第六章 对概率的进一步认识 3 用频率估计概率（含答案）

第六章 对概率的进一步认识
3用频率估计概率
列清单·划重点
知识点1 用频率估计概率
当一件事情发生的概率无法用画树状图、列表法求得时，我们可以通过大量重复试验，用事件发生的频率来估计它的概率.
说明
(1)人们从长期实践中观察到，在同样条件下，重复多次试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定数可以用来估计事件发生的概率.(2)当一次试验中，可能出现的结果有无限多个，或者各种可能出现的结果发生的可能性不相等时，我们一般通过统计频率来估计概率.
知识点2 生日相同的概率
调查50个人中有2个人生日相同的概率，会因人而异，因调查的次数而异，此问题的理论概率大约等于 0.97.
由以前学过的知识容易发现：400 个同学中一定有2 个同学生日相同，严格地说人数超过 366 个，就一定有两个同学的生日相同，而300 个同学就不能保证一定有两个同学的生日相同，但可以说300个同学中，很可能有两个同学的生日相同.
说明
(1)对于这类问题没法通过画树状图法和列表法求解，应尽可能地增加调查次数，以使频率逐步稳定于理论概率.
(2)50个同学中有2个人的生日相同，并不能说明其概率是1；而50个同学中没有2个同学的生日相同，也不能说其相应概率为0.
知识点3 用实物模拟试验估算事件发生的概率
为了使利用频率估计概率的结果尽可能精确，要求做大量的重复试验，在此过程中，往往受试验条件的限制，试验很难做或所做的结果误差较大，或者试验次数太多，因而完成起来较困难，需要用替代物来进行模拟试验.
说明
(1)替代物与被替代物的形状、大小、质地可以差别很大，但对于被考察的试验对象，其各结果出现的概率应该是相同的，即用替代物模拟试验时，选取的替代物不能影响试验的结果.
(2)对于现实中不易实际操作的试验，一般采用较易做到或常用的试验方法进行模拟，但是一定要注意其试验条件的一致性.
(3)同一问题的模拟方案可以是多种多样的，只要方案合理即可.
知识点4 用计算器模拟试验估算事件发生的概率
有时候，我们很难找到合适的替代物模拟试验，或者用替代物比较麻烦，这时我们可以用计算器产生符合条件的随机数，这种试验方法称为计算器模拟试验.设计模拟试验时有 n种可能就要用计算器产生1～n这之间的随机数，调查 m个人就需产生m个随机数作为一次试验.
用计算器产生随机数的步骤：
(1)进入产生随机数的状态；
(2)输入所产生的随机数的范围，按键得出随机数.
注意
不同的计算器产生随机数的方法不一定相同.
明考点·识方法
考点1 利用频率估计概率
典例1 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如表所示：
抽检产品数 n 100 150 200 250 300 500 1000
合格产品数 m 89 134 179 226 271 451 904
合格率·m 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是 .(结果保留一位小数)
思路导析 根据表格中的数据和四舍五入法，可以得到一个稳定的频率(合格率)值，即为任取一件恰好是合格产品的概率.
友情提示
利用频率估计概率时，不能以某一个频率作为估计的概率.试验的次数越多，用频率估计概率也越准确，因此一般用试验次数较多的频率的稳定值来估计概率.
变式 一个不透明的口袋中装有 n个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入两个红球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n的值为 ( )
A.18 B.20 C.22 D.24
考点2 用替代物模拟试验估计概率
典例2 通过反复抛掷一枚正方体骰子，利用频率稳定值估计6点向上的概率的试验中，如果你手边没有骰子，那么你能设计一个试验方案来替代吗 说说你的试验过程.
思路导析 正方体骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个点，抛掷时每个面的点数都有相等的机会朝上，试验关注的是6点向上的概率.我们只要设计一种也有六种等可能的结果的试验，且关注其中的一种结果的概率即可.
变式 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能作替代物的是 ( )
A.一枚均匀的普通六面体骰子 B.两张扑克牌(一张黑桃，一张红桃)
C.两个只有颜色不同的小球 D.一枚图钉
当堂测·夯基础
1.小卢在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是 ( )
A.掷一个正六面体的骰子，出现2 点的概率
B.在“剪刀石头布”的游戏中，小李随机出“石头”的概率
C.从1～10 这 10 个整数中随机抽取一个整数，它能被5整除的概率
D.任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
2.在一个不透明的布袋中装有 50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.7左右，则布袋中白球可能有 ( )
A.15个 B.20个 C.30个 D.35个
3.2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营.某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线.在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是( )
A.0.016 B.0.1 C.0.116 D.0.16
4.种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全.某种业公司培育成功了 A，B两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如表：
种子数量 200 500 800 1500 3000
A 出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
B 出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面有三个推断：
①当实验种子数量为 200 时，两种种子的出芽率均为0.98，所以 A，B两种新玉米种子出芽的概率一样
②随着实验种子数量的增加，B种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计 B种子出芽的概率是0.96③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于 B种子.其中合理的是 ( )
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
5.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出 1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如表所示：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 (精确到0.01)，由此估出红球有 个；
(2)怎样改变两种颜色球的数量，使得每一种颜色的球被摸出的可能性一样大
参考答案
【明考点·识方法】
典例1 0.9
变式 A
典例2 解：取六张扑克牌，分别是A，2，3，4，5，6，分别代表正方体骰子六个面的点数(A代表1点)，试验时将六张扑克牌背面向上洗匀后，从中随机抽取一张，重复多次试验后，记录抽到6的次数，计算频率即可估计概率.
变式 D
【当堂测·夯基础】
1. C 2. A 3. D 4. C
5.解：(1)观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个.
故答案为:0.33,2;
(2)(答案不唯一)因为不透明袋子中装有1个白球，2个红球，要想使得每一种颜色的球被摸出的可能性一样大，则把一个红球改成黄球就可以.