的关系是( )
A.x-2y=2 B.x+2y=2
C.x+y=-3 D.y+2x=-7
3.解下列方程组:
(1);(2).
知识点2 加减法解较复杂的二元一次方程组
4.利用加减消元法解方程组,嘉嘉说:要消去x,可以将①×3-②×5;淇淇说:要消去y,可以将①×3+②×2,关于嘉嘉和淇淇的说法,下列判断正确的是( )
A.嘉嘉对,淇淇不对 B.嘉嘉不对,淇淇对
C.嘉嘉和淇淇都对 D.嘉嘉和淇淇都不对
5.方程组的解是 .
6.若(3x+2y-1)2与|2x+y-4|互为相反数,则x2-2xy+y2= .
7.已知方程组,由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为,乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为,试求出a,b的值及原方程组的解.
【B层 能力进阶】
8.(2024·北京模拟)已知,则a+b等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.若关于x,y的二元一次方程组的解是,则a+4b的值为( )
A. B. C.1 D.3
10.芳芳解方程组的解为,由于不小心滴了两滴墨水,遮住了两个数 和☉,则 与☉表示的数分别是( )
A. B.
C. D.
11.(2024·重庆模拟)已知是方程组的解,则a-b的值为 .
12.已知方程组与有相同的解,则m+n= .
13.如果关于x,y的二元一次方程组的解是,那么关于x,y的二元一次方程组的解是 .
14.阅读下列解方程组的解法,然后解决有关问题.解方程组时,如果考虑常规的消元法(即代入消元法和加减消元法),那将非常麻烦.若用下面的方法,则轻而易举.
①-②,得2x+2y=2,即x+y=1③.
③×16,得16x+16y=16④.
②-④,得x=-1.
把x=-1代入③得-1+y=1,即y=2.
所以原方程组的解是.
以上解法的技巧是根据方程的特点构造了方程③,我们把这种解法称为构造法,请你用构造法解方程组.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(抽象能力、运算能力、应用意识)已知关于x,y的方程组,(m,n为实数)
(1)当m=-3,n=2时,求方程组的解;
(2)当m+4n=5时,试探究方程组的解x,y之间的关系;
(3)若方程组的解满足2x+3y=0,求分式的值. 二元一次方程组的解法(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二元一次方程组的解法
1.若x,y满足方程组,则x+y的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.已知关于x,y的方程xm-n-1-4ym+n-3=2是二元一次方程,则m,n的值分别为( )
A.m=3,n=1 B.m=4,n=1
C.m=1,n=3 D.m=1,n=4
3.已知关于x,y的方程mx+ny=10的两个解分别是,,则mn的值为 .
4.(2024·厦门模拟)解方程组:
(1); (2).
知识点2 二元一次方程组的应用
5.某公司用火车和汽车运输两批物资,具体运输情况如表所示:
项目 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨
第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
则每节火车车皮和每辆汽车分别平均装物资的吨数是( )
A.40,5 B.50,6 C.50,4 D.45,7
6.自来水厂的供水池有7个进出水口,每天早晨6点开始进出水,且此时水池中有水15%,在每个进出水口是匀速进出的情况下,如果开放3个进口和4个出口,5小时将水池注满;如果开放4个进口和3个出口,2小时将水池注满.若某一天早晨6点时水池中有水24%,又因为水管改造,只能开放3个进口和2个出口,则从早晨6点开始经过 小时水池的水刚好注满.
7.“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方,它有3行3列,三横行的三个数之和,三竖列的三个数之和,两对角线的三个数之和都相等,其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内,使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等,如图幻方中a+b的值是 .
8.丝路之旅,让中国荔枝名满天下,丝路之约,让车厘子的甘甜绽放中国舌尖.在“一带一路”政策的帮扶下,更多的中国荔枝走出国门,更多的进口车厘子走入中国市场.一天小雪跟妈妈路过水果市场.小雪跟妈妈说:“我买一斤车厘子的钱可以买三斤荔枝了.”妈妈说:“我用126元买了两斤车厘子和一斤荔枝.”请根据小雪跟妈妈的对话,求出车厘子和荔枝的单价.
