多边形的内角和与外角和
【A层 基础夯实】
知识点1 多边形
1.在如图所示的图形中,属于多边形的有(B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列多边形中,有5条对角线的多边形是(B)
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
3.在八边形内任取一点,把这个点与八边形各顶点分别连结可得到几个三角形(D)
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
4.从多边形一条边上的一点(不是顶点)出发,连结各个顶点得到2 023个三角形,则这个多边形的边数为__2 024__.
5.如图,将五边形ABCDE沿虚线剪去一个角得到六边形ABCDGF,则该六边形的周长一定比原五边形的周长__小__(填“大”或“小”),理由为__两点之间,线段最短__.
知识点2 多边形的内角和与外角和
6.已知一个多边形的每个外角为45°,则该多边形的边数为(C)
A.12 B.10 C.8 D.6
7.四边形的内角和等于x°,五边形的外角和等于y°,则下列关系式成立的是(A)
A.x=y B.x=2y
C.x=y+180 D.y=x+180
8.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EF,FA组成的平面图形,若∠1+∠3+∠5=170°,则∠2+∠4+∠6=__190__°.
9.如果一个n边形的各个内角都相等,且它的每一个外角与内角的度数之比为2∶7,求该多边形的内角和.
【解析】设外角为2x°,内角为7x°,根据题意,得2x°+7x°=180°,解得x=20,
∴2x°=40°,7x°=140°,
∴该多边形外角是40°,内角是140°,
多边形的边数是360°÷40°=9,则内角和是9×140°=1 260°.
10.一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°,并且这个多边形的各内角相等,求这个多边形的一个外角.
【解析】设这个多边形边数为n,则(n-2)×180°=360°+720°,
解得n=8,
∵这个多边形的每个内角都相等,
∴它的每一个外角也相等,
∴这个多边形的外角为360°÷8=45°.
【B层 能力进阶】
11.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放,如果∠1=50°,
∠2=40°,那么∠3的度数等于(B)
A.10° B.12° C.15° D.20°
12.如图,将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形.下列判断正确的是(B)
结论①:变成五边形后外角和不发生变化;
结论②:变成五边形后内角和增加了360°;
结论③:通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°.
A.只有①对 B.①和③对
C.①,②,③都对 D.①,②,③都不对
13.如图,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,∠AEO-∠DEN=24°,则∠O的度数为__60°__.
14.A和B分别是两个多边形,阅读A和B的对话,完成下列各小题.
(1)嘉嘉说:“因为B的边数比A多,所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确,并说明理由;
(2)设A的边数为n(n>3),
①若n=7,求x的值;
②淇淇说:“无论n取何值,x的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由.
【解析】(1)嘉嘉的说法不正确;
理由:多边形的外角和始终为360°,与多边形的边数无关;
(2)①180(7+x-2)-180(7-2)=360,
解得x=2,
即x的值为2;
②180(n+x-2)-180(n-2)=360,
整理得180x=360,
解得x=2.
∴无论n取何值,x的值始终不变.
15.如图,一组正多边形,观察每个正多边形中α的变化情况,解答下列问题.
(1)将表格补充完整.
正多边形的边数 3 4 5 6
α的度数 60° 45° 36° 30°
(2)观察上面表格中α的变化规律,角α与边数n的关系为__α=()°__.
(3)根据规律,当α=18°时,多边形边数n=__10__.
【C层 创新挑战】（选做）
16.(模型观念、推理能力、应用意识)阅读材料:
我们知道,探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形,利用三角形内角和获得结论,这一方法也可以用来解决其他求角度的问题.如图,四边形ABCD是凸四边形,探究其内角和的方法是:连结对角线AC,则四边形内角和就转化为△ACB和△ACD内角和的和为360°.
解决问题:
(1)如图1,四边形ABCD是凹四边形,请探究∠BDC(∠BDC≤180°)与∠B,∠C,
∠BAC三个角之间的等量关系.
小明得出的结论是:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.他的证明如下,请你将小明的证明过程补充完整.
