第六章 对概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率（含答案）

第六章 对概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率
列清单·划重点
知识点1 用画树状图法计算简单随机事件发生的概率
1.画树状图法就是通过画树状图列举出某试验的所有可能的结果，进而求解某些事件发生的概率的方法.
2.画树状图法应用的条件：当一次试验涉及两个或两个以上的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法.
知识点2 用表格法计算简单随机事件发生的概率
1.表格法就是用列出表格列举出某试验的所有可能的结果，进而求解某些事件发生概率的方法.
2.表格法的应用条件：一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
知识点3 列表法与画树状图法的联系与区别
1.联系:
(1)各结果是等可能的；
(2)某事件发生的概率公式均为
(3)列举出所有可能出现的结果时不能重复也不能遗漏.
2.区别:
在选择画树状图法和列表法时，当随机事件包含两步时，选用列表法比较方便，当然此时也可用树状图法；当随机事件包含三步或三步以上时，用画树状图法方便，此时难以列表.
明考点·识方法
考点1 用画树状图法或表格法求概率
典例1某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400 米”四个项目中,随机选择两项,则他选择“100 米”与“400 米”两个项目的概率是 ( )
A. B. C. D.
思路导析 设“跳高”“跳远”“100 米”“400 米”四个项目分别为 A，B，C，D，画出树状图，找到所有可能的结果数和符合题意的结果数，利用概率公式求解即可.
友情提示
画树状图时，每个“分支”的意义不同，但它们具有相同的可能性，因此不能忽略任何一种情况，更不能遗漏掉可能的情况.
变式 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为 ( )
A. B. C. D.
典例2 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 .
思路导析 列表得出所有等可能结果，从中找到/符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
变式 某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是( )
A. B. C. D.
考点2 运用概率判断游戏的公平性
典例3 2023 年 5 月13 日，陕西省第十九届“春芽杯”艺术展演部分项目在某校举行，该校初一年级选派25名志愿者参加该艺术展演的引导工作，其中男生15人，女生10人.
(1)若从这25人中通过抽签选取一人作为联络员，则选到女生的概率为 .
(2)某项工作需要在甲、乙两人中选一人，他俩以游戏方式决定谁参加.规则如下：将4 张点数分别为2，3，4，5的扑克牌搅匀后，背面朝上放于桌面上，从中任取2张，若点数之和为奇数，则甲去；否则乙去，这个游戏公平吗 请说明理由.
思路导析 (1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意列出图表得出所有等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式即可得出答案.
友情提示
判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.
变式 每周末小敏家都去购买生活必需品.为增添生活乐趣，小敏制作了4 张相同的卡片，在上面分别写上数字0，1，-2，3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来.
(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为 ；
(2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，爸爸去购买生活必需品；否则，妈妈去.请用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平.
考点2 运用概率玩“配紫色”游戏
典例4 小明与小华玩游戏.现用如图所示的 A，B两个转盘进行配色游戏，A盘是四等分，B盘是三等分，其中一个转出红色一个转出蓝色即可配成紫色，分别转动两个转盘(指针指向分界线重新转动转盘)，配成紫色时小明胜，否则小华胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平.
变式 如图是两个质地均匀的转盘，现转动转盘①和转盘②各一次，如果其申一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，就能配成紫色，则能配成紫色的概率为 .
当堂测·夯基础
1.新开业的“宜都万达广场”吸引了众多市民前来购物，广场共有3个出入口，市民甲和乙在广场购物后恰好从同一出入口走出的概率是( )
A. B. C. D.
2.为激励更多中学生参与到消防安全教育活动中，在某平台参与学习一周的同学可以获得两次抽奖机会，如图所示的转盘被分成面积相等的六个扇形，指针位置固定，点击抽奖按钮转盘自由转动，转动停止后指针指向某区域的中间部分，则两次抽奖都获得积分的概率是 .
3.2024 年 3 月 5 日,福建省大学生志愿服务乡村振兴计划启动仪式在福州举行.若大学生小王和小李打算分别从“乡村教育”“数字乡村”“绿色乡村”“乡村文化建设”四类岗位中随机选择一类进行志愿服务，则大学生小王和小李选择同一类岗位的概率为
4.自然界绝大多数的彩色光都可以利用红、绿、蓝三种色光按不同比例混合而成，这叫做三原色原理，如：红光与绿光重叠现黄色.如图所示，小明制作了两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形，同时转动两个转盘，根据三原色原理配得黄色的概率为 .
5.甲、乙两位同学在“云南美食推荐官”活动中通过层层选拔脱颖而出，但名额有限，只能从两人中选取一人担任，二人通过转盘游戏决定谁来担任.游戏规则如下：两个转盘转出的数字之积为正数则甲来担任，数字之积为负数则乙来担任.
(1)用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数；
(2)转盘应保证游戏的公平性，请问这个游戏中的转盘是否需要重新设计 并说明理由.
参考答案
【明考点·识方法】
典例1 C
变式 D
典例2
变式 A
典例3 解：(1)从这25人中通过抽签选取一人作为联络员，则选到女生的概率为 故答案为：
(2)这个游戏不公平.理由：
甲 乙 2 3 4 5
2 — 5 6 7
3 5 — 7 8
4 6 7 — 9
5 7 8 9 —
共有12种等可能的结果，其中点数之和为奇数的有8种，
∴点数之和为奇数的概率是
∴甲去的概率是 ，乙去的概率是 ，
∴这个游戏不公平.
变式 解：((1)
(2)列表如下：
第1个数 第 2个数 0 1 -2 3
0 — 1 -2 3
1 -1 — -3 2
-2 2 3 — ·
< -3 - -5 —
由表可知，共有12种等可能的结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，∴妈妈获胜的概率=爸爸获胜的概率=
∴这个游戏对双方是公平的.
典例4 解：列表如下：
A盘 B盘 红 红 红 蓝
红 (红,红) (红,红) (红,红) (蓝,红)
蓝 (红,蓝) (红,蓝) (红,蓝) (蓝,蓝)
蓝 (红,蓝) (红,蓝) (红,蓝) (蓝,蓝)
由表知，共有12种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有7 种，则小明胜的概率为 ，小华胜的概率是 ，
∴这个游戏不公平.
变式
【当堂测·夯基础】
1. A
2. 3. 4.
5.解：(1)画树状图如图：
故有6种等可能性；
(2)根据(1)得知，共有 6 个等可能的结果，其中两个数字的积为正数有3种，为负数的结果有3种，∴P(积为正数) P(积为负数)
∴P(积为正数)=P(积为负数),
∴这个规则对双方公平，不需要重新设计.