轴对称的再认识
【A层 基础夯实】
知识点1 线段、角的对称性
1.下列说法正确的是( )
A.线段有且只有一条对称轴
B.垂直于线段的直线就是线段的对称轴
C.角的对称轴是角的平分线
D.角平分线所在的直线是角的对称轴
2.如图,△ABC中,根据尺规作图的痕迹推断,下列结论不一定成立的是( )
A.∠BAQ=∠CAQ B.BE=CE
C.AF=AC D.∠BED=90°
3.如图,已知△ABC,根据尺规作图的痕迹,解决下列问题:
(1)BE= .
(2)若∠COE=68°,则∠ACB= .
4.如图,直角△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A'处,折痕为CD,则∠A'DB= .
5.尺规作图
(1)如图①,已知△ABC,请用尺规作图法,在BC上求作一点P,使得BP=BC.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)如图②,在△ABC中,请用尺规作图法作出∠BAC的平分线AD,其中点D在边BC上.
知识点2 画图形的对称轴
6.下列轴对称图形中,只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是( )
A.正方形 B.正五边形
C.等腰梯形 D.等腰三角形
7.如图所示的图形都是轴对称图形,对称轴最少的是 ,对称轴最多的是 ,可以用无刻度的直尺画出对称轴的有 个.
8.已知图中的图形都是轴对称图形,请你画出它们的对称轴.
9.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗 如果是,指出它们的对称轴,并找出一对对称点.
【B层 能力进阶】
10.如图,在四边形ABCD中,对角线BD所在的直线是其对称轴,点P是直线BD上的点,下列判断一定正确的是( )
A.AB=AP B.∠DAP=∠BCA
C.DB⊥AC D.∠ABP=∠CPB
11.通过光的反射定律知道,入射光线与反射光线关于法线成轴对称(图1).在图2中,光线自点P射入,经镜面EF反射后经过的点是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
12.图1和图2中所有的小正方形都全等,将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形,并且只有一条对称轴,这个位置是( )
A.① B.② C.③ D.④
13.(2024·铜仁期末)如图,在△ABC中,将∠B和∠C按如图所示方式折叠,点B,C均落于边BC上一点G处,线段MN,EF为折痕.若∠A=94°,则∠MGE= .
14.在△ABC中,C,C'关于DE对称,判断∠1,∠2,∠C'的关系并证明.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力、应用意识)小明同学喜欢玩折纸游戏,他在学习完角的知识后,发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识,于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸过程中角的变换,首先他在长方形纸片ABCD的边AD上找到一点E,然后沿着CE进行第一次折叠(如图1),使得D点落在F处.
(1)此时(如图1)小明经过测量得到∠DEC=38°,请你帮他计算
∠AEF= .
(2)第一次折叠后,小明继续对纸片进行折叠,他将纸片沿着BE进行第二次折叠(如图2),使得A点落在G处,小明发现∠BEC的大小会随着E点的位置改变而发生改变:
①若点A经过折叠后刚好落在线段EF上(如图3),求出此时∠BEC的大小;(请写出必要的推理过程)
②小明将E改变到如图4的位置时,经过测量∠GEF=10°,请你计算出此时∠BEC的大小.(请写出必要的推理过程)
(3)小明继续研究折纸游戏,他又发现了有意思的折纸过程:他将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠后(如图5),点D落在点F处,AF和BC交于点M,再将三角形CFM沿CM折叠后,点F落在点H处,此时CH将∠ACB分成的两个角满足:∠ACH∶∠BCH=1∶2,直接写出∠ACB的度数. 轴对称的再认识
【A层 基础夯实】
知识点1 线段、角的对称性
1.下列说法正确的是(D)
A.线段有且只有一条对称轴
B.垂直于线段的直线就是线段的对称轴
C.角的对称轴是角的平分线
D.角平分线所在的直线是角的对称轴
2.如图,△ABC中,根据尺规作图的痕迹推断,下列结论不一定成立的是(C)
A.∠BAQ=∠CAQ B.BE=CE
C.AF=AC D.∠BED=90°
3.如图,已知△ABC,根据尺规作图的痕迹,解决下列问题:
(1)BE= BC .
(2)若∠COE=68°,则∠ACB= 44° .
4.如图,直角△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A'处,折痕为CD,则∠A'DB= 10° .
5.尺规作图
(1)如图①,已知△ABC,请用尺规作图法,在BC上求作一点P,使得BP=BC.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)如图②,在△ABC中,请用尺规作图法作出∠BAC的平分线AD,其中点D在边BC上.
【解析】(1)如图①,作线段BC的垂直平分线,交BC于点D,再作线段BD的垂直平分线,交BD于点P,
则点P即为所求.
