三角形的三边关系
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的三边关系
1.下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位:cm),其中能搭成三角形的是(B)
A.3,7,10 B.6,7,8
C.7,7,14 D.5,7,13
2.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】已知等腰三角形,一边长为4 cm,另一边长为7 cm,则等腰三角形的周长为(D)
A.15 cm B.18 cm
C.不能确定 D.15 cm或18 cm
3.三角形的三边长分别为5,8,2x+1,则x的取值范围是__14.如图,已知线段AB.
(1)选择合适的画图工具,按下列步骤画图:
①延长线段AB至点C,使BC=AB;
②在线段AB上方画射线BP,使∠ABP>∠CBP;
③在射线BP上取一点D(不与点B重合),连结AD,CD.
(2)根据画出的图形,判断AD+CD>AC,理由是__________________________.
【解析】(1)①如图,线段BC为所作;
②如图,射线BP为所作;
③如图,AD,CD为所作;
(画图不唯一)
(2)理由是三角形的任何两边的和大于第三边.
5.已知a,b,c是△ABC的三边.若a和b满足方程组,且c为偶数,求这个三角形的周长.
【解析】由题意得,
解得,
根据三角形的三边关系得5-2∵c为偶数,
∴c=4或6,
∴这个三角形的周长为2+5+4=11或2+5+6=13.
知识点2 三角形的稳定性
6.如图,一个六边形木框,为使其稳定至少还要再钉________根木条(B)
A.2 B.3
C.4 D.5
7.如图是某校门口的电动伸缩门,电动伸缩门利用了__________的性质(A)
A.四边形的不稳定性 B.三角形的稳定性
C.四边形的稳定性 D.三角形的不稳定性
8.如图所示,建筑工地上的塔吊的框架设计成很多个三角形,这样做的数学依据是__三角形的稳定性__.
知识点3 三角形三边关系的应用
9.在操场上甲、乙两人的距离为3 m,乙、丙两人的距离为9 m.则甲、丙两人可能相距__7(答案不唯一)__m.(写一个答案即可)
10.小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养鸡,已知第一条边长为m米,第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米.
(1)请用含m的式子表示第三条边长;
(2)第一条边长能否为10米 为什么
【解析】(1)∵第一条边长为m米,第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米
∴第二条边长为(2m-3)米,
∴32-m-(2m-3)=(35-3m)米;
∴第三条边长为(35-3m)米;
(2)不能,因为当m=10时,三边长分别为10米,17米,5米,
由于10+5<17,所以不能构成三角形.
【B层 能力进阶】
11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且aA.a+1,b+1,c+1
B.2a,2b,2c
C.a2,b2,c2
D.|a-b|+1,|b-c|+1,|c-a|+1
12.若使用如图所示的a,b两根直铁丝做成一个三角形框架,需要将其中一根铁丝折成两段(C)
A.a,b都可以 B.a,b都不可以
C.只有a可以 D.只有b可以
13.有四根长度分别为3,4,6,x(x为正整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三角形,甲、乙分别给出了下列结论,判断正确的是(D)
甲:x的取值可能有4个;
乙:组成的三角形中,周长最大为16
A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确
C.甲正确,乙不正确 D.甲不正确,乙正确
14.一个三角形的三边长均为整数.已知其中两边长为3和5,第三边长x是不等式组的正整数解.则第三边的长为__7__.
15.若三边均不相等的三角形三边a,b,c满足a-b>b-c(a为最长边,c为最短边),则称它为“不均衡三角形”,例如,一个三角形三边分别为7,5,4,因为7-5>5-4,所以这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)以下两组长度的小木棒能组成“不均衡三角形”的为__①__(填序号).
①13,18,9,②9,8,6.
(2)已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2,16,2x-6,直接写出x的整数值为__10或12或13或14__.
【C层 创新挑战】（选做）
16.(模型观念、推理能力、应用意识)在探究“三角形中边与角之间的不等关系”时,小明设计过程如下:
如图1,在△ABC中,如果AB>AC,那么我们可以将△ABC折叠,使边AC落在AB上,点C落在AB上的D点,折线交BC于点E,则∠C=∠ADE.∵∠ADE>∠B(想一想为什么),
∴∠C>∠B.
(1)请证明文中的∠ADE>∠B;
(2)如图2,在△ABC中,如果∠ACB>∠B,则AB>AC.