【B层 能力进阶】
9.(2024·泰安中考)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容大致如下:用九百九十九文钱,可买甜果苦果共一千个,若…,…,试问买甜果苦果各几个
若设买甜果x个,买苦果y个,可列出符合题意的二元一次方程组,根据已有信息,题中用“…,…”表示的缺失的条件应为( )
A.甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱
10.某工厂有m名工人,每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件,其中某产品每套由4个A型零件和3个B型零件配套组成,现将工人分成两组,每组分别加工一种零件,并要求每天加工的零件正好配套,现50天恰好完成1 200套产品的生产任务,则m的值为( )
A.30 B.40 C.50 D.60
11.如果关于x,y的二元一次方程组的解x,y满足2x-3y=7,那么k的值为( )
A.-2 B.3 C.5 D.-1
12.若无论m取何值,等式mx+(m-1)y+1-2m=0恒成立,则xy的值等于 .
13.对有理数x,y定义一种新运算“*”:x*y=ax+by,其中a,b为常数,等式右边是通常的加法和乘法运算,已知3*5=15,5*3=25,那么a+b= .
14.已知|3x-4y-10|+(5x+6y-42)2=0,则x-2y的值为 .
15.(2024·上海模拟)琪琪沿街匀速行走,发现每隔12 min从背后驶过一辆7路公交车,每隔6 min从迎面驶来一辆7路公交车.假设每辆7路公交车行驶速度相同,而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车.
问:(1)7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍.
(2)7路公交车总站每间隔 min发一辆车.
16.已知关于x,y的方程组和有相同的解.
(1)求出它们的相同解;
(2)求(a+b)2 023的值.
【C层 创新挑战（选做）】
17.(抽象能力、运算能力、应用意识)若x1,x2,x3,…,xn中每一个数值都只能取2,0,-1中的一个,且,则+++…+的值为 . 二元一次方程组的解法(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直接加减解二元一次方程组
1.(2024 衡阳质检)已知二元一次方程组,将①-②得(A)
A.8y=-3 B.-2y=-3
C.-8y=-3 D.2y=-3
2.方程组的解可以满足的关系是(B)
A.x-2y=2 B.x+2y=2
C.x+y=-3 D.y+2x=-7
3.解下列方程组:
(1);(2).
【解析】(1),①+②得:9x=3,
解得x=,将x=代入①得,y=,
∴原方程组的解为;
(2),①+②,得10x=20,
解得x=2,把x=2代入①,得7×2-6y=8,
解得y=1,∴原方程组的解是.
知识点2 加减法解较复杂的二元一次方程组
4.利用加减消元法解方程组,嘉嘉说:要消去x,可以将①×3-②×5;淇淇说:要消去y,可以将①×3+②×2,关于嘉嘉和淇淇的说法,下列判断正确的是(B)
A.嘉嘉对,淇淇不对 B.嘉嘉不对,淇淇对
C.嘉嘉和淇淇都对 D.嘉嘉和淇淇都不对
5.方程组的解是 .
6.若(3x+2y-1)2与|2x+y-4|互为相反数,则x2-2xy+y2= 289 .
7.已知方程组,由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为,乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为,试求出a,b的值及原方程组的解.
【解析】由题意得,甲所得的解满足方程②,乙所得的解满足方程①,
∴-12+b=-2,5a+10=15,
∴a=1,b=10,
∴原方程组为,
①×2+②得:6x=28,解得x=,
把x=代入①得:+5y=15,解得y=,
∴原方程组的解为.
【B层 能力进阶】
8.(2024·北京模拟)已知,则a+b等于(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
9.若关于x,y的二元一次方程组的解是,则a+4b的值为(D)
A. B. C.1 D.3
10.芳芳解方程组的解为,由于不小心滴了两滴墨水,遮住了两个数 和☉,则 与☉表示的数分别是(D)
A. B.
C. D.
11.(2024·重庆模拟)已知是方程组的解,则a-b的值为 3 .
12.已知方程组与有相同的解,则m+n= .
13.如果关于x,y的二元一次方程组的解是,那么关于x,y的二元一次方程组的解是 .
14.阅读下列解方程组的解法,然后解决有关问题.解方程组时,如果考虑常规的消元法(即代入消元法和加减消元法),那将非常麻烦.若用下面的方法,则轻而易举.
