单元质量评价(四)第8章 三角形
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段AD应该是△ABC的( )
A.角平分线 B.中线 C.高线 D.以上都不是
2.八年级1班学生杨冲家和李锐家到某书店的距离分别是5 km和3 km.那么杨冲、李锐两家的距离不可能是( )
A.3 km B.9 km C.5 km D.4 km
3.下列各组图形中,BD是△ABC的高的图形是( )
4.如图,点D,E为△ABC边BC,AC上的两点,将△ABC沿线段DE折叠,点C落在BD上的C'处,若∠C=30°,则∠AEC'=( )
A.60° B.58° C.45° D.43°
5.已知a,b,c是三角形的三条边,则|c-a-b|+|c+b-a|的化简结果为( )
A.0 B.2a+2b C.2b D.2a+2b-2c
6.如图,在△ABC中,AD是高,AE是中线,若AD=3,S△ABC=6,则BE的长为( )
A.1 B. C.2 D.4
7.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°.动点P从点C出发,沿边CB,BA向点A运动.在点P运动过程中,△PAC可能成为的特殊三角形依次是( )
A.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B.等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D.等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
8.用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面,并且每个顶点周围的多边形排列是相同的,所得到的图案叫做“半正密铺”图案.如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号(4,8,8),(3,6,3,6),(3,3,4,3,4)表示.下列记号中,不能表示“半正密铺”图案的是( )
A.(3,12,12) B.(3,4,6,4) C.(3,3,4,12) D.(3,4,3,3,6)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍,等于与它不相邻的一个内角的2倍,则此三角形各内角的度数是__ __.
10.如图是某小区花园内用同一种白色正多边形和黑色正方形地砖铺设的小路的局部示意图,四块正多边形地砖围成的中间区域使用一块正方形地砖,则正多边形的内角和为__ __.
11.如图,在△ABC中,点D在BC边上,且∠DAC=2∠BAD,则∠1,∠2,∠3的数量关系为__ __.
12.如图,七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4的外角和等于220°,则∠BOD的度数为__ __.
13.如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=20°,∠ADE=∠AED,则∠CDE=__ __.
14.如果一个三角形的两个内角α与β满足α-β=90°,那么我们称这样的三角形为“差余三角形”.已知△ABC是“差余三角形”,且∠A=110°,则∠B的度数为__ __.
三、解答题(共52分)
15.(6分)如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°,求这个多边形的内角和及对角线的总条数.
16.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长,且b,c满足(b-5)2+|c-7|=0,a为方程|a-3|=2的解,求△ABC的周长.
17.(8分)已知:在△ABC中,D为BC上一点,且∠B=∠C=∠BAD,∠ADC=∠DAC.
(1)求∠B的度数;
(2)画出△ABC中BC边上的高AH,并求∠DAH的度数.
18.(8分)如图,AD是△ABC的高,CE是△ACB的角平分线,F是AC的中点,
∠ACB=50°,∠BAD=70°.
(1)求∠AEC的度数;
(2)若△BCF与△BAF的周长差为3,AB=7,能否求出BC的值 若能,请写出理由和结果;若不能,请你补充条件并解答.
19.(10分)如图,△ABC的内角∠ABC的平分线,与外角∠CAM,∠ACF的平分线相交于点D,∠ACB的平分线交BD于点E,AB∥CD.
(1)求证∠BEC=90°+∠CBD;
(2)∠ADB+∠ABC是否为定值 如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由;
(3)写出所有与∠ADB互余的角:________________________________.
20.(12分)【概念认识】
如图①,在∠ABC中,若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD,BE叫做∠ABC的“三分线”.其中BD是“邻AB三分线”,BE是“邻BC三分线”.
【问题解决】
(1)如图②,在△ABC中,∠A=73°,∠B=42°,若∠B的三分线BD交AC于点D,则∠BDC=__________;
(2)如图③,在△ABC中,BP,CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线,且BP⊥CP,求∠A的度数;
【延伸推广】
(3)在△ABC中,∠ACD是△ABC的外角,∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P.若∠A=α,∠B=β,直接写出∠BPC的度数.(用含α,β的代数式表示)
【附加题】(10分)小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做如图探究:
(1)【习题回顾】已知:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF;
(2)【变式思考】如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=40°,求∠CEF和∠CFE的度数;
(3)【探究延伸】如图3,在△ABC中,在AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M,若∠M=35°,求∠CFE的度数.单元质量评价(四)第8章 三角形
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段AD应该是△ABC的(B)
A.角平分线 B.中线 C.高线 D.以上都不是
2.八年级1班学生杨冲家和李锐家到某书店的距离分别是5 km和3 km.那么杨冲、李锐两家的距离不可能是(B)
A.3 km B.9 km C.5 km D.4 km
3.下列各组图形中,BD是△ABC的高的图形是(B)
4.如图,点D,E为△ABC边BC,AC上的两点,将△ABC沿线段DE折叠,点C落在BD上的C'处,若∠C=30°,则∠AEC'=(A)
A.60° B.58° C.45° D.43°
5.已知a,b,c是三角形的三条边,则|c-a-b|+|c+b-a|的化简结果为(C)
A.0 B.2a+2b C.2b D.2a+2b-2c
6.如图,在△ABC中,AD是高,AE是中线,若AD=3,S△ABC=6,则BE的长为(C)
A.1 B. C.2 D.4
7.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°.动点P从点C出发,沿边CB,BA向点A运动.在点P运动过程中,△PAC可能成为的特殊三角形依次是(C)
A.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B.等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D.等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
8.用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面,并且每个顶点周围的多边形排列是相同的,所得到的图案叫做“半正密铺”图案.如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号(4,8,8),(3,6,3,6),(3,3,4,3,4)表示.下列记号中,不能表示“半正密铺”图案的是(D)
A.(3,12,12) B.(3,4,6,4) C.(3,3,4,12) D.(3,4,3,3,6)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍,等于与它不相邻的一个内角的2倍,则此三角形各内角的度数是__36°,72°,72°__.
