旋转的特征 旋转对称图形
【A层 基础夯实】
知识点1 旋转的特征
1.一个图形无论经过平移还是旋转,有以下说法:①对应线段平行;②对应线段相等;③对应角相等;④图形的形状和大小都没有发生变化.其中正确的说法是(D)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
2.(2024·晋中一模)如图,把△ABC绕C点顺时针旋转35°,得到△A'B'C,A'B'交AC于点D,若∠A'DC=90°,则∠A的度数是(C)
A.35° B.75° C.55° D.65°
3.(2024·南昌一模)如图,将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE,使得点B的对应点D落在边AC的延长线,若AB=12,AE=7,则线段CD的长为 5 .
4.如图,画出△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的△A'B'C'.
【解析】△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的△A'B'C'如图所示.
5.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,将△ABC绕点A顺时针旋转30°后得到△AB1C1,求∠BAC1的度数.
【解析】因为∠B=45°,∠C=60°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=75°,
由旋转的性质得:∠B1AC1=∠BAC=75°,∠B1AB=30°,所以∠BAC1=75°-30°=45°.
知识点2 旋转对称图形
6.下列图形为旋转对称图形的是(C)
7.如图所示,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O经过4次旋转而得到,则每一次旋转的角度大小为 72° .
8.如图,这个图形是由基本图案ABCDE绕着点 D 顺时针依次旋转 5 次得到的,则每次旋转的角度为 60° .
【B层 能力进阶】
9.下列叙述正确的是(A)
A.由图形的绕其中心位置按同一方向连续旋转90°,180°,270°前后共四个图形所构成
B.由图形的绕中心位置旋转45°,90°,135°,225°,270°,315°前后的图形共同组成的
C.由图形的旋转100°所得
D.绕该图形的中心旋转100°后所得图形还能与原图形重合
10.(2024·江门质检)如图1,一副三角板的两个直角重叠在一起,∠A=30°,
∠C=45°,△COD固定不动,△AOB绕着O点顺时针旋转α(0°<α<180°),若△AOB绕着O点旋转到图2的位置,若∠BOD=60°,则∠AOC的度数为(B)
A.150° B.120° C.60° D.30°
11.如图,△ABC绕点C按顺时针旋转15°得到△DEC,若点A恰好在DE上,则∠BAE的度数为 15° .
12.(2024·重庆质检)如图,在△ABC中,∠CAB=100°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C',点C的对应点为C',点C'恰好在BC边上,且∠C'AB=3∠ABC',则∠ABB'的度数为 64° .
13.如图,在长方形ABCD中,AB=3厘米,BC=a厘米(a>3),点Q在边CD上(不与点C,D重合),CQ=x厘米.将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后,得到长方形A'B'C'D',且重叠部分的四边形PCQD'是长方形.连结A'B,C'D.
(1)若BC=7厘米,CQ=1厘米,求△A'BP的面积;
(2)用含有x,a的代数式表示△A'BP的面积;
【解析】(1)因为将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后,得到长方形A'B'C'D',
所以QD=QD',CQ=C'Q,A'D'=AD=BC,
因为BC=7厘米,CQ=1厘米,AB=3厘米,
所以A'D'=7厘米,C'Q=CQ=1厘米,PD'=1厘米,所以D'Q=2厘米=CP,
所以BP=5厘米,A'P=6厘米,
所以S△A'BP=×BP×A'P=×5×6=15(平方厘米)
(2)因为将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后,得到长方形A'B'C'D',
所以QD=QD',CQ=C'Q,A'D'=AD=BC,
因为BC=a厘米,CQ=x厘米,AB=3厘米,
所以A'D'=a厘米,C'Q=CQ=x厘米,PD'=x厘米,所以D'Q=CP=(3-x)厘米,
所以BP=(a+x-3)厘米,A'P=(a-x)厘米,
所以S△A'BP=×BP×A'P=×(a+x-3)×(a-x)= (a2-x2-a+x)平方厘米.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力、应用意识)如图1,将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起,其中∠ACB=30°,∠DAE=45°,∠BAC=∠D=90°,如图2,固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°).
