不等式的基本性质
【A层 基础夯实】
知识点 不等式的简单变形
1.将不等式2<3两边都乘以同一个数x,若不改变不等号的方向,则x的取值范围是(B)
A.x>1 B.x>0
C.x<0 D.x<1
2.商场A种服装的标价高于B种服装的标价,如果都打八折出售,那么还是A种服装价格高.这体现下面哪个知识 (B)
A.不等式两边都加上(或都减去)同一个数,不等号的方向不变
B.不等式两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向不变
C.不等式两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等号的方向不变
D.不等式两边都乘以(或都除以)同一个数,不等号的方向不变
3.已知a
A.> B.<
C.≥ D.=
4.已知x>y,则x-2>y+○,对于“○”所表示的数,嘉嘉和淇淇提出了不同的看法:
嘉嘉:根据不等式的基本性质,“○”只能是“-2”;
淇淇:“○”除“-2”外,还可以是其他数值.
对于两人的看法,判断正确的是(D)
A.两人都对 B.两人都不对
C.嘉嘉对,淇淇不对 D.淇淇对,嘉嘉不对
5.若aA.a+1≤b B.-2a<-2b
C.a>b-1 D.a-16.已知有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,则下列关系中,正确的是(C)
A.ab>bc B.ac>ab
C.aba+b
7.(2024·临沂模拟)(1)若a+3>9,则a>9-3,不等式变形的根据是 不等式两边同加上(或减去)同一个数,不等号方向不变 ;
(2)若a -4b,这是根据 不等式性质3 .
8.当a>b>0时,试说明a2>b2.
【解析】∵a>b>0,
∴不等式的两边同时乘以同一个正数a,可得a2>ab,
不等式的两边同时乘以同一个正数b,可得ab>b2,
∴a2>b2.
9.当a>1时,a>是否成立 请说明理由.
【解析】成立,理由如下:
∵a>1,
∴a+a>a+1,
∴2a>a+1,
∴a>.
【B层 能力进阶】
10.(2024·衢州模拟)若a>3,则下列各式正确的是(C)
A.a+1<4 B.a-3<0
C.a-4>-1 D.a-2<1
11.已知数轴上两点A,B表示的数分别为a-2,1,那么关于x的不等式(a-2)x+a>2的解集,下列说法正确的是(C)
A.若点A在点B左侧,则解集为x<-1
B.若点A在点B右侧,则解集为x<-1
C.若解集为x<-1,则点A必在点B左侧
D.若解集为x<-1,则点A必在点B右侧
12.令M=(a-x)(x-b),若x≤b且xA.M<0 B.M>0 C.M≥0 D.M≤0
13.若-<-,则3m > n.(填“<”“>”或“=”)
14.如果关于x的不等式(m-2)x>n的解集是x>1,那么m,n满足的等量关系是 m=n+2 ,m的取值范围是 m>2 .
15.(1)请认真阅读并完成填空:
根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法:
①如果a-b<0,那么a②如果a-b=0,那么a=b;
③如果a-b>0,那么a>b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”;
【解析】(1)根据等式和不等式的基本性质,移项可得:
①如果a-b<0,那么a②如果a-b=0,那么a=b;
③如果a-b>0,那么a>b;
(2)请运用这种方法尝试解决下面的问题:比较3x2-3x+7与4x2-3x+8的大小.
【解析】(2)4x2-3x+8-(3x2-3x+7)
=4x2-3x+8-3x2+3x-7
=x2+1,
∵x2≥0,
∴x2+1≥1,
∴4x2-3x+8-(3x2-3x+7)>0,即3x2-3x+7<4x2-3x+8.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(运算能力、应用意识)阅读下列材料:
问题:已知x-y=2,且x>1,y<0,求x+y的取值范围.
