5.4 数列的应用 课件（共17张PPT）2024-2025学年人教B版2019 高中数学选择性必修第三册

(共17张PPT)
5.4 数列的应用
第五章 数列
1.能够将实际问题抽象为数列模型，提高分析问题和解决问题的能力.
2.会利用等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式解决分期付款和政府支出的“乘数”效应等问题.
储蓄贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用.
知识梳理
1.等额本金还款法：将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款分为本金和利息两部分.
每期还款金额= + (贷款本金-已还本金总额)×利率
本金
利息
知识梳理
2.等额本息还款法是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还．
若贷款时的资金为A0元，每一期所还钱数为x元，则x＝.
其中r为年利率．
例1 某人年初向银行贷款10万元用于购房：
(1)如果他向A银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
(2)如果他向B银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到1元，参考数据：1.0410≈1.480 2)
例1 某人年初向银行贷款10万元用于购房：
(1)如果他向A银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
解：(1)若向A银行贷款，设每年还款x元，
依题意得x+x(1+5%)+x(1+2×5%)+…+x(1+9×5%)=100 000×(1+10×5%)，
∴x=≈12 245(元).
即当年利率为5%(不计复利)时，每年应还款12 245元.
例1 某人年初向银行贷款10万元用于购房：
(2)如果他向B银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到1元，参考数据：1.0410≈1.480 2)
(2)若向B银行贷款，设每年还款y元，
依题意得y+y(1+4%)+y(1+4%)2+…+y(1+4%)9=100 000(1+4%)10，
即105×1.0410=×y，
y≈≈12 330(元).
即当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12 330元.
(1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式.
(2)中的利率是复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的原因是还款形式不同.
归纳总结
“乘数” 效应：是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度.
例如，政府如果增加道路维修费用300亿元，那么这笔费用将会使部分居民收入增加，假设这些居民将收入增加量的75%用于国内消费，25%用于存储或国外消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加了的居民又将一定比例的收入增加量用于国内消费，因此又会产生新一轮的影响……假设每一个受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后国内消费总额将会是300亿元的倍数(最初政府支出也算是国内消费)，也就是说有了“乘数” 效应.你能用数列知识给出解释吗？
如果设第轮消费的金额为元，则：
第1轮居民用于消费的金额为=300×75% (亿元)，
第2轮居民用于消费的金额为=×75%=300×( (亿元)，
……
第30轮居民用于消费的金额为=×75%=300× (亿元).
经过30轮后，国内消费总额是
300+300×75%+300×+…+300×
等比数列问题
300亿的4倍
例2 假设政府增加某项支出100亿元，每个受惠的居民会将80%的额外收入用于国内消费，求经过30轮影响之后，最后的国内消费总额（最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1亿元）.
解：依题意可知，经过30轮影响之后，最后国内消费总额为
100+100×80%+100×+…+100×
.
例3 某市在2023年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 ，试问：
(1)该市在2030年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年年底，该市电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？
解：(1)设该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 ，
其中首项 ，公比 ,
则在2030年应该投入的电力型公交车的数量为 (辆).
(2)记 为等比数列 的前 项和，根据题意，得 ，
所以 ，即 ，
两边同时取常用对数，可得 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ,
所以到2031年年底，该市电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 .
1. 分期还款主要方式有哪些？它们和数列有什么关系？
2. 什么是乘数效应？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？
1.某空调制造厂用若干台效率相同的机械组装空调，若所用机械同时开动，
则需24 小时完成一项任务；若一台接一台地开动，每相邻两台启动时间间
隔都相同，则到完成该项任务时，第一台的工作时间是最后一台的7倍，则
最后一台机械工作的时间是( )
A.2小时 B.4小时 C.6小时 D.8小时
C
2.某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
B