10.如图是某小区花园内用同一种白色正多边形和黑色正方形地砖铺设的小路的局部示意图,四块正多边形地砖围成的中间区域使用一块正方形地砖,则正多边形的内角和为__1 080°__.
11.如图,在△ABC中,点D在BC边上,且∠DAC=2∠BAD,则∠1,∠2,∠3的数量关系为__∠3=3∠2-2∠1__.
12.如图,七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4的外角和等于220°,则∠BOD的度数为__40°__.
13.如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=20°,∠ADE=∠AED,则∠CDE=__10°__.
14.如果一个三角形的两个内角α与β满足α-β=90°,那么我们称这样的三角形为“差余三角形”.已知△ABC是“差余三角形”,且∠A=110°,则∠B的度数为__20°或50°__.
三、解答题(共52分)
15.(6分)如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°,求这个多边形的内角和及对角线的总条数.
【解析】设外角为x°,
x+4x+30=180,
解得x=30,
360°÷30°=12,
∴(12-2)×180°=1 800°,
∴这个多边形的内角和是1 800°,
对角线的总条数为=54,
∴这个多边形的内角和是1 800°,对角线的总条数是54.
16.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长,且b,c满足(b-5)2+|c-7|=0,a为方程|a-3|=2的解,求△ABC的周长.
【解析】∵(b-5)2+|c-7|=0,
∴,解得,
∵a为方程|a-3|=2的解,
∴a=5或1,
当a=1,b=5,c=7时,1+5<7,
不能组成三角形,故a=1不符合题意;
∴a=5,
∴△ABC的周长为5+5+7=17.
17.(8分)已知:在△ABC中,D为BC上一点,且∠B=∠C=∠BAD,∠ADC=∠DAC.
(1)求∠B的度数;
(2)画出△ABC中BC边上的高AH,并求∠DAH的度数.
【解析】(1)∵∠ADC是△ABD的一个外角,∴∠ADC=∠B+∠BAD,
∵∠B=∠BAD,∴∠ADC=2∠B,∵∠ADC=∠DAC,
∴∠DAC=2∠B,∵∠B=∠C,且∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=180°,
∴5∠B=180°,∴∠B=36°;
(2)如图,高AH即为所求,
由题意得∠ADC=2∠B=72°,
∵AH⊥BC,∴∠AHD=90°,
∴∠DAH=90°-∠ADC=90°-72°=18°.
18.(8分)如图,AD是△ABC的高,CE是△ACB的角平分线,F是AC的中点,
∠ACB=50°,∠BAD=70°.
(1)求∠AEC的度数;
(2)若△BCF与△BAF的周长差为3,AB=7,能否求出BC的值 若能,请写出理由和结果;若不能,请你补充条件并解答.
【解析】(1)∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°,
∵∠BAD=70°,∴∠ABC=90°-70°=20°,
∵CE是△ACB的角平分线,∠ACB=50°,∴∠ECB=∠ACB=×50°=25°,
∴∠AEC=∠ABC+∠ECB=20°+25°=45°;
(2)能求出BC的值,理由如下:∵F是AC的中点,∴AF=FC,
∵△BCF与△BAF的周长差为3,∴(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,∴BC-AB=3,
∵AB=7,∴BC=3+7=10.
19.(10分)如图,△ABC的内角∠ABC的平分线,与外角∠CAM,∠ACF的平分线相交于点D,∠ACB的平分线交BD于点E,AB∥CD.
(1)求证∠BEC=90°+∠CBD;
(2)∠ADB+∠ABC是否为定值 如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由;
(3)写出所有与∠ADB互余的角:________________________________.
