单元质量评价(五) 第9章 轴对称、平移与旋转
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列用数学家名字命名的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)
2.如图所示的两个三角形(B,F,C,E四点共线)是中心对称图形,则对称中心是(D)
A.点C B.点F
C.线段BC的中点 D.线段FC的中点
3.如图,△ABC沿AB向右平移得到△A1B1C1,BC与A1C1相交于点O,若∠C的度数为x,则∠A1OC的度数为(C)
A.x B.90°-x C.180°-x D.90°+x
4.如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB的度数是(D)
A.145° B.140° C.130° D.120°
5.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,使点C落在DE上,若∠EAB=90°,
∠BCD=40°,则∠CAD的度数为(A)
A.10° B.20° C.30° D.40°
6.剪纸是我国传统的民间艺术.将一张纸片按图(1),图(2)的方式沿虚线依次对折后,再沿图(3)中的虚线裁剪,最后将图(4)中的纸片打开铺平,所得的图案应该是(A)
7.如图,四边形ABCD为一长方形纸带,AD∥BC,将四边形ABCD沿EF折叠,C,D两点分别与C',D'对应,若∠1=2∠2,则∠3的度数为(B)
A.50° B.54° C.58° D.62°
8.如图,弹性小球从点P出发,沿所示方向运动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹时入射角等于反射角(即∠1=∠2,∠3=∠4).小球从点P出发第1次碰到长方形边上的点记为点A,第2次碰到长方形边上的点记为点B……第2 024次碰到长方形边上的点为(B)
A.点A B.点B C.点C D.点D
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,从标有数字1,2,3,4的四个小正方形中拿走一个,使剩下的小正方形组成的图形成为一个轴对称图形,则应该拿走的小正方形的标号是 2 .
10.如图,把Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△EDC,若BE=17,BC=5,则AD的长为 7 .
11.已知△ABC的三边长分别是4,x,9,△DEF的三边长分别是4,2x-7,y,若这两个三角形全等,则2x-y= 5或8 .
12.如图是由5个小正方形纸片拼成的图形,现将其中一个小正方形纸片平移,使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形,在拼出的所有不同位置的轴对称图形中,全等的图形共有 3 对.
13.如图,将△ABE向右平移1 cm得到△DCF,如果△ABE的周长是10 cm,那么四边形ABFD的周长是 12 cm .
14.如图,分别以△ABC的边AB,AC所在的直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△AEC,∠BAC=150°,线段BD与CE,AE分别相交于点O,点P,线段CE与AD相交于点Q,连结BE,ED,DC,OA.有如下结论:①∠EAD=90°;②∠BOE=60°;③OA平分∠BOC;④EA=ED;⑤BP=EQ.其中正确的结论个数是 3 .
三、解答题(共52分)
15.(6分)如图,已知△ABC≌△DEF,
求证:AC∥DF,EC=FB.
【证明】∵△ABC≌△DEF,
∴∠DFE=∠ACB,EF=BC,
∴EF-CF=BC-CF,AC∥DF,
即EC=BF.
16.(8分)如图,把△ABC向右平移5个方格,得到△A1B1C1,再把△A1B1C1绕点B1顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2.请画出平移和旋转后的图形,并标明对应字母.
【解析】△A1B1C1,△A2B2C2如图所示:
17.(8分)如图,小丽将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE,连结AD.
(1)如果AC=6 cm,BC=8 cm,试求△ACD的周长;
【解析】(1)∵△BDE与△ADE成轴对称,
∴BD=AD,∠B=∠BAD,
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC.
∵AC=6 cm,BC=8 cm,∴△ACD的周长=6+8=14(cm).
(2)如果∠CAD∶∠BAD=4∶7,求∠B的度数.
【解析】(2)设每份为x°,则∠CAD=4x°,∠BAD=7x°,
∵∠B=∠BAD,∴∠B=7x°.
∵∠B+∠DAB+∠CAD=90°,∴7x+7x+4x=90,∴x=5,∴∠B=35°.
18.(8分)如图,已知△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=32°,∠EAB=124°,延长BC交DE于点G,求∠DFB和∠DGB的度数.
【解析】∵△ABC≌△ADE,
∴∠EAD=∠CAB,
∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD,即∠EAC=∠BAD.
∵∠CAD=10°,∠EAB=124°,
∴∠EAC=∠BAD==57°,
∴∠DFB=∠BAD+∠B=57°+32°=89°,∠DGB=∠DFB-∠D=89°-32°=57°.
