三角形的内角和与外角和
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的内角和
1.在△ABC中,若∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数等于( )
A.55° B.65° C.70° D.75°
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,过点A作EF∥BC,则∠FAC的度数为__ __.
3.如图,∠C=90°,∠1=∠B,则∠ADE=__ __度.
4.某工程队准备开挖一条隧道,为了缩短工期,必须在山的两侧同时开挖,为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上,测量人员在如图所示的同一高度定出了两个开挖点P和Q,然后在左边定出开挖的方向线AP,为了准确定出右边开挖的方向线BQ,测量人员取一个可以同时看到点A,P,Q的点O,测得∠A=32°,∠AOC=110°,要确保BQ与AP在同一条直线上,∠QBO的度数是__ __°.
5.△ABC中,∠B+∠C=2∠A,∠A∶∠B=4∶5,求三角形中各角的度数.
知识点2 三角形外角的性质
6.根据图中的数据,可得∠B的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
7.如图1是一路灯的实物图,图2是该路灯的平面示意图,已知∠MAC=50°,
∠ACB=20°,则图2中∠CBA的度数为__ __.
8.∠1和∠2是△ABC的外角,若∠A=90°,如图①,则∠1+∠2的度数为__ __;若∠A=60°,如图②,则∠1+∠2的度数为__ __;若∠A=α,如图③,则∠1+∠2的度数为__ __.
【B层 能力进阶】
9.一天,李明和爸爸一起到建筑工地去,看见了一个如图所示的人字架,爸爸说:“李明,我考考你!这个人字架中的∠3=110°,你能求出∠1比∠2大多少吗 ”请你帮李明计算一下,正确的答案是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】在△ABC中,∠ABC=∠C,BD是AC边上的高线,∠ABD=30°,则∠C的度数为( )
A.30° B.90°
C.30°或90° D.30°或60°
11.如图,两面镜子AB,BC的夹角为∠α,当光线经过镜子后反射,∠1=∠2,∠3=∠4.若∠α=70°,则∠β的度数是( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
12.如图,点C是线段BD上一点,∠A=50°,∠B=70°,∠D=35°,∠DEC=__ __.
13.三角形中有两个角分别为x°和y°,若y=2x,则称x°的角为“青宁角”,此三角形为“青宁三角形”.如果一个“青宁三角形”中有一个内角为48°,那么这个“青宁三角形”的“青宁角”度数为__ __.
14.如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的AB边上的高,AD与CE交于点F,∠BAC=60°,∠BCE=40°,求∠BAD和∠ADC的度数.
【C层 创新挑战】（选做）
15.(模型观念、推理能力、应用意识)王丽在学习中遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于D.猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,说明理由.
(1)王丽阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路.于是尝试代入∠B,∠C的值求∠EAD的值,得到下面几组对应值:
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 20 15 α 30
上表中α=________.
(2)猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,说明理由.
(3)王丽突发奇想,交换B,C两个字母位置,如图2,过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D,当∠ABC=78°,∠C=22°时,∠F的度数为________°. 三角形的内角和与外角和
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的内角和
1.在△ABC中,若∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数等于(D)
A.55° B.65° C.70° D.75°
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,过点A作EF∥BC,则∠FAC的度数为__30°__.
3.如图,∠C=90°,∠1=∠B,则∠ADE=__90__度.
4.某工程队准备开挖一条隧道,为了缩短工期,必须在山的两侧同时开挖,为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上,测量人员在如图所示的同一高度定出了两个开挖点P和Q,然后在左边定出开挖的方向线AP,为了准确定出右边开挖的方向线BQ,测量人员取一个可以同时看到点A,P,Q的点O,测得∠A=32°,∠AOC=110°,要确保BQ与AP在同一条直线上,∠QBO的度数是__38__°.
5.△ABC中,∠B+∠C=2∠A,∠A∶∠B=4∶5,求三角形中各角的度数.
