三元一次方程组及其解法
【A层 基础夯实】
知识点1 三元一次方程组的解法
1.解方程组,较简便的方法是(B)
A.先消z B.先消y
C.先消x D.无法确定
2.已知方程组的解满足x+y=3,则z的值为(B)
A.10 B.8 C.2 D.-8
3.若x,y,z同时满足:x+y=13,y+z=12,x+z=5,则3x+4y+5z= 59 .
4.(2024·台州模拟)解三元一次方程组:
(1).(2).
【解析】(1),
②-①得:b=2,把b=2代入①得:a+2-c=1,即a-c=-1④,
把b=2代入③得:2a-6+2c=5,即2a+2c=11⑤,④×2+⑤得:4a=9,解得:a=,
把a=代入④得:-c=-1,解得:c=,
∴方程组的解为.
(2),
把①代入②③,化简得.
④×2-⑤得:-y=-3,解得y=3,
把y=3代入④得:x+3=4,解得x=1,
∴方程组的解为.
知识点2 三元一次方程组的应用
5.某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干,若购买三等奖奖品3件,二等奖奖品5件,一等奖奖品1件,共需68元,若购买三等奖奖品4件,二等奖奖品2件,一等奖奖品6件共需86元.现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件,共需 元.(C)
A.24 B.23 C.22 D.21
6.某宾馆有单人间、双人间、三人间三种客房供游客选择居住,现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆,若每个房间都住满,共租了8间客房,则居住方案有(C)
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
7.若一个三角形的周长为24,其中两条边的长度之和比第三条边多4,而它们的差是第三条边的,设其中两条边的长度分别为x、y,则三角形中最短的一条边长度为 6 .
8.某次智力竞赛共有三道题:第一题30分,第二题30分,第三题40分.每题只有两种情况:答对得满分,答错得0分.结束后统计如下:
(1)答对三道题的有4人,答对2两道题的有17人,三道题全错的有5人;
(2)答对第一题与答对第二题的人数之和是44,答对第二题与答对第三题的人数之和是36,答对第一题与答对第三题的人数之和是40.
求这次智力竞赛的平均成绩.
【解析】设答对第一题,第二题,第三题的人数分别为x,y,z.,解得x=24,y=20,z=16.
∵三道题全答对的有4人,答对两道题的有17人,三道题全答错的有5人,
∴参赛总人数为:24+20+16-17-4×2+5=40人,
平均得分为:(30×44+40×16)÷40=49分,
答:这次竞赛的平均成绩为49分.
【B层 能力进阶】
9.已知多项式ax2+bx+c中,a,b,c为常数,x的取值与多项式对应的值如表:
x 1 -5 2 -6
ax2+bx+c M M+12 7 N
则N值为(D)
A.15 B.19 C.21 D.23
10.若m1,m2,…,m2 016是从0,1,2这三个数中取值的一列数,m1+m2+…+m2 016=1 546,++…+=1 510,则在m1,m2,…,m2 016中,取值为2的个数为(D)
A.909 B.506 C.510 D.520
11.(2024·重庆模拟)已知x,y,z满足|x-2-z|+(3x-3y-8)2+|3y+3z-4|=0,则x+y+z的值为 .
12.幻方是一种中国传统游戏,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中,要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等,图1是一个已完成的幻方.图2是一个未完成的幻方,其中A-B的值为 -6 .
13.已知x,y,z都不为零,且,则式子的值为 .
14.关于x的代数式ax2+bx+c,当x=1时,其值为-4;当x=2时,其值为3;当x=4时,其值为35;
(1)求a,b,c的值;
【解析】(1)由题意得,
②-①得:3a+b=7④,
③-②得:12a+2b=32⑤,
④×2得:6a+2b=14⑥,
⑤-⑥得:6a=18,解得:a=3,
把a=3代入④得:9+b=7,
解得:b=-2,
把a=3,b=-2代入①得:3-2+c=-4,
解得:c=-5,
∴原方程组的解为.
