图形的全等
【A层 基础夯实】
知识点1 全等多边形
1.下列四个图形中,属于全等图形的是(A)
A.①和② B.②和③
C.①和③ D.全部
2.如图,点D,E,F都在△ABC的BC边上,半圆E和半圆F全等,则线段AD是△ABC的(D)
A.垂直平分线 B.角平分线
C.高线 D.中线
3.如图所示的图形分割成两个全等的图形,正确的是(B)
4.如图1,用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形、用n个全等的正五边形按这种方式拼接,如图2,若围成一圈后中间也形成一个正多边形,则n的值为(C)
A.6 B.8 C.10 D.12
5.如图,4个全等的长方形组成如图所示的图形,其中长方形的边长分别为a和b,且a>b,则阴影部分的面积为 (a-b)2 .
知识点2 全等三角形
6.如图,直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到直角△DEF,则下列结论中,错误的是(A)
A.BE=EC B.BC=EF
C.AC=DF D.△ABC≌△DEF
7.若△ABC≌△A'B'C',且∠C=50°,∠BAC-∠A'B'C'=10°,则∠BAC= 70° .
8.如图所示,△ABC与△DEC全等,且∠ACB=90°.
(1)说明△ABC经过怎样的变换得到△DEC,并指出对应边和对应角;
(2)请直接写出直线AB,DE的位置关系.
【解析】(1)△ABC与△DEC全等,观察题中图形发现可将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC(答案不唯一).
对应边:AB与DE,AC与DC,BC与EC,
对应角:∠A与∠D,∠ACB与∠DCE,∠ABC与∠E.
(2)直线AB,DE互相垂直.
【B层 能力进阶】
9.在直角三角形ABC中,D,E分别是AC,BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C=(D)
A.15° B.20° C.25° D.30°
10.如图所示,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,△EDC是由△ADB旋转180°所得,则AB边的取值范围是(D)
A.1
C.511.如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为 48 .
12.三个全等三角形摆成如图所示的形式,则∠α+∠β+∠γ= 180° .
13.如图,△ABC≌△DBE,点D在边AC上,BC与DE交于点P,已知∠ABE=162°,∠DBC=30°,AD=DC=2.5,BC=4.
(1)求∠CBE的度数.
(2)求△CDP与△BEP的周长和.
【解析】(1)因为∠ABE=162°,∠DBC=30°,所以∠ABD+∠CBE=132°,
因为△ABC≌△DBE,所以∠ABC=∠DBE,
所以∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°,
即∠CBE的度数为66°;
(2)因为△ABC≌△DBE,
所以DE=AC=AD+DC=5,BE=BC=4,
所以△CDP与△BEP的周长和为DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE
=2.5+5+4+4=15.5.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力)如图①,在直角△ABC中,∠C=90°,BC=9 cm,AC=12 cm,AB=15 cm,现有一动点P,从点A出发,沿着三角形的边AC→CB→BA运动,回到点A停止,速度为3 cm/s,设运动时间为t s.
(1)如图①,当t= 时,△APC的面积等于△ABC面积的一半;
(2)如图②,在△DEF中,∠E=90°,DE=4 cm,DF=5 cm,∠D=∠A.在△ABC的边上,若另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发,沿着边AB→BC→CA运动,回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好△APQ≌△DEF,求点Q的运动速度.
【解析】(1)①当点P在BC上时,如图①-1所示,
若△APC的面积等于△ABC面积的一半;则CP=BC= cm,
此时,点P移动的距离为AC+CP=12+=(cm),
移动的时间为:÷3=(s),
②当点P在BA上时,如图①-2所示,
若△APC的面积等于△ABC面积的一半;则PB=AB= cm,即点P为BA的中点,
此时,点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+=(cm),
移动的时间为:÷3=(s);
答案:或
(2)△APQ≌△DEF,即对应顶点为A与D,P与E,Q与F;
①当点P在AC上时,如图②-1所示,
此时,AP=4,AQ=5,
所以点Q移动的速度为5÷(4÷3)= cm/s,
②当点P在AB上时,如图②-2所示,此时,AP=4,AQ=5,
即点P移动的距离为9+12+15-4=32(cm),点Q移动的距离为9+12+15-5=31(cm),
所以点Q移动的速度为31÷(32÷3)= cm/s,
综上所述,在两点运动过程中的某一时刻,恰好△APQ≌△DEF,点Q的运动速度为 cm/s或 cm/s. 图形的全等
【A层 基础夯实】
知识点1 全等多边形
1.下列四个图形中,属于全等图形的是( )
A.①和② B.②和③
C.①和③ D.全部
2.如图,点D,E,F都在△ABC的BC边上,半圆E和半圆F全等,则线段AD是△ABC的( )
A.垂直平分线 B.角平分线
C.高线 D.中线
3.如图所示的图形分割成两个全等的图形,正确的是( )
4.如图1,用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形、用n个全等的正五边形按这种方式拼接,如图2,若围成一圈后中间也形成一个正多边形,则n的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
5.如图,4个全等的长方形组成如图所示的图形,其中长方形的边长分别为a和b,且a>b,则阴影部分的面积为 .
知识点2 全等三角形
6.如图,直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到直角△DEF,则下列结论中,错误的是( )
A.BE=EC B.BC=EF
C.AC=DF D.△ABC≌△DEF
7.若△ABC≌△A'B'C',且∠C=50°,∠BAC-∠A'B'C'=10°,则∠BAC= .
8.如图所示,△ABC与△DEC全等,且∠ACB=90°.
(1)说明△ABC经过怎样的变换得到△DEC,并指出对应边和对应角;
(2)请直接写出直线AB,DE的位置关系.
【B层 能力进阶】
9.在直角三角形ABC中,D,E分别是AC,BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C=( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
10.如图所示,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,△EDC是由△ADB旋转180°所得,则AB边的取值范围是( )
A.1C.511.如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为 .
12.三个全等三角形摆成如图所示的形式,则∠α+∠β+∠γ= .
13.如图,△ABC≌△DBE,点D在边AC上,BC与DE交于点P,已知∠ABE=162°,∠DBC=30°,AD=DC=2.5,BC=4.
(1)求∠CBE的度数.
(2)求△CDP与△BEP的周长和.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力)如图①,在直角△ABC中,∠C=90°,BC=9 cm,AC=12 cm,AB=15 cm,现有一动点P,从点A出发,沿着三角形的边AC→CB→BA运动,回到点A停止,速度为3 cm/s,设运动时间为t s.
(1)如图①,当t= 时,△APC的面积等于△ABC面积的一半;
(2)如图②,在△DEF中,∠E=90°,DE=4 cm,DF=5 cm,∠D=∠A.在△ABC的边上,若另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发,沿着边AB→BC→CA运动,回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好△APQ≌△DEF,求点Q的运动速度.