小敏同学提供了一种方法:将△ABC折叠,使点B落在点C上,折痕交AB于点F,再运用三角形三边关系即可证明,请你按照小敏的方法完成证明.
【解析】(1)∵∠ADE是△EBD的一个外角,∠B为与∠ADE不相邻的内角.
∴∠ADE>∠B.
(2)∵将△ABC折叠,使点B落在点C上,
∴BF=CF,
在△ACF中,AF+FC>AC,
∴AB>AC. 三角形的三边关系
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的三边关系
1.下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位:cm),其中能搭成三角形的是( )
A.3,7,10 B.6,7,8
C.7,7,14 D.5,7,13
2.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】已知等腰三角形,一边长为4 cm,另一边长为7 cm,则等腰三角形的周长为( )
A.15 cm B.18 cm
C.不能确定 D.15 cm或18 cm
3.三角形的三边长分别为5,8,2x+1,则x的取值范围是__ __.
4.如图,已知线段AB.
(1)选择合适的画图工具,按下列步骤画图:
①延长线段AB至点C,使BC=AB;
②在线段AB上方画射线BP,使∠ABP>∠CBP;
③在射线BP上取一点D(不与点B重合),连结AD,CD.
(2)根据画出的图形,判断AD+CD>AC,理由是__________________________.
5.已知a,b,c是△ABC的三边.若a和b满足方程组,且c为偶数,求这个三角形的周长.
知识点2 三角形的稳定性
6.如图,一个六边形木框,为使其稳定至少还要再钉________根木条( )
A.2 B.3
C.4 D.5
7.如图是某校门口的电动伸缩门,电动伸缩门利用了__________的性质( )
A.四边形的不稳定性 B.三角形的稳定性
C.四边形的稳定性 D.三角形的不稳定性
8.如图所示,建筑工地上的塔吊的框架设计成很多个三角形,这样做的数学依据是__ __.
知识点3 三角形三边关系的应用
9.在操场上甲、乙两人的距离为3 m,乙、丙两人的距离为9 m.则甲、丙两人可能相距__ __m.(写一个答案即可)
10.小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养鸡,已知第一条边长为m米,第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米.
(1)请用含m的式子表示第三条边长;
(2)第一条边长能否为10米 为什么
【B层 能力进阶】
11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且aA.a+1,b+1,c+1
B.2a,2b,2c
C.a2,b2,c2
D.|a-b|+1,|b-c|+1,|c-a|+1
12.若使用如图所示的a,b两根直铁丝做成一个三角形框架,需要将其中一根铁丝折成两段( )
A.a,b都可以 B.a,b都不可以
C.只有a可以 D.只有b可以
13.有四根长度分别为3,4,6,x(x为正整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三角形,甲、乙分别给出了下列结论,判断正确的是( )
甲:x的取值可能有4个;
乙:组成的三角形中,周长最大为16
A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确
C.甲正确,乙不正确 D.甲不正确,乙正确
14.一个三角形的三边长均为整数.已知其中两边长为3和5,第三边长x是不等式组的正整数解.则第三边的长为__ __.
15.若三边均不相等的三角形三边a,b,c满足a-b>b-c(a为最长边,c为最短边),则称它为“不均衡三角形”,例如,一个三角形三边分别为7,5,4,因为7-5>5-4,所以这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)以下两组长度的小木棒能组成“不均衡三角形”的为__ __(填序号).
①13,18,9,②9,8,6.
(2)已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2,16,2x-6,直接写出x的整数值为__ __.
【C层 创新挑战】（选做）
16.(模型观念、推理能力、应用意识)在探究“三角形中边与角之间的不等关系”时,小明设计过程如下:
如图1,在△ABC中,如果AB>AC,那么我们可以将△ABC折叠,使边AC落在AB上,点C落在AB上的D点,折线交BC于点E,则∠C=∠ADE.∵∠ADE>∠B(想一想为什么),
∴∠C>∠B.
(1)请证明文中的∠ADE>∠B;
(2)如图2,在△ABC中,如果∠ACB>∠B,则AB>AC.
小敏同学提供了一种方法:将△ABC折叠,使点B落在点C上,折痕交AB于点F,再运用三角形三边关系即可证明,请你按照小敏的方法完成证明.