19. (10分)如图,EF∥GH,点A在EF上,点B,C在GH上.在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°.点M,Q在直线AB上,在△MNQ中,∠NMQ=90°,∠MNQ=45°.
(1)将△MNQ沿直线AB平移,当点N在EF上时,请画出图形并求出∠ANQ的度数;
【解析】(1)图形如下:
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴∠ABC=60°.
∵EF∥GH,∴∠NAM=∠ABC=60°.
∵∠NMQ=90°,即∠AMN=90°,∴∠ANM=30°.
∵∠MNQ=45°,∴∠ANQ=30°+45°=75°.
(2)将△MNQ沿直线AB平移,当以A,Q,N为顶点的三角形中,有两个角相等时,请画出图形并直接写出∠QAN的度数.
【解析】(2)①当∠ANQ=∠AQN时,图形如下:
此时∠AQN=∠ANQ=∠MNQ=45°,
∴∠QAN=90°;
②当∠QAN=∠AQN时,图形如下:
∵∠NMQ=90°,∠MNQ=45°,
∴∠AQN=45°,
∴∠QAN=∠AQN=45°;
③当∠ANQ=∠QAN时,
∵∠NMQ=90°,∠MNQ=45°,
∴∠NQA=45°,
∴∠QAN=∠ANQ=(180°-∠NQA)=67.5°;
④当∠QNA=∠QAN时,图形如下:
∵∠NMQ=90°,∠MNQ=45°,
∴∠MQN=45°.
∵∠QNA=∠QAN,
∴∠QAN=∠MQN=22.5°.
综上,∠QAN的度数为22.5°,45°,67.5°或90°.
20.(12分)如图1,某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中,把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ,MN的垂足O处,并使两条直角边落在直线PQ,MN上,将△AOB绕点O顺时针旋转α(0°<α<180°).
(1)如图2,若α=26°,则∠BOP=64°,∠AOM+∠BOQ=180°;
【解析】(1)∵MN⊥PQ,∴∠POM=∠QOM=90°.
∵∠BOM=∠AOQ=26°,∴∠BOP=90°-26°=64°.
∵∠AOB=90°,
∴∠AOM+∠BOQ=∠AOM+∠AOQ+∠AOB=∠QOM+∠AOB=90°+90°=180°.
(2)若射线OC是∠BOM的平分线,且∠POC=β.
①若△AOB旋转到图3的位置,则∠BON的度数为多少 (用含β的代数式表示)
②在△AOB旋转过程中,若∠AOC=2∠AOM,求此时β的值.
【解析】(2)①∵∠POM=90°,∠POC=β,∴∠COM=90°-β.
∵射线OC是∠BOM的平分线,∴∠BOM=2∠COM=180°-2β,∴∠BON=
180°-(180°-2β)=2β.
②当OA位于∠QOM内部时,如题图3,
∵OC平分∠BOM,∴∠BOC=∠COM.
∵∠AOC=2∠AOM,∴∠AOM=∠COM,∴∠AOM=∠COM=∠BOC=∠AOB.
∵∠AOB=90°,∴∠COM=30°,∴β=90°-30°=60°.
当OA位于∠POM内部时,如图,
∵∠POM=90°,∠POC=β,
∴∠COM=90°-β.
∵OC平分∠BOM,
∴∠BOM=2∠COM=180°-2β,∠BOC=∠COM=90°-β,
∴∠AOM=180°-2β-90°=90°-2β,∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-(90°-β)=β.
∵∠AOC=2∠AOM,
∴β=2(90°-2β),
解得β=36°,
综上所述,若∠AOC=2∠AOM,则β的值为60°或36°.
【附加题】(10分)
如图,在锐角△ABC中,AC=7 cm,S△ABC=21 cm2,AD所在的直线是∠BAC的平分线,M,N分别是AD和AB上的动点,试求BM+MN的最小值,并说明理由.
【解析】如图,作点N关于AD的对称点为R,过点B作BE⊥AC于点E.
∵AD所在的直线是∠BAC的平分线,△ABC为锐角三角形,∴点R必在AC上.
∵点N关于AD的对称点为R,∴MR=MN,∴BM+MN=BM+MR,即BM+MN=BR≥BE(垂线段最短).