①-②,得2x+2y=2,即x+y=1③.
③×16,得16x+16y=16④.
②-④,得x=-1.
把x=-1代入③得-1+y=1,即y=2.
所以原方程组的解是.
以上解法的技巧是根据方程的特点构造了方程③,我们把这种解法称为构造法,请你用构造法解方程组.
【解析】,
②-①得:6x+6y=12,即:x+y=2③,
①-③×7得:4y=-5,解得:y=-,
把y=-代入③得:x=,
所以原方程组的解为.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(抽象能力、运算能力、应用意识)已知关于x,y的方程组,(m,n为实数)
(1)当m=-3,n=2时,求方程组的解;
【解析】(1)当m=-3,n=2时,原方程组为,
解得;
(2)当m+4n=5时,试探究方程组的解x,y之间的关系;
【解析】(2),
①+②得:x=m-2n+3,
代入①得:y=2m+2n-2,
当m+4n=5时,m=5-4n,
则x=5-4n-2n+3=8-6n,y=2(5-4n)+2n-2=8-6n,
∴x=y;
(3)若方程组的解满足2x+3y=0,求分式的值.
【解析】(3)由2x+3y=0,可得2(m-2n+3)+3(2m+2n-2)=0,
即8m+2n=0,
∴4m+n=0,
可得n=-4m,
把n=-4m代入分式得
=
=-. 二元一次方程组的解法(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二元一次方程组的解法
1.若x,y满足方程组,则x+y的值为(A)
A.3 B.2 C.1 D.0
2.已知关于x,y的方程xm-n-1-4ym+n-3=2是二元一次方程,则m,n的值分别为(A)
A.m=3,n=1 B.m=4,n=1
C.m=1,n=3 D.m=1,n=4
3.已知关于x,y的方程mx+ny=10的两个解分别是,,则mn的值为 600 .
4.(2024·厦门模拟)解方程组:
(1); (2).
【解析】(1),
把①代入②,得:2(4y+1)-5y=8,解得y=2;
把y=2代入①,得:x=4×2+1=9;
∴方程组的解为;
(2),
②-①×2,得:7y=7,解得y=1;
把y=1代入①,得:x-3=-2,解得x=1;
∴方程组的解为.
知识点2 二元一次方程组的应用
5.某公司用火车和汽车运输两批物资,具体运输情况如表所示:
项目 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨
第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
则每节火车车皮和每辆汽车分别平均装物资的吨数是(B)
A.40,5 B.50,6 C.50,4 D.45,7
6.自来水厂的供水池有7个进出水口,每天早晨6点开始进出水,且此时水池中有水15%,在每个进出水口是匀速进出的情况下,如果开放3个进口和4个出口,5小时将水池注满;如果开放4个进口和3个出口,2小时将水池注满.若某一天早晨6点时水池中有水24%,又因为水管改造,只能开放3个进口和2个出口,则从早晨6点开始经过 小时水池的水刚好注满.
7.“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方,它有3行3列,三横行的三个数之和,三竖列的三个数之和,两对角线的三个数之和都相等,其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内,使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等,如图幻方中a+b的值是 21 .
8.丝路之旅,让中国荔枝名满天下,丝路之约,让车厘子的甘甜绽放中国舌尖.在“一带一路”政策的帮扶下,更多的中国荔枝走出国门,更多的进口车厘子走入中国市场.一天小雪跟妈妈路过水果市场.小雪跟妈妈说:“我买一斤车厘子的钱可以买三斤荔枝了.”妈妈说:“我用126元买了两斤车厘子和一斤荔枝.”请根据小雪跟妈妈的对话,求出车厘子和荔枝的单价.
【解析】设车厘子每斤x元,荔枝每斤y元,由题得,
解得.
答:车厘子每斤54元,荔枝每斤18元.