(2)如图②,射线AD即为所求.
知识点2 画图形的对称轴
6.下列轴对称图形中,只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是(D)
A.正方形 B.正五边形
C.等腰梯形 D.等腰三角形
7.如图所示的图形都是轴对称图形,对称轴最少的是 图③ ,对称轴最多的是 图④ ,可以用无刻度的直尺画出对称轴的有 4 个.
8.已知图中的图形都是轴对称图形,请你画出它们的对称轴.
【解析】作图如下:
9.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗 如果是,指出它们的对称轴,并找出一对对称点.
【解析】(1)图案不成轴对称.
(2)图案不成轴对称;
(3)图案是成轴对称的,对称轴是直线m,对称点是A和B.
【B层 能力进阶】
10.如图,在四边形ABCD中,对角线BD所在的直线是其对称轴,点P是直线BD上的点,下列判断一定正确的是(C)
A.AB=AP B.∠DAP=∠BCA
C.DB⊥AC D.∠ABP=∠CPB
11.通过光的反射定律知道,入射光线与反射光线关于法线成轴对称(图1).在图2中,光线自点P射入,经镜面EF反射后经过的点是(B)
A.点A B.点B C.点C D.点D
12.图1和图2中所有的小正方形都全等,将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形,并且只有一条对称轴,这个位置是(C)
A.① B.② C.③ D.④
13.(2024·铜仁期末)如图,在△ABC中,将∠B和∠C按如图所示方式折叠,点B,C均落于边BC上一点G处,线段MN,EF为折痕.若∠A=94°,则∠MGE= 94° .
14.在△ABC中,C,C'关于DE对称,判断∠1,∠2,∠C'的关系并证明.
【解析】2∠C'=∠1+∠2.
理由:∵∠CDE+∠C'DE+∠C+∠C'+∠CED+∠C'ED=360°,
∠CDE+∠EDC'+∠1+∠CED+∠C'ED+∠2=360°,∴∠1+∠2=∠C+∠C',
∵在△ABC中,C,C'关于DE对称,
∴∠C=∠C',∴2∠C'=∠1+∠2.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力、应用意识)小明同学喜欢玩折纸游戏,他在学习完角的知识后,发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识,于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸过程中角的变换,首先他在长方形纸片ABCD的边AD上找到一点E,然后沿着CE进行第一次折叠(如图1),使得D点落在F处.
(1)此时(如图1)小明经过测量得到∠DEC=38°,请你帮他计算
∠AEF= .
(2)第一次折叠后,小明继续对纸片进行折叠,他将纸片沿着BE进行第二次折叠(如图2),使得A点落在G处,小明发现∠BEC的大小会随着E点的位置改变而发生改变:
①若点A经过折叠后刚好落在线段EF上(如图3),求出此时∠BEC的大小;(请写出必要的推理过程)
②小明将E改变到如图4的位置时,经过测量∠GEF=10°,请你计算出此时∠BEC的大小.(请写出必要的推理过程)
(3)小明继续研究折纸游戏,他又发现了有意思的折纸过程:他将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠后(如图5),点D落在点F处,AF和BC交于点M,再将三角形CFM沿CM折叠后,点F落在点H处,此时CH将∠ACB分成的两个角满足:∠ACH∶∠BCH=1∶2,直接写出∠ACB的度数.
【解析】(1)由折叠可知,∠DEC=∠FEC,
又因为∠DEC=38°,所以∠FEC=38°,
所以∠AEF=180°-∠DEC-∠FEC=180°-38°-38°=104°.
答案:104°
(2)①由折叠可知,∠AEB=∠GEB,∠DEC=∠FEC,
因为∠AEF+∠DEF=180°,
所以∠BEF+∠CEF=(∠AEF+∠DEF)=×180°=90°.即∠BEC=90°.
②因为∠GEF=10°,所以∠AEG+∠DEF=180°-10°=170°.
又由折叠可知,∠BEG=∠AEG,∠CEF=∠DEF,
所以∠BEG+∠CEF=(∠AEG+∠DEF)=×170°=85°,
所以∠BEC=∠BEG+∠CEF+∠GEF=85°+10°=95°.
(3)由题知,设∠ACH=x,∠BCH=2x,
由折叠可知,∠MCF=∠BCH=2x,
所以∠FCA=∠FCM+∠BCH+∠ACH=5x,
由折叠可知,∠DCA=∠FCA=5x,
所以∠BCD=∠BCH+∠ACH+∠DCA=8x,
又因为∠BCD=90°,所以8x=90°,
解得x=11.25°,所以∠ACB=3x=3×11.25°=33.75°.