(1)当α为 度时,AD∥BC;
(2)在旋转过程中,试探究∠CAD与∠BAE之间的关系;
(3)当△ADE旋转速度为5°/秒时,且它的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时,请直接写出时间t的所有值.
【解析】(1)如图:
因为AD∥BC,
所以∠DAC=∠ACB=30°,所以∠CAE=∠DAE-∠DAC=45°-30°=15°,
所以当α=15°时,AD∥BC;
答案:15
(2)设∠CAD=γ,∠BAE=β,
①如图,当0°<α≤45°时,
α+β=90°,α+γ=45°,
故β-γ=45°;
即∠BAE-∠CAD=45°.
②当45°<α≤90°时,
∠DAE+γ+β=90°,即∠BAE+∠CAD=45°.
③当90°<α<180°时,
∠CAD-∠BAC=∠EAB-∠EAD,
即γ-90°=β-45°,所以γ-β=45°,即∠CAD-∠BAE=45°.
(3)①当AD∥BC时,α=15°,t=3;
②当DE∥AB时,α=45°,t=9;
③当DE∥BC时,α=105°,t=21;
④当DE∥AC时,α=135°,t=27;
⑤当AE∥BC时,α=150°,t=30.
综上,t=3或9或21或27或30. 旋转的特征 旋转对称图形
【A层 基础夯实】
知识点1 旋转的特征
1.一个图形无论经过平移还是旋转,有以下说法:①对应线段平行;②对应线段相等;③对应角相等;④图形的形状和大小都没有发生变化.其中正确的说法是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
2.(2024·晋中一模)如图,把△ABC绕C点顺时针旋转35°,得到△A'B'C,A'B'交AC于点D,若∠A'DC=90°,则∠A的度数是( )
A.35° B.75° C.55° D.65°
3.(2024·南昌一模)如图,将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE,使得点B的对应点D落在边AC的延长线,若AB=12,AE=7,则线段CD的长为 .
4.如图,画出△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的△A'B'C'.
5.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,将△ABC绕点A顺时针旋转30°后得到△AB1C1,求∠BAC1的度数.
知识点2 旋转对称图形
6.下列图形为旋转对称图形的是( )
7.如图所示,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O经过4次旋转而得到,则每一次旋转的角度大小为 .
8.如图,这个图形是由基本图案ABCDE绕着点 顺时针依次旋转 次得到的,则每次旋转的角度为 .
【B层 能力进阶】
9.下列叙述正确的是( )
A.由图形的绕其中心位置按同一方向连续旋转90°,180°,270°前后共四个图形所构成
B.由图形的绕中心位置旋转45°,90°,135°,225°,270°,315°前后的图形共同组成的
C.由图形的旋转100°所得
D.绕该图形的中心旋转100°后所得图形还能与原图形重合
10.(2024·江门质检)如图1,一副三角板的两个直角重叠在一起,∠A=30°,
∠C=45°,△COD固定不动,△AOB绕着O点顺时针旋转α(0°<α<180°),若△AOB绕着O点旋转到图2的位置,若∠BOD=60°,则∠AOC的度数为( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
11.如图,△ABC绕点C按顺时针旋转15°得到△DEC,若点A恰好在DE上,则∠BAE的度数为 .
12.(2024·重庆质检)如图,在△ABC中,∠CAB=100°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C',点C的对应点为C',点C'恰好在BC边上,且∠C'AB=3∠ABC',则∠ABB'的度数为 .
13.如图,在长方形ABCD中,AB=3厘米,BC=a厘米(a>3),点Q在边CD上(不与点C,D重合),CQ=x厘米.将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后,得到长方形A'B'C'D',且重叠部分的四边形PCQD'是长方形.连结A'B,C'D.
(1)若BC=7厘米,CQ=1厘米,求△A'BP的面积;
(2)用含有x,a的代数式表示△A'BP的面积;
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力、应用意识)如图1,将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起,其中∠ACB=30°,∠DAE=45°,∠BAC=∠D=90°,如图2,固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°).
(1)当α为 度时,AD∥BC;
(2)在旋转过程中,试探究∠CAD与∠BAE之间的关系;
(3)当△ADE旋转速度为5°/秒时,且它的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时,请直接写出时间t的所有值.