【B层 能力进阶】
9.(2024·泰安中考)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容大致如下:用九百九十九文钱,可买甜果苦果共一千个,若…,…,试问买甜果苦果各几个
若设买甜果x个,买苦果y个,可列出符合题意的二元一次方程组,根据已有信息,题中用“…,…”表示的缺失的条件应为(D)
A.甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱
10.某工厂有m名工人,每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件,其中某产品每套由4个A型零件和3个B型零件配套组成,现将工人分成两组,每组分别加工一种零件,并要求每天加工的零件正好配套,现50天恰好完成1 200套产品的生产任务,则m的值为(B)
A.30 B.40 C.50 D.60
11.如果关于x,y的二元一次方程组的解x,y满足2x-3y=7,那么k的值为(C)
A.-2 B.3 C.5 D.-1
12.若无论m取何值,等式mx+(m-1)y+1-2m=0恒成立,则xy的值等于 1 .
13.对有理数x,y定义一种新运算“*”:x*y=ax+by,其中a,b为常数,等式右边是通常的加法和乘法运算,已知3*5=15,5*3=25,那么a+b= 5 .
14.已知|3x-4y-10|+(5x+6y-42)2=0,则x-2y的值为 2 .
15.(2024·上海模拟)琪琪沿街匀速行走,发现每隔12 min从背后驶过一辆7路公交车,每隔6 min从迎面驶来一辆7路公交车.假设每辆7路公交车行驶速度相同,而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车.
问:(1)7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 3 倍.
(2)7路公交车总站每间隔 8 min发一辆车.
16.已知关于x,y的方程组和有相同的解.
(1)求出它们的相同解;
【解析】(1)由题意得:,
①×2得:4x-2y=14③,
②+③得:x=3,
把x=3代入②得:y=-1,
∴方程组的解为;
(2)求(a+b)2 023的值.
【解析】(2)把(1)中所求的x=3,y=-1分别代入2ax-by=4和ax+2by=7得:
,
①×2得:12a+2b=8③,
②+③得:a=1,
把a=1代入①得:b=-2,
∴(a+b)2 023
=
=(-1)2 023
=-1.
【C层 创新挑战（选做）】
17.(抽象能力、运算能力、应用意识)若x1,x2,x3,…,xn中每一个数值都只能取2,0,-1中的一个,且,则+++…+的值为 -1 . 二元一次方程组的解法(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直接代入解二元一次方程组
1.已知二元一次方程x+7y=5,用含x的代数式表示y,正确的是( )
A.y= B.x=5-7y
C.x=5+7y D.y=
2.用代入法解二元一次方程组
的过程中,下列变形不正确的是( )
A.由①得x=4+y B.由①得y=
C.由②得y= D.由②得x=
3.由方程y-2x=5可得到用x表示y的式子是 .
4.解方程组:
(1);(2).
知识点2 用代入法解系数不为1的二元一次方程组
5.已知方程x-y=1,用含x的代数式表示y,正确的是( )
A.y=x- B.y=x+
C.y=x- D.9y=8x-12
6.方程组的解为 .
7.(2024·包头模拟)由方程组,消去m可得二元一次方程为 .
8.用代入消元法解方程组:.
【B层 能力进阶】
9.(2024·台州模拟)数学老师设计了一个解方程组的接力游戏,学习小组4名同学每人完成一步.如图,这是4个人合作完成解方程组的过程,合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是( )
A.甲、乙、丙 B.甲、乙、丁
C.甲、丙、丁 D.乙、丙、丁
10.关于x,y的二元一次方程组的解为,则a,b的值分别为( )
A.1,2 B.2,1 C.2,3 D.3,2
11.已知关于x,y的二元一次方程组,无论a取什么值,x与y一定满足的关系式为( )
A.x-y=14 B.x-y=4
C.x+y=6 D.x+y=14
12.关于x,y的方程组的解是,则a+b的值为 .
13.(2024·深圳模拟)已知方程组的解是方程2x-y=5的一个解,则m的值是 .
14.当实数m,n满足m+3n=1时,称点P(m,n)为“创新点”,若以关于x,y的方程组的解为坐标的点Q(x,y)为“创新点”,则a的值为 .
15.解下列方程组:
(1);
(2).
【C层 创新挑战（选做）】
16.(抽象能力、运算能力、应用意识)如图是按一定的规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系图.将方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……、方程组n.
①
②
③
…… ……
(1)将方程组2、方程组3的解填入图中对应位置;
(2)请根据方程组和与它对应的解的变化规律,将方程组n和它的解直接填入图中;
(3)若方程组的解是,求m的值,并判断该方程组是否符合(2)中的规律.