解:∵x-y=2.∴x=y+2,
又∵x>1,
∴y+2>1,
∴y>-1,
又∵y<0,
∴-1∴-1+2即1①+②得-1+1∴x+y的取值范围是0请按照上述方法,完成下列问题:
(1)已知x-y=5,且x>2,y<0,则x的取值范围是2【解析】(1)∵x-y=5,∴y=x-5,
∵y<0,∴x-5<0,∴x-5+5<0+5,
即x<5,
又∵x>2,∴x的取值范围是2∵x+y=x+x-5=2x-5,2∴2×2-5<2x-5<2×5-5,
即-1<2x-5<5,∴-1(2)已知x-y=a,且x-b,根据上述做法得到-5<2x+y<4,求a,b的值.
【解析】(2)∵x-y=a,∴x=y+a,
∵x∴y<-a+b,
∵y>-b,∴-b∴-b+a∴-2b+2a<2x<2b②,
由①+②得-3b+2a<2x+y<-a+3b,
∵-5<2x+y<4,
∴,解得,
即a=-1,b=1. 不等式的基本性质
【A层 基础夯实】
知识点 不等式的简单变形
1.将不等式2<3两边都乘以同一个数x,若不改变不等号的方向,则x的取值范围是( )
A.x>1 B.x>0
C.x<0 D.x<1
2.商场A种服装的标价高于B种服装的标价,如果都打八折出售,那么还是A种服装价格高.这体现下面哪个知识 ( )
A.不等式两边都加上(或都减去)同一个数,不等号的方向不变
B.不等式两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向不变
C.不等式两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等号的方向不变
D.不等式两边都乘以(或都除以)同一个数,不等号的方向不变
3.已知aA.> B.<
C.≥ D.=
4.已知x>y,则x-2>y+○,对于“○”所表示的数,嘉嘉和淇淇提出了不同的看法:
嘉嘉:根据不等式的基本性质,“○”只能是“-2”;
淇淇:“○”除“-2”外,还可以是其他数值.
对于两人的看法,判断正确的是( )
A.两人都对 B.两人都不对
C.嘉嘉对,淇淇不对 D.淇淇对,嘉嘉不对
5.若aA.a+1≤b B.-2a<-2b
C.a>b-1 D.a-16.已知有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,则下列关系中,正确的是( )
A.ab>bc B.ac>ab
C.aba+b
7.(2024·临沂模拟)(1)若a+3>9,则a>9-3,不等式变形的根据是 ;
(2)若a8.当a>b>0时,试说明a2>b2.
9.当a>1时,a>是否成立 请说明理由.
【B层 能力进阶】
10.(2024·衢州模拟)若a>3,则下列各式正确的是( )
A.a+1<4 B.a-3<0
C.a-4>-1 D.a-2<1
11.已知数轴上两点A,B表示的数分别为a-2,1,那么关于x的不等式(a-2)x+a>2的解集,下列说法正确的是( )
A.若点A在点B左侧,则解集为x<-1
B.若点A在点B右侧,则解集为x<-1
C.若解集为x<-1,则点A必在点B左侧
D.若解集为x<-1,则点A必在点B右侧
12.令M=(a-x)(x-b),若x≤b且xA.M<0 B.M>0 C.M≥0 D.M≤0
13.若-<-,则3m n.(填“<”“>”或“=”)
14.如果关于x的不等式(m-2)x>n的解集是x>1,那么m,n满足的等量关系是 ,m的取值范围是 .
15.(1)请认真阅读并完成填空:
根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法:
①如果a-b<0,那么a b;
②如果a-b=0,那么a b;
③如果a-b>0,那么a b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”;
(2)请运用这种方法尝试解决下面的问题:比较3x2-3x+7与4x2-3x+8的大小.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(运算能力、应用意识)阅读下列材料:
问题:已知x-y=2,且x>1,y<0,求x+y的取值范围.
解:∵x-y=2.∴x=y+2,
又∵x>1,
∴y+2>1,
∴y>-1,
又∵y<0,
∴-1∴-1+2即1①+②得-1+1∴x+y的取值范围是0请按照上述方法,完成下列问题:
(1)已知x-y=5,且x>2,y<0,则x的取值范围是 ;x+y的取值范围是 ;
(2)已知x-y=a,且x-b,根据上述做法得到-5<2x+y<4,求a,b的值.