(2)当x=3时,求代数式ax2+bx+c的值.
【解析】(2)当x=3时,ax2+bx+c=3×32+(-2)×3+(-5)=16,
∴当x=3时,代数式ax2+bx+c的值为16.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(抽象能力、运算能力、应用意识)感悟思想:有些关于方程组的问题,要求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x,y满足3x-y=5①,2x+3y=7②,求x-4y和7x+5y的值.
思考:本题常规思路是将①②联立成方程组,解得x,y的值再代入要求值的代数式得到答案,有的问题用常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形,整体求得代数式的值.如①-②可得x-4y=-2;①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
体会思想:
(1)已知二元一次方程组,则x+y= 5 ;
(2)三元一次方程组的解是 . 三元一次方程组及其解法
【A层 基础夯实】
知识点1 三元一次方程组的解法
1.解方程组,较简便的方法是( )
A.先消z B.先消y
C.先消x D.无法确定
2.已知方程组的解满足x+y=3,则z的值为( )
A.10 B.8 C.2 D.-8
3.若x,y,z同时满足:x+y=13,y+z=12,x+z=5,则3x+4y+5z= .
4.(2024·台州模拟)解三元一次方程组:
(1).(2).
知识点2 三元一次方程组的应用
5.某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干,若购买三等奖奖品3件,二等奖奖品5件,一等奖奖品1件,共需68元,若购买三等奖奖品4件,二等奖奖品2件,一等奖奖品6件共需86元.现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件,共需 元.( )
A.24 B.23 C.22 D.21
6.某宾馆有单人间、双人间、三人间三种客房供游客选择居住,现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆,若每个房间都住满,共租了8间客房,则居住方案有( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
7.若一个三角形的周长为24,其中两条边的长度之和比第三条边多4,而它们的差是第三条边的,设其中两条边的长度分别为x、y,则三角形中最短的一条边长度为 .
8.某次智力竞赛共有三道题:第一题30分,第二题30分,第三题40分.每题只有两种情况:答对得满分,答错得0分.结束后统计如下:
(1)答对三道题的有4人,答对2两道题的有17人,三道题全错的有5人;
(2)答对第一题与答对第二题的人数之和是44,答对第二题与答对第三题的人数之和是36,答对第一题与答对第三题的人数之和是40.
求这次智力竞赛的平均成绩.
【B层 能力进阶】
9.已知多项式ax2+bx+c中,a,b,c为常数,x的取值与多项式对应的值如表:
x 1 -5 2 -6
ax2+bx+c M M+12 7 N
则N值为( )
A.15 B.19 C.21 D.23
10.若m1,m2,…,m2 016是从0,1,2这三个数中取值的一列数,m1+m2+…+m2 016=1 546,++…+=1 510,则在m1,m2,…,m2 016中,取值为2的个数为( )
A.909 B.506 C.510 D.520
11.(2024·重庆模拟)已知x,y,z满足|x-2-z|+(3x-3y-8)2+|3y+3z-4|=0,则x+y+z的值为 .
12.幻方是一种中国传统游戏,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中,要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等,图1是一个已完成的幻方.图2是一个未完成的幻方,其中A-B的值为 .
13.已知x,y,z都不为零,且,则式子的值为 .
14.关于x的代数式ax2+bx+c,当x=1时,其值为-4;当x=2时,其值为3;当x=4时,其值为35;
(1)求a,b,c的值;
(2)当x=3时,求代数式ax2+bx+c的值.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(抽象能力、运算能力、应用意识)感悟思想:有些关于方程组的问题,要求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x,y满足3x-y=5①,2x+3y=7②,求x-4y和7x+5y的值.
思考:本题常规思路是将①②联立成方程组,解得x,y的值再代入要求值的代数式得到答案,有的问题用常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形,整体求得代数式的值.如①-②可得x-4y=-2;①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
体会思想:
(1)已知二元一次方程组,则x+y= ;
(2)三元一次方程组的解是 .