【解析】(1)∵∠ACB+∠ACF=180°,CE平分∠ACB,CD平分∠ACF,
∴∠ACE=∠ACB,∠ACD=∠ACF,
∴∠ACE+∠ACD=(∠ACB+∠ACF)=×180°=90°,
即∠ECD=90°,∴∠BEC=∠ECD+∠BDC=90°+∠BDC,
∵AB∥CD,BD平分∠ABC,∴∠BDC=∠ABD=∠CBD,∴∠BEC=90°+∠CBD;
(2)∠ADB+∠ABC为定值,∠ADB+∠ABC=90°,理由如下:
设∠ABD=∠CBD=α,则∠ABC=2α,
∵AB∥CD,CD平分∠ACF,∴∠ABC=∠DCF=∠ACD=∠BAC=2α,
∴∠MAC=180°-∠BAC=180°-2α,
∵AD平分∠CAM,∴∠MAD=∠MAC=90°-α,
∵∠MAD=∠ABD+∠ADB,∴∠ADB=∠MAD-∠ABD=90°-α-α=90°-2α,
∴∠ADB+∠ABC=90°-2α+2α=90°,
故∠ADB+∠ABC为定值;
(3)由题意可知:∠ABC=∠DCF=∠ACD=∠BAC,∠ADB+∠ABC=90°,
∴与∠ADB互余的角有∠ABC,∠DCF,∠ACD,∠BAC.
答案:∠ABC,∠DCF,∠ACD,∠BAC
20.(12分)【概念认识】
如图①,在∠ABC中,若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD,BE叫做∠ABC的“三分线”.其中BD是“邻AB三分线”,BE是“邻BC三分线”.
【问题解决】
(1)如图②,在△ABC中,∠A=73°,∠B=42°,若∠B的三分线BD交AC于点D,则∠BDC=__________;
(2)如图③,在△ABC中,BP,CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线,且BP⊥CP,求∠A的度数;
【延伸推广】
(3)在△ABC中,∠ACD是△ABC的外角,∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P.若∠A=α,∠B=β,直接写出∠BPC的度数.(用含α,β的代数式表示)
【解析】(1)如图,
当BD是“邻AB三分线”时,
∵∠A=73°,∠B=42°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=73°+×42°=87°;
当BD'是“邻BC三分线”时,∠BD'C=∠A+∠ABD'=73°+×42°=101°;
答案:87°或101°
(2)∵BP⊥CP,∴∠BPC=90°,∴∠PBC+∠PCB=90°,
∵BP,CP分别是∠ABC“邻AB三分线”和∠ACB“邻AC三分线”,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,∴∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠ACB=135°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-135°=45°;
(3)分为四种情况:
情况一:如图1,
当BP和CP分别是“邻AB三分线”“邻AC三分线”时,
由外角可得:∠PCD=∠ACD=(α+β),
∴∠BPC=∠PCD-∠PBC=(α+β)-β=α;
情况二:如图2,
当BP和CP分别是“邻BC三分线”“邻AC三分线”时,
由外角可知:∠PCD=∠ACD=(α+β),
∴∠BPC=∠PCD-∠PBC=(α+β)-β=;
情况三:
当BP和CP分别是“邻AB三分线”“邻CD三分线”时,
当α>β时,如图3,
由外角可得:∠PCD=∠ACD=(α+β),
∴∠BPC=∠PCD-∠PBC=(α+β)-β=;
当α<β时,如图4,
由外角及对顶角可得:∠DCE=∠PCB=∠ACD=(α+β),
∴∠BPC=∠FBC-∠PCB=β-(α+β)=;
情况四:如图5,
当BP和CP分别是“邻BC三分线”“邻CD三分线”时,
由外角可得:∠PCD=∠ACD=(α+β),
∴∠BPC=∠PCD-∠PBC=(α+β)-β=α.
综合上述:∠BPC的度数是α或或或或α.
【附加题】(10分)小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做如图探究:
(1)【习题回顾】已知:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF;
(2)【变式思考】如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=40°,求∠CEF和∠CFE的度数;
(3)【探究延伸】如图3,在△ABC中,在AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M,若∠M=35°,求∠CFE的度数.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,CD是高,∴∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°,
∴∠B=∠ACD,
∵AE是角平分线,∴∠CAF=∠DAF,
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B,∴∠CEF=∠CFE;
(2)∵∠B=40°,∠ACB=90°,∴∠GAB=∠B+∠ACB=40°+90°=130°,
∵AF为∠BAG的平分线,∴∠GAF=∠DAF=×130°=65°,
∵CD为AB边上的高,∴∠ADF=∠ACE=90°,∴∠CFE=90°-
∠GAF=90°-65°=25°,
又∵∠CAE=∠GAF=65°,∠ACB=90°,∴∠CEF=90°-∠CAE=90°-65°=25°;
(3)∵C,A,G三点共线,AE,AN为角平分线,
∴∠EAN=90°,
又∵∠GAN=∠CAM,∴∠M+∠CEF=90°,
∵∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE,
∴∠M+∠CFE=90°.
∴∠CFE=90°-∠M=90°-35°=55°.