证明:连结AD并延长AD到点E.
联系拓展:
(2)如图2的五角星和图3都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发,找出一条路线,用笔不离开纸,连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的).
请你根据上述解决问题的思路,解答下列问题:
①图2中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 ________°;
②图3中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ________°.
【解析】(1)证明:连结AD并延长AD到点E.
则∠BDE为△ABD的外角,∠CDE为△ACD的外角,
∴∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE=∠C+∠CAD.
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,
∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD.
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD,
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC.
(2)①如图,由(1)得,
∠CFD=∠A+∠C+∠D,
∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D,
∵∠BFE+∠B+∠E=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
答案:180
②如图,由题意得,
∠DHE=∠A+∠D+∠E,
∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E,
∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
答案:360 多边形的内角和与外角和
【A层 基础夯实】
知识点1 多边形
1.在如图所示的图形中,属于多边形的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列多边形中,有5条对角线的多边形是( )
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
3.在八边形内任取一点,把这个点与八边形各顶点分别连结可得到几个三角形( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
4.从多边形一条边上的一点(不是顶点)出发,连结各个顶点得到2 023个三角形,则这个多边形的边数为__ __.
5.如图,将五边形ABCDE沿虚线剪去一个角得到六边形ABCDGF,则该六边形的周长一定比原五边形的周长__ __(填“大”或“小”),理由为__ __.
知识点2 多边形的内角和与外角和
6.已知一个多边形的每个外角为45°,则该多边形的边数为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
7.四边形的内角和等于x°,五边形的外角和等于y°,则下列关系式成立的是( )
A.x=y B.x=2y
C.x=y+180 D.y=x+180
8.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EF,FA组成的平面图形,若∠1+∠3+∠5=170°,则∠2+∠4+∠6=__ __°.
9.如果一个n边形的各个内角都相等,且它的每一个外角与内角的度数之比为2∶7,求该多边形的内角和.
10.一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°,并且这个多边形的各内角相等,求这个多边形的一个外角.
【B层 能力进阶】
11.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放,如果∠1=50°,
∠2=40°,那么∠3的度数等于( )
A.10° B.12° C.15° D.20°
12.如图,将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形.下列判断正确的是( )
结论①:变成五边形后外角和不发生变化;
结论②:变成五边形后内角和增加了360°;
结论③:通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°.
A.只有①对 B.①和③对
C.①,②,③都对 D.①,②,③都不对
13.如图,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,∠AEO-∠DEN=24°,则∠O的度数为__ __.
14.A和B分别是两个多边形,阅读A和B的对话,完成下列各小题.
(1)嘉嘉说:“因为B的边数比A多,所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确,并说明理由;
(2)设A的边数为n(n>3),
①若n=7,求x的值;
②淇淇说:“无论n取何值,x的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由.
15.如图,一组正多边形,观察每个正多边形中α的变化情况,解答下列问题.
(1)将表格补充完整.
正多边形的边数 3 4 5 6
α的度数
观察上面表格中α的变化规律,角α与边数n的关系为__ __.
(3)根据规律,当α=18°时,多边形边数n=__ __.
【C层 创新挑战】（选做）
16.(模型观念、推理能力、应用意识)阅读材料:
我们知道,探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形,利用三角形内角和获得结论,这一方法也可以用来解决其他求角度的问题.如图,四边形ABCD是凸四边形,探究其内角和的方法是:连结对角线AC,则四边形内角和就转化为△ACB和△ACD内角和的和为360°.
解决问题:
(1)如图1,四边形ABCD是凹四边形,请探究∠BDC(∠BDC≤180°)与∠B,∠C,
∠BAC三个角之间的等量关系.
小明得出的结论是:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.他的证明如下,请你将小明的证明过程补充完整.
证明:连结AD并延长AD到点E.
联系拓展:
(2)如图2的五角星和图3都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发,找出一条路线,用笔不离开纸,连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的).
请你根据上述解决问题的思路,解答下列问题:
①图2中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 ________°;
②图3中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ________°.