∵S△ABC=21 cm2,AC=7 cm,∴×7BE=21,可得BE=6 cm,即BM+MN的最小值为
6 cm.单元质量评价(五) 第9章 轴对称、平移与旋转
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列用数学家名字命名的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.如图所示的两个三角形(B,F,C,E四点共线)是中心对称图形,则对称中心是( )
A.点C B.点F
C.线段BC的中点 D.线段FC的中点
3.如图,△ABC沿AB向右平移得到△A1B1C1,BC与A1C1相交于点O,若∠C的度数为x,则∠A1OC的度数为( )
A.x B.90°-x C.180°-x D.90°+x
4.如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB的度数是( )
A.145° B.140° C.130° D.120°
5.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,使点C落在DE上,若∠EAB=90°,
∠BCD=40°,则∠CAD的度数为( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
6.剪纸是我国传统的民间艺术.将一张纸片按图(1),图(2)的方式沿虚线依次对折后,再沿图(3)中的虚线裁剪,最后将图(4)中的纸片打开铺平,所得的图案应该是( )
7.如图,四边形ABCD为一长方形纸带,AD∥BC,将四边形ABCD沿EF折叠,C,D两点分别与C',D'对应,若∠1=2∠2,则∠3的度数为( )
A.50° B.54° C.58° D.62°
8.如图,弹性小球从点P出发,沿所示方向运动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹时入射角等于反射角(即∠1=∠2,∠3=∠4).小球从点P出发第1次碰到长方形边上的点记为点A,第2次碰到长方形边上的点记为点B……第2 024次碰到长方形边上的点为( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,从标有数字1,2,3,4的四个小正方形中拿走一个,使剩下的小正方形组成的图形成为一个轴对称图形,则应该拿走的小正方形的标号是 .
10.如图,把Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△EDC,若BE=17,BC=5,则AD的长为 .
11.已知△ABC的三边长分别是4,x,9,△DEF的三边长分别是4,2x-7,y,若这两个三角形全等,则2x-y= .
12.如图是由5个小正方形纸片拼成的图形,现将其中一个小正方形纸片平移,使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形,在拼出的所有不同位置的轴对称图形中,全等的图形共有 对.
13.如图,将△ABE向右平移1 cm得到△DCF,如果△ABE的周长是10 cm,那么四边形ABFD的周长是 .
14.如图,分别以△ABC的边AB,AC所在的直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△AEC,∠BAC=150°,线段BD与CE,AE分别相交于点O,点P,线段CE与AD相交于点Q,连结BE,ED,DC,OA.有如下结论:①∠EAD=90°;②∠BOE=60°;③OA平分∠BOC;④EA=ED;⑤BP=EQ.其中正确的结论个数是 .
三、解答题(共52分)
15.(6分)如图,已知△ABC≌△DEF,
求证:AC∥DF,EC=FB.
16.(8分)如图,把△ABC向右平移5个方格,得到△A1B1C1,再把△A1B1C1绕点B1顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2.请画出平移和旋转后的图形,并标明对应字母.
17.(8分)如图,小丽将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE,连结AD.
(1)如果AC=6 cm,BC=8 cm,试求△ACD的周长;
(2)如果∠CAD∶∠BAD=4∶7,求∠B的度数.
18.(8分)如图,已知△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=32°,∠EAB=124°,延长BC交DE于点G,求∠DFB和∠DGB的度数.
19. (10分)如图,EF∥GH,点A在EF上,点B,C在GH上.在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°.点M,Q在直线AB上,在△MNQ中,∠NMQ=90°,∠MNQ=45°.
(1)将△MNQ沿直线AB平移,当点N在EF上时,请画出图形并求出∠ANQ的度数;
(2)将△MNQ沿直线AB平移,当以A,Q,N为顶点的三角形中,有两个角相等时,请画出图形并直接写出∠QAN的度数.
20.(12分)如图1,某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中,把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ,MN的垂足O处,并使两条直角边落在直线PQ,MN上,将△AOB绕点O顺时针旋转α(0°<α<180°).
(1)如图2,若α=26°,则∠BOP= ,∠AOM+∠BOQ= ;
(2)若射线OC是∠BOM的平分线,且∠POC=β.
①若△AOB旋转到图3的位置,则∠BON的度数为多少 (用含β的代数式表示)
②在△AOB旋转过程中,若∠AOC=2∠AOM,求此时β的值.
【附加题】(10分)
如图,在锐角△ABC中,AC=7 cm,S△ABC=21 cm2,AD所在的直线是∠BAC的平分线,M,N分别是AD和AB上的动点,试求BM+MN的最小值,并说明理由.