【解析】设∠A=4x,∠B=5x,
则∠C=180°-4x-5x=180°-9x,
∵∠B+∠C=2∠A,
∴5x+180°-9x=2×4x,
解得x=15°,
∴∠A=4×15°=60°,∠B=5×15°=75°,∠C=180°-60°-75°=45°,
综上所述,三角形中各角的度数为∠A=60°,∠B=75°,∠C=45°.
知识点2 三角形外角的性质
6.根据图中的数据,可得∠B的度数为(B)
A.40° B.50° C.60° D.70°
7.如图1是一路灯的实物图,图2是该路灯的平面示意图,已知∠MAC=50°,
∠ACB=20°,则图2中∠CBA的度数为__30°__.
8.∠1和∠2是△ABC的外角,若∠A=90°,如图①,则∠1+∠2的度数为__270°__;若∠A=60°,如图②,则∠1+∠2的度数为__240°__;若∠A=α,如图③,则∠1+∠2的度数为__180°+α__.
【B层 能力进阶】
9.一天,李明和爸爸一起到建筑工地去,看见了一个如图所示的人字架,爸爸说:“李明,我考考你!这个人字架中的∠3=110°,你能求出∠1比∠2大多少吗 ”请你帮李明计算一下,正确的答案是(C)
A.50° B.60° C.70° D.80°
10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】在△ABC中,∠ABC=∠C,BD是AC边上的高线,∠ABD=30°,则∠C的度数为(D)
A.30° B.90°
C.30°或90° D.30°或60°
11.如图,两面镜子AB,BC的夹角为∠α,当光线经过镜子后反射,∠1=∠2,∠3=∠4.若∠α=70°,则∠β的度数是(C)
A.30° B.35° C.40° D.45°
12.如图,点C是线段BD上一点,∠A=50°,∠B=70°,∠D=35°,∠DEC=__25°__.
13.三角形中有两个角分别为x°和y°,若y=2x,则称x°的角为“青宁角”,此三角形为“青宁三角形”.如果一个“青宁三角形”中有一个内角为48°,那么这个“青宁三角形”的“青宁角”度数为__24°或44°或48°__.
14.如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的AB边上的高,AD与CE交于点F,∠BAC=60°,∠BCE=40°,求∠BAD和∠ADC的度数.
【解析】∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°.
∵CE是△ABC的AB边上的高,
∴∠AEC=∠BEC=90°.
在△BCE中,∠BCE=40°,∠BEC=90°,
∴∠B=180°-∠BCE-∠BEC=180°-40°-90°=50°,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=30°+50°=80°.
【C层 创新挑战】（选做）
15.(模型观念、推理能力、应用意识)王丽在学习中遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于D.猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,说明理由.
(1)王丽阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路.于是尝试代入∠B,∠C的值求∠EAD的值,得到下面几组对应值:
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 20 15 α 30
上表中α=________.
(2)猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,说明理由.
(3)王丽突发奇想,交换B,C两个字母位置,如图2,过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D,当∠ABC=78°,∠C=22°时,∠F的度数为________°.
【解析】(1)∵AD⊥BC,
∴∠DAC=90°-60°=30°,
∵AE平分∠BAC,∠BAC=180°-20°-60°=100°,
∴∠EAC=∠BAC=50°,
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=50°-30°=20°.
答案:20
(2)猜想:∠EAD=(∠C-∠B).
理由:∵AD⊥BC,
∴∠DAC=90°-∠C,
∵AE平分∠BAC,∠BAC=180°-∠B-∠C,
∴∠EAC=∠BAC=90°-∠B-∠C,
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-∠B-∠C-(90°-∠C)=(∠C-∠B).
(3)如图,过点A作AH⊥CD于H.
∵AH⊥CD,FD⊥CD,
∴AH∥DF,
∴∠F=∠EAH=(∠ABC-∠C)
=(78°-22°)=28°.
答案:28
